【动态规划 floyd】SPOJ ACPC13

为什么rzz会把这题放在NOI模拟赛的T2？

题目大意

有一张$n$个点$m$条边的有向图，每条边有权值$w_i$。

定义一个任务$(a_i,b_i,c_i)$是如下一条路径：

• 最多经过$c_i$条边
• 路径上的边权$w_i$依次递增

要求回答$q$个独立询问的任务最小值。

$𝑛 \le 150，𝑐𝑖 \le 𝑚 \le 5000，𝑞 \le 1000，𝑤_i \le 5000$

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题目分析

一道NOIP题吧

首先会想到一种dp：$f_{i,j,k}$表示对于当前处理的点$p$，路径另一端是$i$，已经过$j$条边，上一条边的权值是$k$的最小代价，时间复杂度$O(qn^2m)$。

注意到这个状态里的“上一条边权值为k”看上去很浪费，自然考虑如何去掉“w_i依次递增”的限制条件。

接下去的操作应该比较套路：$f_{i,j,k}$表示从$i$到$j$的递增路径上经过了$k$条边，然后将边从小到大加入图中，对于当前边$(u,v,w)$，就类floyd地枚举一个起始点$i$转移到$f_{i,v,k+1}$，这样就能保证路径边权是依次递增的。

时间复杂度$O(m \log m+n^2m+q)$.

#include<bits/stdc++.h>
const int maxn = 153;
const int maxm = 5035;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

struct Edge
{
    int u,v,d;
    bool operator < (Edge a) const
    {
        return d < a.d;
    }
}edges[maxm];
int T,n,m,q,f[maxn][maxn][maxn];

int main()
{
    for (scanf("%d",&T); T; --T)
    {
        memset(f, 0x3f3f3f3f, sizeof f);
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
        for (int i=1; i<=m; i++)
            scanf("%d%d%d",&edges[i].u,&edges[i].v,&edges[i].d);
        std::sort(edges+1, edges+m+1);
        for (int i=1; i<=n; i++) f[i][i][0] = 0;
        for (int t=1; t<=m; t++)
        {
            int u = edges[t].u, v = edges[t].v;
            for (int i=1; i<=n; i++)
                for (int j=0; j<=n; j++)
                    if (f[i][u][j]!=INF&&f[i][v][j+1] > f[i][u][j]+edges[t].d)
                        f[i][v][j+1] = f[i][u][j]+edges[t].d;
        }
        for (int i=1; i<=n; i++)
            for (int j=1; j<=n; j++)
                for (int l=1; l<=n; l++)
                    f[i][j][l] = std::min(f[i][j][l], f[i][j][l-1]);
        for (int u,v,c; q; --q)
        {
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&c), c = std::min(c, n);
            printf("%d\n",f[u][v][c]!=INF?f[u][v][c]:-1);
        }
    }
    return 0;
}

 

 

END