动态规划--01背包

在0-1背包问题中，我们设 表示在考虑了前i个物品后，大小为V的背包的最大价值， 表示第i件物品的重量， 表示第i件物品的价值，其状态转移方程为

如果我们把 看做关于背包容积V的函数列，则很容易发现 只与 , , 相关，即 可以由 递推得来。

既然i-1以前的F都用不到，我们就可以使用滚动数组了，即用 与进行递推，只占用两个F的空间。

但是，这样的优化也还是不够的。

想象一下，如果我们只使用一个数组F会造成什么后果？很明显会使得的部分值被覆盖，这没问题。但巧就巧在， 所依赖的项 与 的下标都小于或等于V，也就是说( >=) 被覆盖了并不会影响的计算。

所以，状态转移方程变成了

并且V是倒着推的。

另附彩蛋：上面这个方程的V正着推可以解决完全背包问题。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<stack>
#include<queue>
#include<map>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
using namespace std;
const int maxn=100;//物品最大上线
const int maxv=1000;//v的上线
int w[maxn],c[maxn],dp[maxv];
int n,V;
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&V);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&w[i]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&c[i]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int v=V;v>=w[i];v--){
            dp[v]=max(dp[v],dp[v-w[i]]+c[i]);
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=V;i++){
        if(ans<dp[i])
            ans=dp[i];
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}