Codeforces Round #685 (Div.2) Solution Set

A. Subtract or Divide

显然，对于一个偶数，我们可以将其通过一次操作变成 \(2\)。奇数可以通过一次操作变成偶数，再通过一次操作变成 \(2\)。所以偶数的答案是 \(2\)，奇数的答案是 \(3\)。注意特判 \(1\) 的答案是 \(0\)，\(2\) 的答案是 \(1\)，\(3\) 的答案是 \(2\)。

B. Non-Substring Subsequence

因为这道题对时间限制比较松，\(O(n^2mq)\) 的算法也是可以接受的。考虑暴力枚举整个 \(01\) 串禁止转移的点（显然不包括 \(1\) 和 \(n\)），分两部分对询问的 \(01\) 串进行匹配，这样可以保证分割出来的方案不相邻。又考虑到遍历匹配可能出现一边直接匹配了整个字符串，所以我们还需要对询问串进行分割，将一半放在左边匹配，一半放在另一边匹配。这样就能通过了。

C. String Equality

因为操作可以做无限次，所以说整个字符串可以重排。所以字符串的顺序并不重要。通过第二个操作看，实际上重要的是每个字符的个数。

显然，出现了相同的字符，我们直接匹配，相当于减少两个串中这个字符减少出现次数就行了。因为这个相同的字符如果不匹配，就一定会变成更大的字符，永远不能够匹配这个字符了。

于是，如果字符个数相同，匹配；否则将能匹配的匹配了，然后转移给下一个字符。注意到有 \(k\) 的限制，注意下转移时判断一下是否是 \(k\) 的倍数。桶排瞎贪心即可。

D. Circle Gam

这种题第一步就是手模拟。不如尝试一下？

我们发现，设 \(x=\dfrac{d}{k}\)，当：

• \(x<\sqrt{1^2+0^2}\) 时，先手必败；
• \(\sqrt{1^2+0^2} \leq x < \sqrt{1^2+1^2}\) 时，先手必胜；
• \(\sqrt{1^2+1^2} \leq x < \sqrt{1^2+2^2}\) 时，先手必败；
• ……

显然这是有规律的。映射到游戏来，会发生什么？

注意到根号内的第二个数（没有平方）是最优情况下先手可以走的步数，第一个数同理是后手可以走的步数。

于是可以猜测，先手一直往上，后手一直往右一定是整个游戏的最优状态。如果先手必胜，当后手往上的时候，先手可以往右调整这个状态，后手仍然是必败态；当先手是必败态的时候，后手可以同样用这个方法去调整状态。

综上完事儿。少用 sqrt()。

E1. Bitwise Queries (Easy Version)

这是一个没有用到任何性质的题解。

首先给出一个式子：

\[a \operatorname{xor} b + 2 \times (a \operatorname{and} b) = a+b \]

考虑证明：\(a \operatorname{xor} b\) 部分等于 \(a,b\) 不相同的位减去 \(a,b\) 都是 \(1\) 的位。所以需要两个 \(+a \operatorname{and} b\) 去调整得到 \(a+b\)。

对前面三个查询 \(5\) 次，分别是 \(a_1 \operatorname{xor} a_2,a_1 \operatorname{xor} a_3,a_1 \operatorname{and} a_2,a_1 \operatorname{and} a_3,a_2 \operatorname{and} a_3\)（\(a_2 \operatorname{xor} a_3\) 可以通过前两次查询结果异或得出），这样就能知道 \(a_1+a_2,a_1+a_3,a_2+a_3\)。

联立解方程可以得出 \(a_1,a_2,a_3\)。然后再根据异或的性质，知道一个数，两个数异或的结果，得到另一个数。每次查询一遍即可。查询次数 \(5+n-3=n+2\)。

注意不要把数组开小了。

E2. Bitwise Queries (Hard Version)

请丢掉 E1 的做法。我们发现我们完全没有用 \(n\) 是 \(2\) 的幂次，值域在 \([0,n-1]\) 的消息。

首先注意到数的数量是 \(n\)，值域大小也是 \(n\)。所以说这个序列要么有重复元素，要么是一个 \(0 \sim n-1\) 的排列。

首先求 \(1\) 对其他数的 \(\operatorname{xor}\) 值无可避免。于是先求出来。

发现如果整个序列有相同的值，显然有一个数对 \((x,y)\) 满足两个数与 \(a_1\) 异或值相等。随便找一找，如果存在这个数对，我们就能通过一次 \(\operatorname{and}\) 或者 \(\operatorname{or}\) 操作求出 \(a_x,a_y\)。然后反代回去求出整个序列。操作次数 \(n\)。

顺便注意一下有没有一个数满足这个数与 \(a_1\) 异或值为 \(0\)。同样的做法求一发 \(a_1\) 即可。

重要的是这个排列怎么求。实际上也很简单。因为这是一个排列，所以说一定存在两个数 \(x,y\)，使得 \(a_1 \operatorname{xor} a_x = n-1,a_1 \operatorname{xor} a_y = 1\)。

考虑这样个玩意儿的意义。首先第二个式子可以发现，\(a_1,a_y\) 一定只相差 \(1\)。进行一个 \(\operatorname{and}\) 操作可以知道 \(a_1\) 除奇偶性的所有前面的信息。

两个式子连起来一看，发现 \(a_x\) 与 \(a_y\) 的奇偶性一定相同。所以我们也能知道 \(a_1\) 的奇偶性。具体就询问 \(a_x \operatorname{and} a_y\)，其奇偶性与 \(a_1\) 不同。综上，操作次数 \(n+1\)。

至此，我们解决了这道题。

F. Nullify The Matrix

咕一发。以后更。