题解：P9780 [HUSTFC 2023] Azur Lane

P9780 [HUSTFC 2023] Azur Lane

题意：

给定一长度为 \(m\) 的序列 \(a\)，分别将序列 \(a\) 分成 \(1,2, \dots ,n\) 段（\(n\) 不确定，每段都不为空），要求每段内的数字单调不上升，定义代价为 \(\sum\limits_{i=1}^{k}cut[i]\)（\(k\) 表示分成的段数，\(cut[i]\) 表示前 \(i\) 段内数字个数），输出分成 \(1,2, \dots ,n\) 段各自所需要的最小代价，若无解输出 \(-1\)。

思路：

显然，\(1 \leq n \leq m\)。

• 当 \(n=m\) 时，每个数字单独成段，代价恒为 \(\frac{(1+n) \times n}{2}\)（等差数列求和）。
• 当 \(n < m\) 时，由贪心得：一个数字越往后放越优（被重复计算的次数少）。那么考虑倒序枚举数字大小，若当前数字不小于后面数字，则将它加入后面数字的那一段使段数减小，并计算该段数代价，由贪心得，该代价为最优解。
• 代码有注释，如果不理解可以手动模拟看下。

数据范围：

\(1 \leq m \leq 10^6\)，求和会爆 int，要开 long long。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long m, k, a[1000005];
long long f[1000005]; //f[i] 表示分成 i 段时需要的代价 
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin >> m >> k;
	for(int i=1; i<=m; i++) cin >> a[i];
	f[m]=(1+m)*m/2; //当 n=m 时的代价 
	long long k=m; // k 表示当前的分段数量 
	for(int i=m-1; i>=1; i--){
		if(a[i]>=a[i+1]) {
			k--; //可以将 a[i] 与 a[i+1] 捆绑，因此分段数量减少 1 
			f[k]=f[k+1]-i; //减去该数字在上一个代价中的贡献 
		}
	}
	for(int i=1; i<=m; i++){
		if(!f[i]) cout << "-1 ";
		else cout << f[i] << " ";
	}
	return 0;
}