【计数】cf938E. Max History

发现有一种奇怪的方法不能快速预处理？

复习一下常见的凑组合数的套路

You are given an array a of length n. We define fa the following way:

• Initially fa = 0, M = 1;
• for every 2 ≤ i ≤ n if aM < ai then we set fa = fa + aM and then set M = i.

Calculate the sum of fa over all n! permutations of the array a modulo 109 + 7.

Note: two elements are considered different if their indices differ, so for every array a there are exactly n! permutations.

Input

The first line contains integer n (1 ≤ n ≤  1 000 000) — the size of array a.

Second line contains n integers a1, a2, ..., an (1 ≤  ai ≤  109).

Output

Print the only integer, the sum of fa over all n! permutations of the array a modulo 109 + 7.

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题目大意

题目分析

主要是记一下一种凑组合数的常见套路，网上其他人都是一种另外的考虑方式。

对于数$a_q$枚举它每一个出现位置的贡献，记严格小于它的数有$m$个，则有$a_q\sum\limits_{p=1}^n{m \choose {p-1}}(p-1)! (n-p)!$即$a_q m!\sum\limits_{p=1}^n{{(n-p)!}\over {(m-p+1)!}}$。于是就会发现右边这个东西分子分母都有自变量，看上去很难处理，但形式上又是有些相似的感觉。

式子可以接着这么化：$a_qm!(n-m+1)!\sum\limits_{p=1}^n{{n-p}\choose{n-m-1}}$，也就是把右式做成一个组合数。

注意到新的右式是经典问题组合数的列前缀和，于是化成：$a_qm!(n-m+1)!{{n}\choose{n-m}}$

最后化简得到：$a_qn!\over{n-m}$

 

#include<bits/stdc++.h>
#define MO 1000000007
const int maxn = 1000035;

int n,ans,cnt,a[maxn],fac[maxn],inv[maxn];

int read()
{
    char ch = getchar();
    int num = 0, fl = 1;
    for (; !isdigit(ch); ch=getchar())
        if (ch=='-') fl = -1;
    for (; isdigit(ch); ch=getchar())
        num = (num<<1)+(num<<3)+ch-48;
    return num*fl;
}
int main()
{
    n = read();
    for (int i=1; i<=n; i++) a[i] = read();
    std::sort(a+1, a+n+1);
    fac[0] = fac[1] = inv[0] = inv[1] = 1;
    for (int i=2; i<=n+2; i++)
        inv[i] = MO-1ll*(MO/i)*inv[MO%i]%MO, 
        fac[i] = 1ll*fac[i-1]*i%MO;
    for (int i=1,j; i<=n; i=j+1)
    {
        for (j=i; a[j+1]==a[i]; j++);
        if (j==n) break;
        cnt = inv[n-i+1];
        ans = (1ll*ans+1ll*a[i]*(j-i+1)%MO*cnt%MO)%MO;
    }
    printf("%d\n",1ll*ans*fac[n]%MO);
    return 0;
}

 

 

 

 

END