向量场在曲线、曲面上的积分
向量场在曲线上的积分
定义
设 \(\boldsymbol{v} = P(x, y, z)\boldsymbol{i} + Q(x, y, z)\boldsymbol{j} + R(x, y, z)\boldsymbol{k}\) 是空间区域 \(D\) 中的向量场，\(L_{AB}\) 是 \(D\) 中的定向曲线。在 \(L_{AB}\) 上从 \(A\) 到 \(B\) 依次选取任意的分割点：
\[A = M_0, M_1, M_2, \cdots, M_n = B
\]
其中分割点的坐标是 \(M_i(x_i, y_i, z_i), i = 0, 1, 2, \cdots, n\)，则
\[\Delta \boldsymbol{r}_i = \overrightarrow{M_{i - 1}M_i} = \Delta x_i\boldsymbol{i} + \Delta y_i\boldsymbol{j} + \Delta z_i\boldsymbol{k}
\]
在每一段弧 \(\overset{\frown}{M_{i-1}M_i}\) 上任取一点 \(N_i(\xi_i, \zeta_i, \chi_i)\)，当分割的最大长度趋于零时，如果下列和式：
\[\sum_{i = 1}^{n} \boldsymbol{v}(\xi_i, \zeta_i, \chi_i) \cdot \Delta \boldsymbol{r}_i = \sum_{i = 1}^{n} \left[ P(\xi_i, \zeta_i, \chi_i)\Delta x_i + Q(\xi_i, \zeta_i, \chi_i)\Delta y_i + R(\xi_i, \zeta_i, \chi_i)\Delta z_i \right]
\]
的极限存在且有限，那么极限值称为向量场 \(\boldsymbol{v}\) 沿曲线（或路径）\(L_{AB}\) 的积分，也称为第二型曲线积分，记为
\[\int_{L_{AB}} \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r}
\]
定向曲线 \(L_{AB}\) 称为积分路径。当 \(L\) 是封闭曲线时，积分称为向量场 \(\boldsymbol{v}\) 沿环路 \(L\) 的环量，通常记为
\[\oint_{L} \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r}
\]
计算
向量场 \(\boldsymbol{v} = P(x, y, z)\boldsymbol{i} + Q(x, y, z)\boldsymbol{j} + R(x, y, z)\boldsymbol{k}\)
\[L_{AB} : \quad \boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(t) = x(t)\boldsymbol{i} + y(t)\boldsymbol{j} + z(t)\boldsymbol{k}, \quad \alpha \leqslant t \leqslant \beta,
\]
\[\begin{align*}
\int_{L_{AB}} \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r} &= \int_{\alpha}^{\beta} \boldsymbol{v}(\boldsymbol{r}(t)) \cdot \boldsymbol{r}'(t) \,\mathrm{d}t \\
&= \int_{\alpha}^{\beta} \left[ P x'(t) + Q y'(t) + R z'(t) \right] \,\mathrm{d}t
\end{align*}
\]
\[\int_{L_{AB}} \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r} = \int_{L_{AB}} P \,\mathrm{d}x + Q \,\mathrm{d}y + R \,\mathrm{d}z
\]
求平面环量积分
Green (格林)定理
\[\oint_{\partial D} P \,\mathrm{d}x + Q \,\mathrm{d}y = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y
\]
由平面环量积分求面积
推论：
\[\sigma(D) = \frac{1}{2} \oint_{\partial D} (-y \,\mathrm{d}x + x \,\mathrm{d}y) = \oint_{\partial D} (-y \,\mathrm{d}x) = \oint_{\partial D} x \,\mathrm{d}y
\]
tips
向量场在曲面上的积分
面积向量
公式
\(S\) : \(\boldsymbol{r} = x(u, v)\boldsymbol{i} + y(u, v)\boldsymbol{j} + z(u, v)\boldsymbol{k}, \quad (u, v) \in D\)
\[\boldsymbol{n} = \pm \frac{\boldsymbol{r}'_u \times \boldsymbol{r}'_v}{|\boldsymbol{r}'_u \times \boldsymbol{r}'_v|}
\]
参数：\(S: \quad z = f(x, y), \quad (x, y) \in D\)
\[\boldsymbol{n} = \frac{-f'_x \boldsymbol{i} - f'_y \boldsymbol{j} + \boldsymbol{k}}{\sqrt{(f'_x)^2 + (f'_y)^2 + 1}}
\]
球面
\[\boldsymbol{n} = \frac{x \boldsymbol{i} + y \boldsymbol{j} + z \boldsymbol{k}}{R} = \frac{\boldsymbol{r}}{R}
\]
向量场在曲面上的积分定义
设 \(\boldsymbol{v}(M)\) 是定义在定向曲面 \(S\) 上的一个向量场，\(S\) 的正向为单位法向量 \(\boldsymbol{n}\)，则下列积分
\[\iint_{S} \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} = \iint_{S} \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S
\]
称为向量场 \(\boldsymbol{v}\) 在有向曲面 \(S\) 上的曲面积分 (也称为第二型曲面积分). 或者说向量场在曲面上的积分是通过数量场 \(\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}\) 在 \(S\) 上的曲面积分 (第一型曲面积分) 给出的. 当曲面 \(S\) 是一个封闭曲面时，称积分为向量场通过封闭曲面的通量，有时也记为
\[\oiint_{S} \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}
\]
计算
\(\boldsymbol{v} = P\boldsymbol{i} + Q\boldsymbol{j} + R\boldsymbol{k}\)
\(S:\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(u, v) = x(u, v)\boldsymbol{i} + y(u, v)\boldsymbol{j} + z(u, v)\boldsymbol{k}, \quad (u, v) \in D\)
\[\boldsymbol{n} = \boldsymbol{n}(u, v) = \frac{\boldsymbol{r}'_u \times \boldsymbol{r}'_v}{|\boldsymbol{r}'_u \times \boldsymbol{r}'_v|}
\]
\[\mathrm{d}\boldsymbol{S} = \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S = \frac{\boldsymbol{r}'_u \times \boldsymbol{r}'_v}{|\boldsymbol{r}'_u \times \boldsymbol{r}'_v|} \,\mathrm{d}S = (\boldsymbol{r}'_u \times \boldsymbol{r}'_v) \,\mathrm{d}u \,\mathrm{d}v
\]
\[\begin{align*}
\iint_{S} \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} &= \iint_{S} \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S = \iint_{D} \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{r}'_u \times \boldsymbol{r}'_v \,\mathrm{d}u \,\mathrm{d}v \\
&= \iint_{D} \begin{vmatrix}
P & Q & R \\
x'_u & y'_u & z'_u \\
x'_v & y'_v & z'_v
\end{vmatrix} \,\mathrm{d}u \,\mathrm{d}v \\
&= \iint_{D} \left[ P \frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)} + Q \frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)} + R \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} \right] \,\mathrm{d}u \,\mathrm{d}v.
\end{align*}
\]
上式中，积分的方向实际上隐含在 \(\frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)}\) 等三个 Jacobi 行列式中. 有向面积元又可以表示为
\[\begin{align*}
\mathrm{d}\boldsymbol{S} &= (\boldsymbol{r}'_u \times \boldsymbol{r}'_v) \,\mathrm{d}u \,\mathrm{d}v \\
&= \left[ \frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)} \,\mathrm{d}u \,\mathrm{d}v \right] \boldsymbol{i} + \left[ \frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)} \,\mathrm{d}u \,\mathrm{d}v \right] \boldsymbol{j} + \left[ \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} \,\mathrm{d}u \,\mathrm{d}v \right] \boldsymbol{k}.
\end{align*}
\]
显式曲面 \(S：z = f(x, y), \quad (x, y) \in D\)
\[\begin{align*}
\iint_{S} \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S &= \iint_{D} \begin{vmatrix}
P & Q & R \\
1 & 0 & f'_x \\
0 & 1 & f'_y
\end{vmatrix} \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \\
&= \iint_{D} \left( -P f'_x - Q f'_y + R \right) \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y.
\end{align*}
\]
球坐标系 $ x = R \sin \theta \cos \varphi, y = R \sin \theta \sin \varphi, z = R \cos \theta $
\[\boldsymbol{n} = \frac{\boldsymbol{r}}{R}
\]
\[\iint_{S} \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} = \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2\pi} \boldsymbol{v} \cdot (\sin\theta \cos\varphi \boldsymbol{i} + \sin\theta \sin\varphi \boldsymbol{j} + \cos\theta \boldsymbol{k}) a^{2} \sin\theta \,\mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}\varphi
\]
椭球面
\[S : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1, x = a\sin\theta \cos\varphi, \quad y = b\sin\theta \sin\varphi, \quad z = c\cos\theta
\]
\[\frac{\partial(y,z)}{\partial(\theta,\varphi)} = bc\sin^{2}\theta \cos\varphi
\]
\[\frac{\partial(z,x)}{\partial(\theta,\varphi)} = ac\sin^{2}\theta \sin\varphi
\]
\[\frac{\partial(x,y)}{\partial(\theta,\varphi)} = ab\sin\theta \cos\theta
\]
柱坐标系 \(x = a\cos\theta, y = a\sin\theta, z = z\)
\[\boldsymbol{n} = \frac{1}{a}(x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j}) = \cos\theta \boldsymbol{i} + \sin\theta \boldsymbol{j}
\]
\(\mathrm{d}S = a\mathrm{d}\theta \mathrm{d}z\)
\[\iint_{S} \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} = a \int_{0}^{2\pi} \int_{-h}^{h} (P\cos\theta + Q\sin\theta) \mathrm{d}\theta \mathrm{d}z
\]
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