[MIT6.006] 16. Dijkstra

先回顾下上节课的内容：

 

下面来看一个定理：对于所有的点来说，放松操作总是满足 d[v] ≥ δ(s, v)。即点s到点v的最短路径总是小于或等于当前点d的路径权重。证明如下：

 

在正是进入复杂的图前，先看个简单的有向非循环图DAG（Directed Acyclic Graphs），内无负循环。下图是讲DAG如何找最短路径：

 

如果有循环且无负权重边呢？可以使用Dijkstra算法，具体如下：

由于Dijkstra算法有三个主要操作：插入点的优先队列，抽取最小优先值，减键操作。所有最后Dijkstra的时间复杂度可约为θ(v²)。如果用BInary min-heap，extract-min是θ(lgv)，decrease-key是θ(lgv)，最后为θ(lgv+Elgv)。