数量场在曲线、曲面上的积分
数量场 × 曲线
定义
设 \(L\) 是三维空间中一条光滑 (或逐段光滑) 曲线段，\(\varphi(x,y,z)\) 是定义在曲线 \(L\) 上的数量场 (或函数)。作 \(L\) 的任意分割: \(M_0, M_1, M_2, \cdots, M_n\)，并记每段 \(\overset{\frown}{M_{i-1}M_i}\) 的弧长为 \(\Delta s_i\)，最大长度为 \(\lambda = \max\{|\Delta s_i|, i = 1, 2, \cdots, n\}\)。在每段弧 \(\overset{\frown}{M_{i-1}M_i}\) 上任取一点 \(N_i(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)\)。如果下列和式的极限
\[\lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} \varphi(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta s_i
\]
是一个有限数，且与点 \(N_i(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)\) 的选择无关，那么称函数 \(\varphi(x,y,z)\) 在曲线 \(L\) 上可积，极限值称为数量场在曲线上的积分，或称为第一型曲线积分，记为
\[\int_{L} \varphi(x, y, z) \, \mathrm{d}s
\]
保持线性性、保序性、可加性。
求 Riemann 和
计算
\[L: \boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(t) = x(t)\boldsymbol{i} + y(t)\boldsymbol{j} + z(t)\boldsymbol{k}, \quad t \in [\alpha, \beta]
\]
\[\begin{align*}
\int_{L} \varphi(x, y, z) \, \mathrm{d}s &= \int_{\alpha}^{\beta} \varphi\bigl(x(t), y(t), z(t)\bigr) \, \bigl|\boldsymbol{r}'(t)\bigr| \, \mathrm{d}t \\
&= \int_{\alpha}^{\beta} \varphi\bigl(x(t), y(t), z(t)\bigr) \sqrt{x'^2(t) + y'^2(t) + z'^2(t)} \, \mathrm{d}t
\end{align*}
\]
求弧长： \(\varphi(x, y, z) = 1\)
\[\int_{L} \mathrm{d}s = \int_{\alpha}^{\beta} \bigl|\boldsymbol{r}'(t)\bigr| \, \mathrm{d}t
\]
平面 \(x = x\)，\(y = y(x)\)，\(z = 0\)
\[\int_{L} f(x, y) \,\mathrm{d}s = \int_{a}^{b} f\bigl(x, y(x)\bigr) \sqrt{1 + y'^2(x)} \,\mathrm{d}x
\]
平面极坐标 \(r = r(\theta)\)
\[\int_{L} f(x, y) \,\mathrm{d}s = \int_{\alpha}^{\beta} f\bigl(r(\theta) \cos\theta, r(\theta) \sin\theta\bigr) \sqrt{r^2(\theta) + r'^2(\theta)} \,\mathrm{d}\theta
\]
题型
- 求弧长
- 绕某图形一周，分段处理
- 换元至极坐标
- 对称性解题： \(x^2 \Rightarrow \frac{1}{3} (x^2 + y^2 + z^2)\)
- 和物理学交叉：密度、转动惯量、引力...
注意事项
- 别忘了先求导再求模长
- 幂函数积分别忘了系数
- 注意积分的上下限
数量场 × 曲面
面积元
\[\sigma(S) = \iint_{D} \vert \boldsymbol{r}'_u(u, v) \times \boldsymbol{r}'_v(u, v) \vert \, \mathrm{d}u \mathrm{d}v
\]
根据 9.4.2 小节引进的记号
\[E = \boldsymbol{r}'^2_u = x'^2_u + y'^2_u + z'^2_u,
\]
\[G = \boldsymbol{r}'^2_v = x'^2_v + y'^2_v + z'^2_v,
\]
\[F = \boldsymbol{r}'_u \cdot \boldsymbol{r}'_v = x'_u x'_v + y'_u y'_v + z'_u z'_v,
\]
记
\[\mathrm{d}S = \vert \boldsymbol{r}'_u(u, v) \times \boldsymbol{r}'_v(u, v) \vert \, \mathrm{d}u \mathrm{d}v = \sqrt{EG - F^2} \, \mathrm{d}u \mathrm{d}v
\]
公式
\[\sigma(S) = \iint_{D} \vert \boldsymbol{r}'_u(u, v) \times \boldsymbol{r}'_v(u, v) \vert \, \mathrm{d}u \mathrm{d}v
\]
平面 \(x = x(u, v), \quad y = y(u, v), \quad z = 0, \quad (u, v) \in D\)
\[\vert \boldsymbol{r}'_u \times \boldsymbol{r}'_v \vert = \left\vert \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} \right\vert
\]
\[\mathrm{d}S = \left\vert \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} \right\vert \, \mathrm{d}u \mathrm{d}v
\]
参数 \(z = f(x, y)\)
\[\mathrm{d}S = \sqrt{1 + z'^2_x + z'^2_y} \, \mathrm{d}x \mathrm{d}y
\]
\[\sigma(S) = \iint_{D} \sqrt{1 + z'^2_x + z'^2_y} \, \mathrm{d}x \mathrm{d}y
\]
球坐标系 \(x = R\sin\theta\cos\varphi, \quad y = R\sin\theta\sin\varphi, \quad z = R\cos\theta\)
\[\mathrm{d}S = R^2\sin\theta \, \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi
\]
定义
设 \(S\) 是一张有界的光滑曲面，\(\varphi(x,y,z)\) 是定义在 \(S\) 上的数量场。把 \(S\) 分成 \(n\) 块曲面 \(S_1, S_2, \cdots, S_n\)，每一小块的面积记为 \(\sigma(S_i)\)。在 \(S_i\) 上任取一点 \(M_i(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)\)，如果下列极限
\[\lim_{\lambda \to 0} \sum_{i = 1}^{n} \varphi(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \sigma(S_i)
\]
是一个有限数，而且与 \(M_i(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)\) 的选择无关，其中 \(\lambda \to 0\) 表示分块越来越细，那么称 \(\varphi(x,y,z)\) 在曲面 \(S\) 上可积，极限值就是它的积分值，记成
\[\iint_{S} \varphi(x,y,z) \, dS = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i = 1}^{n} \varphi(x_i, y_i, z_i) \sigma(S_i)
\]
计算
\[S：\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(u, v) = x(u, v)\boldsymbol{i} + y(u, v)\boldsymbol{j} + z(u, v)\boldsymbol{k}, \quad (u, v) \in D,
\]
\[\begin{align*}
\iint_{S} \varphi(x, y, z) \, \mathrm{d}S &= \iint_{D} \varphi\bigl(x(u, v), y(u, v), z(u, v)\bigr) \vert \boldsymbol{r}'_u \times \boldsymbol{r}'_v \vert \, \mathrm{d}u \mathrm{d}v \\
&= \iint_{D} \varphi\bigl(x(u, v), y(u, v), z(u, v)\bigr) \sqrt{EG - F^2} \, \mathrm{d}u \mathrm{d}v.
\end{align*}
\]
\(S\): \(z = z(x, y), (x, y) \in D\)
\[\iint_{S} \varphi(x, y, z) \, \mathrm{d}S = \iint_{D} \varphi\bigl(x, y, z(x, y)\bigr) \sqrt{1 + z'^2_x + z'^2_y} \, \mathrm{d}x \mathrm{d}y.
\]
题型
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求面积（规则、所截面积）
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曲面积分
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利用对称性求曲面积分
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面积投影：\(G\) 是平面 \(Ax + By + Cz + D = 0 \ (C \neq 0)\) 上的一个有界闭区域，它在 \(Oxy\) 平面上的投影是 \(G_1\)，则
\[\frac{\sigma(G)}{\sigma(G_1)} = \sqrt{\frac{A^2 + B^2 + C^2}{C^2}}
\]
- 交叉物理：求质量、转动惯量、引力...
tips
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可以直接用投影的定义求面积
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注意积分的范围
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注意对称性：区域的对称性 & 积分函数的对称性 (\(x^2 + y^2 \Rightarrow \frac{2}{3} (x^2 + y^2 + z^2)\))
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也可以先代入后换元，这样求 Jaccobi 会简单一些
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为什么我总是算错啊
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\(\displaystyle \star \int \sqrt{a^2 + x^2} dx = \frac{a^2}{2} \ln \left( \sqrt{x^2 + a^2} + x \right) + \frac{x}{2} \sqrt{x^2 + a^2} + C \quad \text{令} x = a \sinh t\)
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积分时去掉根号有时会更简单
浙公网安备 33010602011771号