04-A的LU分解

一、矩阵$AB$的逆

$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$，顺序正好相反

二、$A=LU$

　如矩阵：

$\left[\begin{array}{ll}{2} & {1} \\ {8} & {7}\end{array}\right]$ =>消元=>$\left[\begin{array}{ll}{2} & {1} \\ {0} & {3}\end{array}\right]$

　按照我们在第二讲所知，原始矩阵借助$E_{21}$可以实现矩阵的消元，即$E_{21}$ * $A$ = $U$：

$\left[\begin{array}{ll}{1} & {0} \\ {-4} & {1}\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ll}{2} & {1} \\ {8} & {7}\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ll}{2} & {1} \\ {0} & {3}\end{array}\right]$

注意：这里是2 * 2 矩阵，所以只需要一个初等矩阵相乘即可，若是更大的方阵，则每次消元都需要初等矩阵左乘

　而我们知道$A=LU$，那么这个$L$是什么呢？

$A=LU$

$E_{21}A=U$

　第二个式子左右同时乘以$E_{21} ^{-1}$：

$A=E_{21} ^{-1}U$

　所以这个$L$就是$E_{21} ^{-1}$，初等矩阵的逆矩阵好求，就是初等矩阵变一下符号而已（仅仅因为这里是2*2矩阵，如果3*3或者更大的矩阵，就不是这么简单了）：

$L$=$E_{21} ^{-1}$=$\left[\begin{array}{ll}{1} & {0} \\ {4} & {1}\end{array}\right]$

 

　这里只是以简单的2*2矩阵为例进行了讲解，$L$和$U$矩阵表示了下三角矩阵和上三角矩阵，过程如下：

$\left[\begin{array}{ll}{2} & {1} \\ {8} & {7}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}{1} & {0} \\ {4} & {1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}{2} & {1} \\ {0} & {3}\end{array}\right]$

即：$A = LU$

有时候会把主元摘出来：$A = LDU$

$\left[\begin{array}{ll}{2} & {1} \\ {8} & {7}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}{1} & {0} \\ {4} & {1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}{2} & {0} \\ {0} & {3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}{1} & {1/2} \\ {0} & {1}\end{array}\right]$

 

　我们不能只停留在简单的2 * 2矩阵上，下面我们来处理更大的矩阵，比如3 * 3 矩阵：

$E_{32} E_{31} E_{21} A=U$（消元过程假设不需要进行行交换）

$A= E_{21}^{-1} E_{31}^{-1} E_{32}^{-1} U$

所以：$L= E_{21}^{-1} E_{31}^{-1} E_{32}^{-1}$

 

　实例：

　　上面的求$L$的过程看起来很麻烦，先要计算三个消元矩阵，然后计算他们的逆，反顺序相乘，其实不然

　　对于初等矩阵，之前讲到过，它的逆只要把变换再还回去就是，比如矩阵：

$\left[\begin{array}{lll}{1} & {0} & {0} \\ {2} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {1}\end{array}\right]$

　　表示将某矩阵的第一行乘2加到第二行上（如果用它右乘某矩阵的话），那么这个操作的逆操作就是从第二行减去2倍的第一行就是了，所以它的逆矩阵就是：

$\left[\begin{array}{ccc}{1} & {0} & {0} \\ {-2} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {1}\end{array}\right]$

三、后半节需要再理解一下