一道概率论的题目

问题描述：

有两个罐子，里面有相同数量的球，现在进行一次交换，即同时从罐子中拿出一个球放到对方的罐子中，经过4次交换以后，两个罐子保持不变的概率是多少？状态保持不变指的是原来罐子中的球还在那个罐子当中。

问题求解：

刚开始是采用前向推导的方式进行的，就是第一次交换后的情况，第二次交换后的情况等等。可是写了半天，发现这样做逻辑混乱，不容易进行分析，因此就放弃了这种思考方式，换了从后向逆推的方式进行，过程参考了课后答案（囧，看来是思维能力不行了）。

符号定义：

$p_{i,n-i}\left(k\right)$：表示经过k轮交换之后罐子中有i个原来的球，有n-i个是另一个罐子中的球的概率，换句话说，本题就是求解 $p_{n,0}\left(4\right)$

因此接下来将采用逆推式的方式来进行本题的求解。

第一步，后向推导第三次交换时怎样的情况才会使得第四次交换之后的状态保持不变。此时第三次交换后的状态只能有一个球在另一个罐子中，即：

$p_{n,0}\left(4\right)=\frac{1}{n}*\frac{1}{n}*p_{n-1,1}\left(3\right)$

第二步，后向推到第二次。第二次情况一共更有三种，因为经过了两个交换，因此最多罐子里有两个是另一个罐子里的。

 $p_{n-1,1}\left(3\right)$= $p_{n,0}\left(2\right)$+$C_{2}^{1}$*$\frac{1}{n}*\frac{n-1}{n}*p_{n-1,1}\left(2\right)$+$\frac{2}{n}*\frac{2}{n}*p_{n-2,2}\left(2\right)$

第三步，后向推导导第一次

$p_{n,0}\left(2\right)=\frac{1}{n}*\frac{1}{n}*p_{n-1,1}\left(1\right)$

$p_{n-1,1}\left(2\right)=C_{2}^{1}*\frac{1}{n}*\frac{n-1}{n}*p_{n-1,1}\left(1\right)$

$p_{n-2,2}\left(2\right)=\frac{n-1}{n}*\frac{n-1}{n}*p_{n-1,1}\left(1\right)$

终于写到最后了，写公式累死了。

$p_{n-1,1}\left(1\right)$=1

然后进行回带就可以了。

写到这里算是结束了，之前对于这种类型的题目，总是没有一个很清楚的思路，现在写完一遍，感觉条理清楚多了。