CF1452G Game On Tree

可以理解为狮群抓羊。对每个点都要输出答案，有点天天爱跑步那味道。

给定一个步数X，怎么判断在双方都走最优走法的情况下，X步后羊是否被抓呢？

狮子只有一只，问题可能会简化很多。

这感觉也是个经典问题，但我不会。

 

题解中把羊的走法的形态给分析出来了，一定是一直跑，然后停在一点不动。

假设在第x步羊跑到了点a，同时这一步内狮子也跑到了点a，那么其实，完全可以在第x-1步的时候羊不动，因为在算法终结前，没有狮子在第x-1步羊的位置（否则也就不会有第x步了），所以狮子也至少需要1步来走到羊的位置。因此我们的方案都可以调整为，一直跑，然后停在一点不动，且在羊刚跑到终点的那一步内，狮子并没有追上。

那么这个终点就具有一种性质，它到狮子的距离的最小值一定>它到羊的起点的距离。

 

但这个证明不是第一眼看上去那么显然，因为羊的走法不是事先规划好的，而是动态调整的。

不管羊怎么跑，每只狮子都朝它与羊的最短路缩短的方向上走，这样是最好的抓捕策略吗？就某只狮子与羊来看，的确如此（这一步直觉感受一下）。那么对于整体来说，最优之中取最优，也是最优。

在羊的所有走法中，对于那些以a为终点的方案，首先，按照我们的走法，每只狮子与羊的距离只会减少、不变，但绝不会增加。

现在反证，假设，终点，它到狮子的距离的最小值<=它到羊的起点的距离。

如果初始情况下狮子与羊的最短路中包含a，则狮子一定比羊更先达到a（不管羊往什么方向跑，只要狮子按照我们的策略跑，一定能达到a且比羊更早达到）

而狮子一旦达到a，这时我们按照a把树分裂，除了a所在的树外，其余树上的点，a在之后的逃亡中绝不会达到。（狮子始终守住了关口，这一步直觉感受一下）

因此a不可能是羊在经过我们调整意义下（最后不是羊和狮子同时到a）的方案的终点。

于是初始情况下狮子与羊的最短路中不包含a，但是a在最短路上的祖先，必然离狮子更近，于是再次直观感受一下，羊也不可能突破狮子的关口。

因此，包含a或不包含a都不可能，矛盾，终点它到狮子的距离的最小值一定>它到羊的起点的距离。

 

这是个必要条件，反过来，如果终点满足这个条件，那么羊可以一路沿着最短路走到终点（没有别的狮子可以在这个路径上拦截，这会破坏必要条件），因此这个必要条件所限定的点同时也是终点的充分条件。

我们利用终点来分类讨论，           其实           ，好像也没有讨论的必要啊，反正是终点，且中途不会被拦截，那么对应的答案就是狮子到这个点的距离的最小值，对每个点，这些最小值算出来max就是ans了。

不过我们是要对每个点输出答案。

暴力算O(N^2)，优化的话，怎么感觉又是一个经典（但不会）的问题。把狮群的点设成d=0加入到队列，然后bfs就行了。O(N)