有趣的算法-兔子序列

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题目：

假设第1个月有1对刚诞生的兔子，第2个月进入成熟期，第3个月开始生育兔子，而1对成熟的兔子每月会生1对兔子，兔子永不死去。那么，由1对初生兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？

分析：

以1对新出生小兔子为例，

第1个月，小兔子1没有繁殖能力，所以还是1对。

第2个月，小兔子1进入成熟期，还是1对。

第3个月，小兔子1生了1对小兔子2，本月共有2对兔子。

第4个月，小兔子1又生了1对小兔子3，本月共有3对兔子。

第5个月，小兔子1又生了1对小兔子4，而在第3个月出生的小兔子2也生了1对小兔子5，本月共有5对兔子。

第6个月，小兔子1,2,3各生1对小兔子，本月共有8对兔子。

以此类推，可以得出如下关系：

当月兔子对数 = 上月兔子对数 + 上上月兔子对数。不难得出，该问题符合斐波那契数列规律。

所以很容易得出实现：

//算法1

int fib(int n)
{
    if(n<1)
        return -1;
    if(n==1 || n==2)
        return 1;
    return fib(n-1) + fib(n-2);
}

但由于是递推实现，算法复杂度较高，感兴趣的可以自行计算一下，这里略过。

所以进行算法优化：

//算法2

int fib(int n)
{
    if(n<1)
        return -1;
    int *a=new int[n];
    a[1]=1;
    a[2]=1;
    for(int i=3; i<n; i++)
        a[i] = a[i-1] + a[i-2];
    return a[n];
}

该算法不再使用递归求解，而是使用数组进行存储中间变量，这样将算法的时间复杂度大大降低，从指数级降到了多项式级，当然也增加了空间复杂度。那还有没有更好的方式进行优化，既能降低时间复杂度，又不增加空间复杂度？

这里可以考虑迭代法，进行辗转相加法来实现：

//算法3

int fib(int n)
{
    int sum1, sum2;
    if(n<1)
        return -1;
    if(n==1 || n==2)
        return 1;
    s1 = 1;
    s2 = 1;
    for(int i=3; i<=n; i++)
    {
        s2 += s1; //辗转相加
        s1 = s2 - s1;//记录前一项
    }
    return s2;
}

此方法不再使用数组，而是使用辅助变量，将空间复杂度从O(n)降到了O(1)。

以上，同一个问题，稍加变换，得到的算法性能就大大不同，这正是算法之美所在。据了解，斐波那契数列的时间复杂度还可以从多项式级降到对数级，有兴趣的可以自行查阅资料。

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