[数学] 使用建委的85折房贷利率，是否应该提前还款？

如果不想看细节，结论就是：如果你的平均变值利率r’ > 银行的平均变值利率r， 你就不应该提前还款。否则应该提前还款。我自己也算过，如果计算中犯了某个错误，你可能会得出结论，平均定值利率高于r就好。平均变值利率大概的意思，就是说按照复利的标准来算你的每月投资回报率。平均定值利率就是说按照单利的标准来算你的每月投资回报率。后面我会解释为什么我发明出两个新概念，而不是直接使用单利、复利这两个概念。

水木上不能贴图，想看图片见博客

最近在计算一个问题，如果我使用了建委的85折房贷利率，我到底应该提前还款好还是推迟还款好？

自己做了一些数学计算，但是还是得不到答案。特别是看了论坛中的某些争论，如“住房贷款到底是单利还是复利”后，就更加困惑了。

昨晚花一段时间思考，方才明白。之所以算不清楚，还是因为偷懒，没有把概念厘清，数学计算没有做到最后一步。而是满足于利用数学计算得到的一些直觉，来猜最后的答案。

好了，首先，住房贷款到底是单利还是复利？

什么是单利贷款？ 假设你借了一笔钱，本金是P，利率为r，经过n个计息周期之后（在此其间你都不还款），如果需要偿还的总金额为P(1+rn)，那么这就是单利贷款。单利贷款的特点是，在每个新的计息周期内，始终以本金作为利息产生基础。

如果需要偿还的总金额为P(1+r)^n，那么就是复利贷款。复利贷款的特点是，在每个新的计息周期内，始终以(本金+贷款)作为利息产生基础。

可是对于房贷来说，不管是等额本金还是等额本息，我没法一眼看出“假设你不还款”的情况下，银行到底是用单利公式还是复利公式。因为，你每个月都把利息给还完了。所以两个公式都变成了本金为基础。

但是，概念的纠结归根到底在于，概念根本就不对！对于有还款的情况，根本就没有单利或复利这种概念。单利和复利只对无还款的情况成立。

在单利和复利概念背后，有两类特殊的概念，它们具有更加广阔的应用范围。第一组概念是“线性增长”与“指数增长”。下图中，图1就是线性增长，图2是指数增长。

单利贷款的意思是：贷款符合线性增长。复利贷款符合指数增长。可是在有还款的情况下，真实的增长是图3或者图4。我们最好还是不要叫图3或者图4是单利或复利了吧，我倾向于就管它们叫线性增长和指数增长。

真实的理财产品，比如你的股市收入，是像下图一样的，你不知道它叫什么增长。但是，在真实的世界中，我们还是要算增长率。怎么算呢？假设我一年赚了5%，这里我给出自己发明的概念（因为本人非专业，让方家见笑了），即平均定值利率和平均变值利率。每月的平均定值利率为(5/12)%，每月的平均变值利率是(1+r)^12 = 100.5%中的r。注意，这两个定义中的平均，它们只是一个平均量，丝毫不代表你的收入服从线性或者指数变化。然后呢，在有还款的情况下，平均变值利率更加有用，因为还了款之后，你很难说服自己继续以本金为基础产生利息。

好了，在以上讨论之后，我不在乎住房贷款是单利还是复利了，因为这两个概念根本就不适用。

现在回答第二个问题，你的投资回报率有多高，不提前还款才有好处的？

我现在只计算一种情况，就是使用等额本金还款方式，因为这种方式更像是传说中的“单利”，当我们推出我们需要一种传说中的“复利”投资时，才会更加震惊。注意，单利和复利完全是错误的讲法，这里只是因为结论有那么一些模糊的、但错误的类比关系。

假设你手头有现金A，现在m-1期还款刚刚结束，你可以选择提前还款Q，或者在m+1期刚结束后还款Q’，哪一种方式对对你来说比较合适呢？

假设你现在选择的是分N月完成等额本金还款，最初借了P元，月利率为r。所以，第m月你需要还款 X_m = P/N + (N – m + 1)P*r /N。

如果你在m-1期末不提前还款，那么第m月你需要还款X_m，在第m+1月你需要还款X_m+1, 在第m+1月末提前还款Q’。

另外，这里假设你投资的平均变值利率是r’。那么，在m+1月末，你最终的资产总额是：A_1= (A * (1+r’) – X_m) * (1+r’) – X_m – Q’

在m+1月末，你的剩余本金是P-(m+1)P/N – Q’。

如果你在m-1期末提前还款Q，那么第m月你需要还款X’_m，在第m+1月你需要还款X’_m+1，你的最终资产总额是：A_2 = [(A – Q) * (1+r’) – X’_m] * (1+r’) – X’_m。

在m+1月末，你的剩余本金是P-(m+1)P/N - Q。

为了保证两种还款方式的效果等价，也就是说不影响未来还款，两种还款方式最后导致的剩余本金数应该一样，所以Q = Q’。

那么，我们的问题就转变为，A_1 – A_2是否大于0?

X_m = P/N + (N-m+1) P*r/N

X’_m  = P/N + (  (N-m+1)P/N  - Q) * r

所以A_1 – A_2 = Q(1+r’) ^2 – Qr(1+r’) – Qr – Q

除以正数Q不影响A_1- A_2的符号，所以问题变为求(1+r’)^2 – r(1+r’) – r –1 = (1+r’) (1+r’ – r) – r - 1的符号。

当r = r’时，上式为0。

如果r’ = r+delta (delta为正) 时， (1+r’)(1+r’-r)增大，所以，A_1 – A_2 大于0。也就是说，不应该提前还款。

当r’<r时，应该提前还款。

结论是：如果你的平均变值利率r’ > 银行的平均变值利率r， 你就不应该提前还款。否则应该提前还款。也就是说，你在计算自己的投资回报率的时候，不要满足于你的平均定值利率高于r。

在以上的证明过程中，有一个最容易犯的错误。那就是，不去算最终的资产总额，若是去算你的总还款额。比如在m-1期末不提前还款、m+1期再还款的方案下，看起来你的总还款额是X_m + X_m+1 + Q’。

在m-1期末提前还款的情况下，总还款额是X’_m + X’_m+1 + Q’。然后比较两个总还款额哪个少。

这种计算方法最大的问题是，如果你m-1期末提前还款，X’_m和X’_m+1都会比X_m 和X_m+1小，所以，你可以把差额部分拿去投资！所以，提前还款后，你固然提前占用了Q的资金量，但是在下一期还款的过程中，你可以释放出X_m – X’_m的资金量去投资！

比较总还款额实际上忽视了X_m – X’_m这部分资金继续投资的可能性。

我自己也算过，如果犯了这个错误，结论会是：你的平均定值利率高于r就可以了。

所以，在此与 @jumbonb 兄讨论，我认为以定期的利率，还是提前还款好。

发信人: jumbonb (jumbo), 信区: RealEstate
标  题: 提前还贷的账算不懂，求指证
发信站: 水木社区 (Tue Oct  1 06:57:27 2013), 站内
大家都知道，银行贷款是按单利计算的，我买的楼盘可以打85折，利率为6.55*0.85=5.5675。若我有一笔钱，假如提前还给银行，会持续每年给我节省5.7%的利息支出。
若我把这笔钱存银行定期5年，利率为4.75，每5年记一次复利，20年后平均年化利率为（（1+.0475*5）^4-1）/20=6.726%。如果存30年等价利率更高。
也就是说以20年跨度计算，存款由于记复利，定期存款利率已经超过贷款利率，在不考虑通胀前提下，似乎完全没有提前还贷的必要啊