[MIT6.006] 21. Daynamic Programming III: Parenthesization, Edit Distance, Knapsack 动态规划III：括号问题，编辑距离，背包问题

这节课主要针对字符串/序列上的问题，了解如果使用动态规划进行求解。上节课我们也讲过使用前缀和后缀的概念，他们如下所示：

接下来，我们通过三个问题来深入了解下动态规划使用前缀、后缀和子串怎么去解决括号问题，编辑距离，背包问题。

 

一、括号问题 Parenthesization

在进行一些列矩阵乘法时，我们如果设计括号，可以使计算更加高效？

解决过程如下图所示：

 

1. 子问题：求矩阵们A的最优相乘方式；
2. 猜：上一次矩阵相乘应在哪？
3. 递归：最小化矩阵相乘的损失；
4. 拓扑排序：增加子串的大小；
5. 原问题：DP(0, n)；

 

二、编辑距离 Edit Dsitance

给定两个字串x和y，让x变成y的最廉价的字符编辑操作是怎样的？编辑距离问题在很多地方有应用，例如：拼写纠正，DNA编辑和找到最长公共子序列。

 

它的动态规划解题步骤如下：

 

1. 子问题：在x[i:]和y[j:]后缀上做距离编辑了；
2. 猜：是使用替换，插入还是删除操作；
3. 递归：选择能最小化编辑损失的操作；
4. 拓扑排序：相当于在DAG中找最短路径；
5. 原问题：DP(0, 0)。

 

三、背包问题 Knapsack

假设你有n个物品，单个物品占用空间是s_i，价值是v_i，请问如何往空间为S的塞进哪些物品能使它们价值最大？该问题动态规划解题步骤如下：

 

1. 子问题：第i个物体的前缀和剩余空间X；
2. 猜：是否将第i个物体放入背包；
3. 递归：选择能最大化价值且不超过背包容量的操作；

注：这个伪polynomial时间我也不太了解（好像是说该动态规划的时间介于polynomial时间和指数时间之间），后续有待补充。