概率论 - 中心极限定理

概率论 - 中心极限定理

目录

• 概率论 - 中心极限定理
  • 定理内容
  • 应用
    • 例一

定理内容

定理一（独立同分布的中心极限定理）：设随机变量 \(X_1,X_2,...,X_n,...\) 相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差： \(E(X_k)=\mu\) ，\(D(X_k)=\sigma^2>0\) ，则随机变量之和 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}X_k\) 的标准化变量

\[Y_n=\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}X_k-E(\displaystyle\sum_{k=1}^nX_k)}{\sqrt{D(\displaystyle\sum_{k=1}^nX_k)}} = \frac{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}X_k-n\mu}{\sqrt{n}\sigma} \]

的分布函数 \(F_n(x)\) 对任意 \(x\) 满足
\(\lim\limits_{n\to \infin}F_n(x)=\int_{-\infin}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}\text{d}t=\Phi(x)\)

对标准化变量进行变形，即 \(Y_n=\frac{\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}X_k-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\) ，也即均值为 \(\mu\) 、方差为 \(\sigma^2>0\) 的 \(n\) 个随机变量的算术平均值在样本足够大时，近似服从 \(N(\mu,\sigma^2/n)\) 。

应用

例一

（2020考研数学一）设 \(X_1,X_2,...,X_n\) 为来自总体 \(X\) 的简单随机样本，其中 \(P\{X=0\}=P\{X=1\}=\frac{1}{2}\) ，\(\Phi(x)\) 表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得 \(P\{\displaystyle\sum_{i=1}^{100}X_i\le55\}\) 的近似值为

解：\(X\) 为 0-1 分布，则 \(E(X)=\frac{1}{2}\) ，\(D(X)=\frac{1}{4}\) ，由中心极限定理可得 \(\overline{X}\sim N(\frac{1}{2},\frac{1}{4}/n)\) ，故 \(P\{\displaystyle\sum_{i=1}^{100}X_i\le55\}=P\{\overline{X}\le 0.55\}=\Phi(\frac{0.55-0.5}{\frac{1}{2}/10})=\Phi(1)\) 。