CF1491G Switch and Flip

这题给我的第一观感要优于题目I

这题的母题显然是1~n个硬币，通过swap变为有序。

只不过多了一个正反面的属性。

正反面的翻转本身也往往与奇偶性联系起来。

因此每个数字被翻转的次数就自然地进入了我的视野。

它们都得是偶数。

而一次翻转操作会涉及两个数字，我现在有单独考虑一个数字的被操作次数的倾向，那么能否把一个操作给拆成两个半操作？

在这个方向上暂无头绪，先退回来，再退一次，退到它的母题swap上。

不由得让人想起把一个数列用最小swap次数变为有序的题目，它的做法是贪心。

从虚空中飘出的一块碎片：从左到右一位位调整正确。

现在我把局面设定为第一位不在正确位置上，那么我把其正确的位置握在右手。

对它们两个执行操作，然后——咦，刚想说第一位已经归位，因此就不需要在后续打扰它了，却与另一个观察相碰撞：我们把第一位翻到了反面，因此不能保留这样的第一位的状态到终点。

我该怎么解读这个惊奇呢？闪烁出的想法是，我们再用一次操作，把反面翻转回来，另外一边的数字也选一个相同情况的数字，这样直觉上会超过次数限制，但好像是可以swap成正确序列的。

我们可以根据用途来分两阶段操作，第一阶段是数值调整正确，第二阶段是面调整正确。

如果第一阶段结束后，所有的数字都是反面，那么只要n是偶数，就可以全调整成正面。

把文字堆砌上去，终会搭成胜利的天梯。

添加什么条件可以让我更游刃有余。

什么都想不出来。

脑中的棋盘化为空气，里面含有什么我能看见的东西吗？

没有爱就看不见。突然想起了海猫的名句。

我们的突破口可能在哪里？所有的配对地位相同吗？

不同的话，我想有两种不同，数值关系，位置关系。

关系是配对中两个数字的关系，也可能是其中一个数字与数列中它的左右数字的数值关系。

一一枚举，难道正确的idea会逃走吗？

这种枚举的方式，是不是交给excel更合适？

如何构造关系，先从量词开始，赋予具体的量词。

感觉思考的能量耗尽了，只剩下哀嚎。还能再次微笑吗？

其实不是无话可说，而是迫切想诉说的，却是与题无关的事情，纯然是我对境遇的悲怆。

但是，存在于世上的是我，我的解题，与我别的人生，是不可分割、拒绝分割的整体。

一切路径都会通向解题。

看似情绪的洪流把视野中题目的元素都冲走，我说的话语都再也与题目的元素无关。

我，到底意味着什么。

 

题目世界中的一切，比起我情绪被唤起的对我也不清楚事物的渴望，根本黯然失色。

可心中又有一个声音，叫我回来，重新关注题目，关注真正的进展。

撕扯。我会有安宁的一天吗。

当我在心灵中关注着我剧烈的悲痛和对人生产生的巨大疑问的时候，什么swap，什么翻转，在这种场合到底算什么。

这是对它们不宜的场合，因此，我的视野中，它们消失了。

可是我能骤然放下当下的风起云涌的心境吗，也做不到啊。

也许时间能冲淡一切，可为什么，我想把命运握在自己手中。

题目世界是上位世界，而当下世界却会困住你以冥想的方式通向上位世界。

光是在上位世界停留就是荣幸。

和我去，去上位世界吧。

 

对于 3 1 2，可行的操作序列是
swap 3 2 -> 2 1 3
swap 1 3 -> 2 3 1
swap 2 3 -> 3 2 1
swap 1 3 -> 1 2 3

如果两个数字一个是正面，一个是反面，我们翻转它们不会改变总的正面或反面个数
实际上，原来正面的硬币被翻到反面，移动到了原来反面的位置，因此各个位置上正反面的状态不变。

而对于两个面况相同的数字，翻转它们会增加/消灭 2个正面个数。

第一步就会出现这种情况，而最后要求全为正面，与操作前的面况一致，因此最后一步一定是取两个反面的数字，翻转交换它们。

 

最后一步执行前的序列是1, 2, 3, ..., n中某两个数字交换。
再往回追溯，分支树就变大了，没什么讨论的意义。

用二元操作封装成三元操作，因为从上面的例子中可以看出，我们需要一个正面位置与反面位置配合。
所以至少要3个位置。

猜想可以用最多4步实现把3元排成任何顺序，最终全为正面。
那么我们就可以最多4*ceil(n/3)步完成排序。至少获得了一个O(N)级别的算法。

 

推广到4元操作呢，甚至推广到n元操作，这样就等于n元操作分解成n+1个二元操作的问题。
对于3 1 2 4，显然4已经正面归位，那么依然只需要4步给3 1 2排序。
如果是3 4 2 1，我们不让4在初始阶段正面归位，我们先对3 4 2操作，同时把4当成新的1。
但是并不是把3 4 2排成4 2 3，因为这样的话最后一步是swap 4 1，会造成两个反面。
那么就得把3 4 2排成某个顺序，使得——
额，只要最后的1不参与，分成两个阶段，前面一个阶段处理前三个数字的顺序，最后一个阶段再让1参与操作的话，
最后一个位置就会被翻到反面（因为前面三个数字结束时都是正面，1参与的操作是把两个正面翻转）
那么不把阶段割裂成两个，而是在排序前三个数字的中途，还有1个反面的时候与1一起运算。

 

3元操作最多要4步，但是4元中的3元不能直接设想最坏的情况，因为你额外的第一步有后续的效果，然而谁我也说不清这个效果是什么。

 

对于3元的情况，因为排列情况较少，所以我们可以对于某个具体的排列想出把它排成任何顺序的方案，但是普遍性在哪里？

 

先把n-1个排列排好，想办法再让第n个归位，这种想法，只要n不是第n个数字（归位），就得至少操作一次位置n，而为了正面条件，推出至少得操作两次位置n。

如果这两次仅仅是为了保证n归位的话，前面n-1个数字最坏又得n次，这样加起来就是n+2次。不行。

所以在两次操作位置n的过程中，一定顺便对前n-1个数字产生了方向性效果。

对于a c b，两次操作a b, c b -> b a c，c归位，只看a b等于把a b的顺序交换，正面朝上。

如果前n-1个数字正好需要这样的操作的话，就可以节省一步。

对于4元来说，就是问前3元中能如何利用这免费提供的不翻转交换操作。

可我连3元的方案的普遍性都没找到，可以从置换环的角度思考吗？

把环分裂成小环，极端退化的情况就是点，对应的就是有序1, 2, 3, ..., n的情况。