全排列各种实现（非递归、递归）

方法一：（非递归）字典排序找后继
以6个数字的全排列为例说明，相当于用1,2,3,4,5,6 构造一个六位数，每一位上取一个数，这样一共有6！中方法。
很显然，这6！个数是有大小的，如果按从小到大排列，示意如下：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 6 5
1 2 3 5 4 6
…………
6 5 4 3 2 1
显然 ， 每个数有唯一后继 ！ 如果找到一个数没有后继（6 5 4 3 2 1），则停止。
算法描述如下：

  int[] num = {1,2,3,4,5,6};
  while(hasNext()) {
           print (num);
           num = next();
  }

那么问题的重点在于如何判断是否有后继，以及怎样找到后继 !

是否有后继很好判断，唯一没有后继的只有654321,它的特点是每位的数字比后面的大！

如何找到后继，思路很清楚，即对于一个数，找到一个比它大的、最小的数！

从后往前搜索，找到一个极大值点（top） num[top-1] < num[top] ,

要使得下个数大于前一个数，找一个大于num[top-1]的数和top-1 交换，但要使得它最小，取其中最小的但大于num[top-1]的数。

交换之后，top以及其后面的数字还是单调递减的，将其位置对调，得到最小的数。

以 1 2 4 6 5 3 为例， 从后往前找到6 为一个极大值，考虑处理4 和后面的6 5 3 三个数字，大于4 的最小数字为5 ，对换得到5 和 6 4 3，

然后由于后面的6 4 3 还是单调递减的， 将其颠倒得到3 4 6 ，即 1 2 5 3 4 6 为 1 2 4 6 5 3的后继 。

源码：

#include < stdio.h>
#include < stdlib.h>

int x[6]= {1,2,3,4,5,6};

void printX()
{
    int i = 0;
    for(i=0;i<6;i++)
        printf("%d ",x[i]);
    printf("\n");
}
int hasNext()
{
    int m = 5,i;
    for(i=m;i>0;i--)
        if(x[i]>x[i-1])
            return 1;
    return 0;
}
void next()
{
    int i = 0;int top,mm;
    int tmp;
    //找到峰值
    for (i=5;i>0;i--)if(x[i] > x[i-1]){top = i;break;}
    //找到交换的数，大于峰值前一个数的 最小的数
    mm = top;
    for (i=top+1;i<6;i++) if(x[i]<x[top-1]){mm=i-1;break;}

    tmp = x[top-1]; x[top-1] = x[mm]; x[mm] = tmp;
    //颠倒后面的数 
    for(i=0;i<=(top+5)/2-top;i++){
            tmp = x[i+top]; x[i+top] = x[5-i]; x[5-i] = tmp;
    }

}
int main(int argc,char *argv[])
{     
    printX();
    while (hasNext())
    {
        next();
        printX();
    }
    return 0;
}

 

 

方法2 ： （非递归）变进制数 【排列与数的对应】

常进制数

例如：十进制数、二进制数等等。实际上他们是以一个固定的整数作为进位值的。一般的，r 进制数就是每个位置满r 进一。

设有r 进制数An,An-1,An-2,...,A1，其中1=< Ai <= r-1, 1<= i <=n，i 位置的权重Pi=r^(i -1)。其对应的数值K 计算方法为： K = ΣAi*Pi = An*Pn+An-1*Pn-1+...+A1*P1

变进制数

推广的，我们不一定要用固定的数值作为进位值，设有正整数序列B1,B2,...,Bn,...，其中Bi >=2，我们就可以把它当作各个位置上的进位值，即第i 个位置满Bi 进一，添加B0 =1，则权重Pi=B0*B1*...*Bi-1 , i >=1，变进制数An,An-1,An-2,...,A1，其中0=< Ai <= Bi -1, 1<= i <=n，其数值的计算方法仍然是上述K 的公式。

实际上，我们日常生活中有很多变进制数，比如时间的描述“1年9个月8天6小时6分30秒”。

阶乘数系

　最特殊、最简单的变进制数，就是取Bi=i +1, i >=1，则Pi=1*2*...*(i-1)*i =i !，其权重恰好是整数的阶乘，因而被称为阶乘数。阶乘数第i 个位置最大数值是i 。 

 我们知道n个不同的元素有n!个排列，我们这里考虑数字1,2,...,n的排列。现在我们要给他们一个排序方法，也即是找到他们和自然数列0,1, 2, ..., n!-1 的一个对应，习惯上的，我们按照排列逆序的程度来排序。在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。在这列我们取数字i 左侧大于i 的数字的个数（逆序），其他定义类似。
　　例：有排列 35241 ，1左侧有4个比它大，2左侧有2个比它大，数字3有0个，数字4有1个，数字5有0个，我们将这些逆序数倒着写下来是：42010.

以下表格以三个数位为例说明：

数字	变进制表示	逆序数组	位数数组	对应排列
0	0*2! + 0 *1!	000	012	123
1	0*2! + 1 *1!	010	021	132
2	1*2! + 0 *1!	100	102	213
3	1*2! + 1 *1!	110	120	312
4	2*2! + 0 *1!	200	201	231
5	2*2! + 1 *1!	210	210	321

C++程序实现：　　

int fact(int n)
{   //阶乘函数
    int x = 1; 
    for(int i=n;i>0;i--) 
        x*=i;
    return x;
}
void perm(int n)
{
    int *fa = new int[n+1]; //保存阶乘结果 
    int *r = new int[n],*r2 = new int[n],*num = new int[n];
    //r 计算逆序数；r2计算对应位数；num保存排列结果
    int tot = 0;
    for (int i=0;i<n+1;i++) 
        fa[i] =fact(i);

    for (int count=0;count<fa[n];count++) {
        //一共n!个排列，对每个数，计算其对应的序列
        
        tot = count; //r,r2 保存变进制数结果，即对应的逆序数组
        for (int b=n-1;b>=1;b--) {
            r2[n-1-b] = r[n-1-b] = tot/fa[b]; 
            tot = tot % fa[b];
        }
        r[n-1] = r2[n-1] = 0;
        //根据逆序数，计算每个数字所在位数
        for (int b=1;b<n-1;b++) {
            for (int k=b-1;k>=0;k--) {
                if(r[k]<=r[b])
                    r2[b] ++;
            }
        }
        for (int i=0;i<n-1;i++) {
            r2[n-1] += (i+1 - r2[i]);
        }
        //根据位数计算出排列
        for (int i=0;i<n;i++) {
            num[r2[i]] = i+1;
        }
        //打印结果
        for (int i=0;i<n;i++) 
            cout << num[i] << " "; 
        cout << "[num]"<<endl;
    }
}

 

 

方法3 ： （递归）交换

#include <stdio.h>  
int n = 0;  
void swap(int *a, int *b) 
{     
    int m  = *a;     
    *a = *b;     
    *b = m; 
}  
void perm(int list[], int k, int m) 
{     
    int i;     
    if(k > m)   {          
        for(i = 0; i <= m; i++)             
            printf("%d ", list[i]);         
        printf("\n");         
        n++;     
    }    else {         
        for(i = k; i <= m; i++)         
        {             
            swap(&list[k], &list[i]);             
            perm(list, k + 1, m);             
            swap(&list[k], &list[i]);         
        }     
    } 
} 
int main() 
{     
    int list[] = {1, 2, 3, 4, 5};     
    perm(list, 0, 4);     
    printf("total:%d\n", n);     
    return 0; 
}