椭圆上的点的切线方程的偏导数求法

椭圆上的点的切线方程的偏导数求法

\(Author\)： 铜陵一中 缪语博

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【题目】

求证：对于一个椭圆 \(C\)：\(\cfrac{x^2}{a^2} + \cfrac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)\)，上有一点 \(A(x_0,y_0)\)，求证过点 \(A\) 的切线方程为

\[\cfrac{x\times x_0}{a^2} + \cfrac{y\times y_0}{b^2}=1 \]

【求解】

解：
对椭圆两边分别对 \(x\) 求偏导数，得：

\[\cfrac{2x}{a^2}+\cfrac{2y\times y'}{b^2} = 0 \]

• 注：此处，可以将 \(y\) 看成为 \(f(x)\)，那么，可以知道对于 \(f(x)\) 求关于 \(x\) 的偏导的结果为（运用复合函数的求导法则）：

\[(f^2(x))'= 2f(x)\times f'(x) \]

接下来，可得：

\[y'=-\cfrac{x\times b^2}{y\times a^2} \]

将点 \(A(x_0,y_0)\) 代入可得：

\[y'=-\cfrac{x_0\times b^2}{y_0\times a^2} \]

故切线方程可以表示为：

\[y=-\cfrac{x_0\times b^2}{y_0\times a^2} \times x + t \]

其中，\(t\) 为常数。

故再次将点 \(A(x_0,y_0)\) 代入可得：

\[y_0=-\cfrac{x_0\times b^2}{y_0\times a^2} \times x_0 + t \]

故 \(t=\cfrac{x_0^2\times b^2 + y_0^2 \times a^2}{y_0 \times a^2}\)。

故原方程即为：

\[y=-\cfrac{x_0\times b^2}{y_0\times a^2} \times x + \cfrac{x_0^2\times b^2 + y_0^2 \times a^2}{y_0 \times a^2} \]

化简结果，即为：

\[\cfrac{x\times x_0}{a^2} + \cfrac{y\times y_0}{b^2}=1 \]

证毕。