【刷题】面筋-两颗鸡蛋测临界楼层的问题
题目
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有一栋楼，共100层。
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定义：鸡蛋在第n层楼扔下，不会碎，第n+1层扔下，会碎，那么第n层就叫临界楼层（即最高的安全楼层）
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你手中有两个鸡蛋（默认理想状态：两个鸡蛋完全相同），如何优化尝试策略，使得使用最少次数，测出临界楼层
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即，使用此策略，最差也可以在多少次以内测出临界楼层
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（ps:假定鸡蛋一定会在某层楼下落后碎掉）
思路1：暴力法遍历
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为了不让鸡蛋碎掉，我们从一楼开始测试，这样只需要一个鸡蛋，当到达临界楼层的上一层n+1时，鸡蛋碎了，然后我们可以得出n层是临界楼层，这是最原始的方法，遍历。
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这种策略最糟糕的情况会是测试到100楼鸡蛋才会碎，测试次数是100次，临界楼层是99楼。
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最好的情况是测试到2楼鸡蛋就碎了，测试次数是2次，临界楼层是1层。
思路2：二分查找
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我们手中有俩鸡蛋，为了充分利用条件，我们可以利用第一个鸡蛋来缩小范围。
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先跑到50楼去扔，没碎的话，再去75楼去扔···直到第一个鸡蛋碎掉。
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如果我们从50楼扔，没碎，说明50楼以下是安全的，50楼以上还有50楼，那我们再去上面的50楼的一半——75楼去扔，在75楼碎了，说明临界楼层在50层~74层之间，我们就利用第二个鸡蛋，遍历51层到74层。这是运用二分法。
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这种策略最糟糕的情况会是50层鸡蛋就碎了，49层是临界楼层，测试次数是1+49次。
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最好的情况是1楼是临界楼层，测试次数是1+2次。
思路3：平均分组
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尝试使每个鸡蛋的测试任务大致相当，即给100开个平方根，第一个鸡蛋只测试整十楼层，第二个鸡蛋测试两个整十楼层之间的楼层。我们可以先测10楼，20楼，30楼···，直到第一个鸡蛋碎掉。
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如果我们测到30楼，第一个鸡蛋碎了，那我们就用第二个鸡蛋遍历测试21~29楼。
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这种策略最糟糕的情况会是99层是临界楼层，测试次数是10+9次。
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最好的情况是1楼是临界楼层，测试次数是1+2次。
思路4：非平均分组
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我们假定存在一种最优策略，最多n次测试就能找到临界楼层。那么，最糟糕的状况会是哪一种呢？
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从上面的分析可以看出，测试次数分为两部分
- 第一颗鸡蛋的测试次数x，用来缩小范围
- 第二颗鸡蛋用来在小范围内查找临界楼层y
- 即x+y=n
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那么当测试次数固定为n时，每当x增加1，y则减少1
- 即，每当第一颗鸡蛋测试一次，那么所留给第二颗鸡蛋探查的范围就应该减少1
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例如：
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如果n=10,那么第一次探查了20楼，使用了一次机会，如果碎了，确定的范围是1~19，那么，第二颗鸡蛋需要使用10-1次机会去探查19层，在最糟糕的情形下显然无法完成。
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显然当n=10时，第一次探查为10楼显然更合适，确定下来的范围是1~9，第二颗鸡蛋使用10-1次探查9层楼，最糟糕的情形下也能满足。
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如果探查10楼后鸡蛋没碎，而在第二次探查时碎了呢？我们第二次探查应该把范围再缩小1，如果第一个鸡蛋多探查一次，那么留给第二颗鸡蛋的探查机会就少一次，我们要保证在最糟糕的情形下也能探查到，所以留给第二颗鸡蛋的探查范围应该与其探查机会相等。即第一颗鸡蛋的第二次机会应该探查第19层，确定下来的范围需要探查的范围是11~18，第二颗鸡蛋的剩余探查次数刚好为10-2，匹配成功
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·····
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根据以上分析，我们可以发现，每一次的探查范围都减一，即n-1,n-2,n-3,....2,1,0
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最后我们的探查范围会缩小到0
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那么我们把这些探查范围加起来，再加上n就是我们的探查总范围
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即n+(n-1)+(n-2)+······+3+2+1+0=100
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我们先假设最坏情况下，鸡蛋下落次数为x，即我们为了找出N，一共用鸡蛋做了x次的实验。
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假设第一次是在第y层楼扔的鸡蛋， 如果第一个鸡蛋在第一次扔就碎了，我们就只剩下一个鸡蛋，要用它准确地找出N， 只能从第一层向上，一层一层的往上测试，直到它摔坏为止，答案就出来了。
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由于第一个鸡蛋在第y层就摔破了， 所以最坏的情况是第二个鸡蛋要把第1到第y-1层的楼都测试一遍，最后得出结果， 噢，原来鸡蛋在第y-1层才能摔破(或是在第y-1层仍没摔破，答案就是第y层。) 这样一来测试次数是1+(y-1)=x，即第一次测试要在第x层。
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OK， 那如果第一次测试鸡蛋没摔破呢，那N肯定要比x大，要继续往上找，需要在哪一层扔呢？ 我们可以模仿前面的操作，如果第一个鸡蛋在第二次测试中摔破了， 那么第二个鸡蛋的测试次数就只剩下x-2次了(第一个鸡蛋已经用了2次)。 这样一来，第二次扔鸡蛋的楼层和第一次扔鸡蛋的楼层之间就隔着x-2层。
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我们再回过头来看一看，第一次扔鸡蛋的楼层在第x层，第1层到第x层间共x层； 第1次扔鸡蛋的楼层到第2次扔鸡蛋的楼层间共有x-1层(包含第2次扔鸡蛋的那一层)， 同理继续往下，我们可以得出，第2次扔鸡蛋的楼层到第3次扔鸡蛋的楼层间共有x-2层， ……最后把这些互不包含的区间数加起来，应该大于等于总共的楼层数量100，即x + (x-1) + (x-2) + ... + 1 >= 100
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注：算式中的项表示的是第一颗鸡蛋走的层数，因此是从n开始。
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解刚好为正整数14，即使用此策略最多探查14次即可在100楼中找到临界楼层
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另外，当探查总范围发生改变时，解的n可能为小数，显然，探查次数只能为整数且n越小探查总范围越小，
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即n应向上取整
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我先用第1个鸡蛋在以下序列表示的楼层数不断地向上测试，直到它摔破。 再用第2个鸡蛋从上一个没摔破的序列数的下一层开始，向上测试， 即可保证在最坏情况下也只需要测试14次，就能用2个鸡蛋找出从哪一层开始， 往下扔鸡蛋，鸡蛋就会摔破。
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14, 27, 39, 50, 60, 69, 77, 84, 90, 95, 99, 100
- 比如，我第1个鸡蛋是在第77层摔破的，那么我第2个鸡蛋就从第70层开始，向上测试， 第二个鸡蛋最多只需要测试7次(70,71,72,73,74,75,76)，加上第1个鸡蛋测试的 7次(14,27,39,50,60,69,77)，最坏情况只需要测试14次即可得出答案。
代码实现
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这个问题还有一个泛化的版本，即d层楼，e个鸡蛋，然后设计方案找出N， 使最坏情况下测试的次数最少。这个要用动态规划(DP)来解。
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f[d][e]表示d 层楼，e个鸡蛋时，最坏情况下的测试次数，则：
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f[d][e]=min{max(f[d-i][e]+1，f[i-1][e-1]+1)}，i=1,2,...,d;
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f[k][1]=k，0<=k<=d，f[0][0...e]=0;
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实现代码如下：
int min_testnumber(int d, int e)
{
int **f=new int *[d+1];
int i,j,k;
for(i=0;i<=d;i++)
f[i]=new int[e+1];
for(i=0;i<=d;i++)
f[i][1]=i;
for(i=0;i<=e;i++)
f[0][e]=0;
for(i=1;i<=e;i++)
{
for(j=1;j<=d;j++)
{
int tmp;
int min_test=0x7FFFFFFF;
for(k=1;k<=j;k++)
{
tmp=f[j-k][i]+1>f[k-1][i-1]+1?f[j-k][i]+1:f[k-1][i-1]+1;
if(tmp>min_test)
min_test=tmp;
}
f[j][i]=min_test;
}
}
return f[d][e];
}
扩展
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如果我们有三个鸡蛋，有k次机会，我们最大可以测试多少层楼？
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思路同前面一样，第一次测试，不能太高也能太矮，必须恰到好处，也就是第一枚鸡蛋如果破碎，剩余k-1次机会能将剩余楼层给测试完。
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由上面结论，k-1次机会最多可以测试k(k-1)/2层楼，所以第一次在k(k-1)/2+1层楼，第一次如果第一枚鸡蛋不碎，第二次在此基础上增加(k-1)(k-2)/2+1层楼，于是，三个鸡蛋k次机会总共测试楼层数为
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k=9.
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至于四个鸡蛋，五个鸡蛋，以至于M个鸡蛋，可以以此类推，方法同上。
