Codeforces Round #711 实录

【A】

记得用ll

感觉不会修改很多次就能出解。

【B】

单纯的装箱是需要DP，甚至是NP-hard的

但是这里都是2^x

每一行显然留得空越少越好

W二进制分解，从高位的1开始往下走，把wi从大到小排序，找到能放的就把wi放在这个位置上。

一轮完了，还有wi没放，重头开始。

O(N)

不对，是一个我不知道怎么证明的贪心

但是，因为是二进制，可能这样做是对的。

TLE，我艹

首先贪心算法能达到最少空间，这是没问题的，二进制的特性。

接下来就是优化模拟。

感觉焦虑万分。。

等等，找到公式了。。

又WA了一发，这把要崩盘啊。。冷静一下。。分析问题

w不是2^x

直接用堆可以的吧。。

对每个元素，找一个>=它的最小的元素，嗯，好像是multiset吧。。

终于A了。。原来是这个路子。。一开始第一感觉错了啊。

【C】

有趣的题，一定是DP和贡献法

转换一下视角，题目描述太动态了。

方向应该都可以改为同向。对称性。

DP顺序条件不够好

感觉挺裸的DP啊。。

【D】

感觉有点张成空间的味道，毕竟系数你可以自己选。

感觉很诡异啊。。分数形式都出来了。。还TM弄个取整，恶心死我。。

分母固定。

k 单调不减

 

赛后：感觉身体被掏空。

【B】这题竟然用了将近1h做出来，第一直觉如果错了真的血崩，其实主要还是贪心算法，不容易证明正确性，自己却愿意骗自己，认为自己已经想对了（不然意味着你还得花不确定的时间想新的算法）。

看了题解，的确是用调整法，使用调整法的着力点是二进制的一个性质：

如果a1+...+ak>x，其中ai都是二次幂，从大到小，且a1<=x，那么必然存在一个l<k，使得a1+...+al=x，也就是存在==x的前缀。

然后我们的算法是，把块按大小排序（从大到下），对当下的箱子，找到长度能容纳它的长度最小的箱子塞，否则加一个新箱子塞。

首先，哪个块先塞是无所谓的，块与箱子的对应关系才是matter的，假设有一个方案，把当前块X不是塞进了长度能容纳它的长度最小的箱子A，那么有两种可能：

后续塞到A的块的长度之和Y<X，那么我们把这些块与Y在该方案中塞到的箱子的位置，进行swap，显然是可行的，且不改变箱子总数。

后续塞到A的块的长度之和Y>=X，利用上面提过的性质，这些块一定可以选出若干，其和恰好=X，那么也可以把这些块与X的位置进行swap。

所以我们的算法总是不破坏最优解。调整成功。

现在来证明这个性质：

用数学归纳法，设对于k-1的情况，式子成立，那么对于k的情况，因为x>=a1，可以把x写成x=2^m*a1, m>=1（显然m=0那么直接取a1）

因此，用掉一个ai后，就转化为x'=x-a1,  a2+...+ak>x'的问题。（依然有x'>=a2）

于是这个性质是成立的。

（感觉我不能主动地使用数学归纳法。。这是硬伤，只能等别人告诉我要用数学归纳法，然后我才会试着证明）

【D】因为m太大以至于我一上来就开始想可行的算法，但是却没考虑过纯粹的暴力。因为什么取整啊，分数啊，恶臭至极，让人无从下手，那么先抛开数据范围不管，想一个多项式时间的暴力是有必要的。（起码这是O(NM^2)的暴力，而不是那种爆搜的O(2^N)的暴力），有了暴力算法就有前进的基地，一般而言，正解可能与暴力完全不相干，但是这里却是对暴力的优化。

暴力就是，在每一个时间，维护从一开始，经过某些系数的选择，可以达到的数字的集合，那么下一时间，就是从这些数字集合中再次张成新的数字集合。

因为，我们的操作，是可以平等地施加给集合中的每个元素的，因此，我们如果对一个数字k1，施加了一些操作，得到了k2，其中k2在之前就存在于集合内，那么我们就不需要继续对k1施加新的操作了。

因为，当我们对k2施加操作的时候，形成的数字包含了k1继续操作所能形成的数字。（也算是一种单调性吧，集合包含关系的单调性）

去除重复的访问后，因为我们能形成的数字都在m之间（外面的不需要管），而且不重复访问，那么每次，之前未被访问的点最多被访问过一次，已经被访问的过点，最多访问两次，一次是从它出发，另一次是被更小的生成，所以每次的访问数量是O(M)的，整体就是O(NM)。

这种题。。说不出的滋味。。画风太奇怪了。。影响我的判断力。。