动态规划-最长上升子序列

问题描述一个数的序列ai，当a 1 < a 2 < ... < a S 的时候，
我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a 1 , a 2 , ..., a N )，
我们可以得到一些上升的子序列(a i1 , a i2 , ..., a iK )，
这里1 <= i1 < i2 < ... < iK<= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，
有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中
最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).

你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度(LIS)。
输入数据:输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给
出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。
输出要求:最长上升子序列的长度。
输入样例
7
1 7 3 5 9 4 8
输出样例
4

解题思路：假设对n个数求最长子序列，利用动态规划的思想，可以转化为
求若干个子问题的过程，比如先求n-1的最子长序列，n-2，直到第1位数值。
理由是这样，n-1的最长子序列长度已经求得了，那么如果n比n-1大，那么
利用n加入这个子序列，所以长度+1，如果小，那么其子序列的长度就需要
找比n小的最大的子序列长度+1，一定要理解好这句话，因为比前面比n小
的有可能有多个数，但是要找到最大的那个，然后在其基础上+1，就能求出
n的最长子序列的长度。

Python算法实现：

from random import randint

# 生成指定长度的范围为[0, 1000]的整数列表


def generate_integer_list(length):
    lst = []
    for i in range(length):
        lst.append(randint(0, 1000))
    return lst


tempList = generate_integer_list(10)
# tempList = [206, 184, 197, 451, 912, 517, 321, 803, 446, 294]
# maxLength列表存储每个位置的最长子序列的长度，假设初始是1
maxLen = [1]*10

# 每次求以第i个数为终点的最长上升子序列的长度
for i in range(1,10):
    for j in range(0,i):
        # 察看以第j个数为终点的最长上升子序列
        if tempList[i] > tempList[j]:
            maxLen[i] = max(maxLen[i],maxLen[j]+1)

maxValue = max(maxLen)
indexPos = maxValue
outList = []
start = len(maxLen)-1
while indexPos > 0:
    for k in range(start, -1, -1):
        if maxLen[k] == indexPos:
            outList.append(tempList[k])
            # 往每次从找到匹配最大值的元素的前面查找，不能每次都从后往前找
            start = k
            break
    indexPos -= 1
print("原列表为：",end="")
print(tempList)
print("最长子序列为:%d" % maxValue)
print("其中一个最长子序列为：",end="")
outList.reverse()
print(outList)


"""
# 利用bisect进行二分查找
from bisect import bisect
def longest_inc_sub(seq):
    end = []
    for su in seq:
        # 查找su在end列表中的位置
        idx = bisect(end, su)
        if idx == len(end):
            end.append(su)
        else:
            end[idx] = su
    return len(end)
nums = [10, 6, 19, 23, 31, 20, 8]
print(longest_inc_sub(nums))
"""

"""
def lis(arr):
    n = len(arr)
    m = [0] * n
    for x in range(n - 2, -1, -1):
        for y in range(n - 1, x, -1):
            if arr[x] < arr[y] and m[x] <= m[y]:
                m[x] += 1
        max_value = max(m)
        result = []
        for i in range(n):
            if m[i] == max_value:
                result.append(arr[i])
                max_value -= 1
    return result

arr = [10, 22, 9, 33, 21, 50, 41, 60, 80]
print(lis(arr))
"""