本文对连续时间下的资产定价模型进行介绍，并推导主要结论。

1 价格过程

在连续时间下，我们假设一项资产的收益率为：

\[\dfrac{dp_t}{p_t}+\dfrac{D_t}{p_t}dt \]

其中\(D_t\)为在\(t\)时间点的支付股息的比率，\(D_t dt\)即为在\(dt\)时间内支付的股息。

我们用扩散过程（diffusion process）对它的价格进行建模：

\[\dfrac{dp_t}{p_t}=\mu(\cdot)dt+\sigma(\cdot)dz \]

其中\(dz\)为标准布朗运动的增量，即\(z_{t+\Delta}-z_t\sim N(0,\Delta)\)。Diffusion process是没有跳（jump）的，且增量\(dz\)为正态分布，之所以作出该假设，是为了后面分析的方便。当然，由于\(\mu(\cdot)\)与\(\sigma(\cdot)\)是隐含变量的函数，\(f(p_{t+\Delta}|I_t)\)未必是正态分布。

在这样的假设下，我们先以无风险收益率为例，看这样的模型是怎样工作的。一方面，无风险资产可以看作是价格不变并始终以某个比率发放股息的资产，即\(p=1\)且\(D_t=r_t^f\)，另一方面，它也可以看作是不发放股息但价格按固定速度爬山的资产，即\(D_t=0\)且\(\dfrac{dp_t}{p_t}=r_t^f dt\)，这两种角度，对于最终的收益率是等价的。

2 一般均衡

接下来，与在离散时间中的思路一样，我们来看市场在一般均衡时的解。假设投资者的效用函数为

\[U(\{c_t\})=\text{E}\left[\int_{t=0}^{\infty}e^{-\delta t}u(c_t) dt\right] \]

假设投资者可以以价格\(p_t\)购买某资产，一单位该资产的股息流（dividend stream）是\(D_t\)，即在\(dt\)时间内的股息为\(D_t dt\)。如果投资者选择买入\(\xi\)单位的该资产，那么在\(dt\)内，他的单位时间消费就会是\(c_t=e_t-\xi p_t/dt\)，他买入资产导致的效用损失应为\(u'(c_t)(e_t-c_t)dt=u'(c_t)\xi p_t\)，而未来股息收入带来效用收益为\(\text{E}_t\left[\int_{s=0}^{\infty}e^{-\delta s}u'(c_{t+s}) \xi D_{t+s} ds\right]\)，在达到均衡时，必有

\[p_t u'(c_t) = \text{E}_t\left[\int_{s=0}^{\infty}e^{-\delta s}u'(c_{t+s}) D_{t+s} ds\right] \]

连续时间下的“贴现因子”（discount factor）可定义为\(\Lambda \equiv e^{-\delta t} u'(c_t)\)，在上式两边同乘\(e^{-\delta t}\)后，就有

\[p_t \Lambda_t=\text{E}_t \left(\int_{s=0}^{\infty} \Lambda_{t+s} D_{t+s} ds\right) \]

该式右侧是在\([0,\infty]\)上的积分，可以将该积分区间划分为\([0,\Delta)\)和\([\Delta,\infty)\)两个部分：

\[\begin{aligned} p_t \Lambda_t =& \text{E}_t\left( \int_{s=0}^{\Delta} \Lambda_{t+s} D_{t+s} ds+ \int_{s=\Delta}^{\infty} \Lambda_{t+s} D_{t+s} ds\right)\\ =& \text{E}_t\left( \int_{s=0}^{\Delta} \Lambda_{t+s} D_{t+s} ds \right) + \text{E}_t \left[ \text{E}_{t+\Delta} \left( \int_{s=\Delta}^{\infty} \Lambda_{t+s} D_{t+s} ds \right)\right]\\ =& \text{E}_t\left( \int_{s=0}^{\Delta} \Lambda_{t+s} D_{t+s} ds \right) + \text{E}_t (p_{t+\Delta} \Lambda_{t+\Delta})\\ \approx& \Lambda_t D_t \Delta + \text{E}_t(p_{t+\Delta} \Lambda_{t+\Delta}) \end{aligned} \]

最后一步是在\(\Delta\)很小时候的近似。

我们可以进一步化简，并将上式变成微分的形式：

\[\begin{aligned} p_t \Lambda_t =& \Lambda_t D_t \Delta + \text{E}_t(p_{t+\Delta} \Lambda_{t+\Delta})\\ p_t \Lambda_t =& \Lambda_t D_t \Delta + \text{E}_t(p_{t+\Delta} \Lambda_{t+\Delta}-p_t\Lambda_t + p_t\Lambda_t)\\ 0 =& \Lambda_t D_t \Delta + \text{E}_t(p_{t+\Delta} \Lambda_{t+\Delta}-p_t\Lambda_t)\\ 0 =& \Lambda_t D_t dt + \text{E}_t\left[d(p_t\Lambda_t)\right] \end{aligned} \]

如果丢掉下标，可以简写为

\[0=\Lambda D dt + \text{E}_t\left[d(\Lambda p)\right] \tag{1} \]

\((1)\)式可看作是\(p=\text{E}(mx)\)的连续时间版本。为什么？若取\(D=0\)且\(\Lambda\)为常数，则有\(0=\text{E}_t\left(dp_t\right)=\text{E}_t\left(p_{t+\Delta}-p_t\right)\)，此式就等价于说价格过程是一个martingale，即以边际效用加权的价格过程是一个martingale，而\((1)\)式就是加入了股息调整后的情况。对应到离散时间中，martingale过程即为\(p_t=\text{E}[m_{t+1}(p_{t+1+d_{t+1}})]\)。

利用Ito's lemma：\(d(\Lambda p)=p d\Lambda +\Lambda dp +dp d\Lambda\)，代入\((1)\)并除以\(\Lambda p\)（假设它们均不为\(0\)）后，有

\[0 = \dfrac{D}{p} dt + \text{E}_t\left( \dfrac{d\Lambda}{\Lambda}+\dfrac {d p}{p} +\dfrac{d\Lambda}{\Lambda}\dfrac {d p}{p} \right) \tag{2} \]

我们回到无风险利率，在第1节中说过，无风险资产可以看作价格\(p=1\)并持续以\(D_t=r_t^f\)发放股息的资产，或者是无息但价格按照\(dp_t/p_t=r^f_t dt\)运动的资产。不管从哪个角度看，都可以将它们代回\((1)\)或\((2)\)，并得到

\[r^f_t dt = -\text{E}_t \left(\dfrac{d\Lambda_t}{\Lambda_t}\right) \]

如果市场上不存在无风险债券，我们也可以用上式去定义一个影子无风险利率（shadow risk-free rate），或者叫zero-beta rate。上式其实就类似于离散时间中的\(R_t^f =\dfrac{1}{\text{E}_t(m_{t+1})}\)。

将无风险利率代回\((2)\)，并整理后得：

\[\text{E}_t (\dfrac{dp_t}{p_t})+\dfrac{D_t}{p_t}dt = r^f_t dt-\text{E}_t\left(\dfrac{d\Lambda_t}{\Lambda_t} \dfrac{dp_t}{p_t}\right) \tag{3} \]

上式就类似于离散时间下的\(\text{E}(R) = R^f-R^f \text{Cov}(m,R)\)。

3 再看贴现因子

本节我们再回到贴现因子\(\Lambda = e^{-\delta t} u'(c_t)\)上。在离散时间中，消费与贴现因子的非线性关系很难处理，我们不得不用一些技巧来做出近似，但在连续时间下，可以用Ito's lemma很容易地处理非线性关系：

\[d\Lambda_t = -\delta e^{-\delta t}u'(c_t)dt +e^{-\delta t} u''(c_t) d c_t +\dfrac{1}{2}e^{-\delta t} u'''(c_t) (dc_t)^2 \]

再除以\(\Lambda_t\)：

\[\dfrac{d\Lambda_t}{\Lambda_t} = -\delta dt + \dfrac{c_t u''(c_t)}{u'(c_t)} \dfrac{d c_t}{c_t} +\dfrac{1}{2}\dfrac{c_t^2 u'''(c_t)}{u'(c_t)} \left(\dfrac{dc_t}{c_t}\right)^2 \tag{4} \]

我们定义

\[\begin{aligned} \gamma_t=&-\dfrac{c_t u''(c_t)}{u'(c_t)}\\ \eta_t=&\dfrac{c_t^2 u'''(c_t)}{u'(c_t)} \end{aligned} \]

将\((4)\)用\(\gamma\)和\(\eta\)表示后，代回到\((3)\)，可得：

\[\text{E}_t \left(\dfrac{dp_t}{p_t}\right)+\dfrac{D_t}{p_t}dt - r^f_t dt = \gamma \text{E}_t\left(\dfrac{dc_t}{c_t} \dfrac{dp_t}{p_t}\right) \]

从上式可以看出，一项资产的收益率如果与消费增长率同向变动，那么它就有更高的期望收益率。

令\(\mu_p=\text{E}_t\left(\dfrac{dp_t}{p_t}\right)\)，\(\sigma_p=\text{E}_t\left[\left(\dfrac{dp_t}{p_t}\right)^2\right]\)，\(\sigma_c=\text{E}_t\left[\left(\dfrac{dc_t}{c_t}\right)^2\right]\)，由于相关系数必定小于\(1\)，代回上式后有

\[\dfrac{\mu_p+\dfrac{D_t}{p_t}dt - r^f_t dt}{\sigma_p} \le \gamma \sigma_c \]