线性回归算法

线性回归 (Linear Regression) 是一种用于预测连续值的最基本的机器学习算法，它假设目标变量 y 和特征变量 x 之间存在线性关系，并试图找到一条最佳拟合直线来描述这种关系。

y = w * x + b

其中：

• y 是预测值

• x 是特征变量

• w 是权重 (斜率)

• b 是偏置 (截距)

线性回归的目标是找到最佳的 w 和 b，使得预测值 y 与真实值之间的误差最小。常用的误差函数是均方误差 (MSE)：

MSE = 1/n * Σ(y_i - y_pred_i)^2

其中：

• y_i 是实际值。
• y_pred_i 是预测值。
• n 是数据点的数量。

如何求解线性回归？

1、最小二乘法

最小二乘法的目标是最小化残差平方和（RSS），其公式为：

其中 yi是实际值，yi^是预测值，求解后得到

 

求解过程

• 

梯度下降法

梯度下降法的目标是最小化损失函数 J(w,b)J(w,b) 。对于线性回归问题，通常使用均方误差（MSE）作为损失函数：

 

其中：

• mm 是样本数量。
• yiyi​ 是实际值。
• y^iy^​i​ 是预测值，由线性回归模型计算得到。

对于线性回归，梯度计算如下：

参数更新规则

梯度下降法通过以下规则更新参数 ww 和 b：

 

其中：

• αα 是学习率（learning rate），控制每次更新的步长。

使用 Python 实现线性回归

手动实现梯度下降法

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import LinearRegression

# 生成一些随机数据
np.random.seed(0)
x = 2 * np.random.rand(100, 1)
y = 4 + 3 * x + np.random.randn(100, 1)

# 初始化参数
w = 0
b = 0
learning_rate = 0.1
n_iterations = 1000

# 梯度下降
for i in range(n_iterations):
    y_pred = w * x + b
    dw = -(2/len(x)) * np.sum(x * (y - y_pred))
    db = -(2/len(x)) * np.sum(y - y_pred)
    w = w - learning_rate * dw
    b = b - learning_rate * db

# 输出最终参数
print(f"手动实现的斜率 (w): {w}")
print(f"手动实现的截距 (b): {b}")

# 可视化手动实现的拟合结果
y_pred_manual = w * x + b
plt.scatter(x, y)
plt.plot(x, y_pred_manual, color='green')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Manual Gradient Descent Fit')
plt.show()