一试模拟试题（十七）problem 7 另（数竞相关）

一试模拟试题（十七）problem 7 另：

求式子 \(T = \sqrt{\cfrac{5-3 \sin \theta}{5+3 \cos \theta}}\) 的最大值

易知可以转化为点 \(P(5,5)\) 到以原点 \(O\) 为圆心，半径为 \(3\) 的圆的切线的斜率（较大的那一个）。

随手画了个图，如图，即求直线 \(PQ\) 的斜率。

此处我们熟知，\(k_{PQ} = \tan \angle PRS = \tan (\angle POS - \angle OPQ)\)

而 \(\tan \angle POS = 1\)，\(\tan \angle OPQ = \frac{3}{\sqrt {41}}\)

直接求得 \(k_{PQ} = \cfrac{\sqrt{41} + 3}{\sqrt{41} - 3} = \cfrac{(\sqrt{41} + 3)^2}{32}\)，故答案为 \(\cfrac{\sqrt{41} + 3}{4\sqrt 2}\)