NP-Completeness理解

今天大年初一,哪里也没去,在家里重新看了下IOA的NP问题。感觉看明白了。

首先定义下:

所谓P问题是指所有能在多项式复杂度解决的问题,比如排序算法,n*n复杂度解决问题。

有些问题目前没有多项式复杂度的解决方案,但是如果你给我一个解决方案,我可以在多项式时间内验证该算法是否正确。比如说bool表达式的可满足性问题,给我一个表达式,虽然我不能在多项式时间内判断它是否可满足,但是如果你给我一个答案,我能判断这个答案的正确性。这类问题就是NP问题。

P属于NP。这是很明显的。

那么P是否等于NP呢?目前看,不等于。因为存在一类NP完全的问题。

NP完全问题是NP中的一类问题,如果满足以下两个条件,那么我们说L是NP完全的:L是NP问题;所有的NP问题都可以“多项式归结”为L。

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先定义什么是问题?问题就是一个映射,把“instance”(输入)映射到“solution”(输出)。

各种问题的输出千差万别,不便于讨论,统一下,都输出true和false。这就是判定型问题,decision problem。其他那些寻找最优解的叫优化类问题。所有优化类问题都可以转变成判定型问题。

接着是语言。既然一个问题P输出都是true或者false,如果集合L中的所有instance都让P输出true,那么我们说P 接受L。这里有一个很重要的转变,就是把一个抽象的问题,变成了一个instance的集合。两个问题是难以相等或者转换的,但是两个集合是可以的,mapping。基于这个mapping就可以定义多项式归结。

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什么是多项式归结?也有两层含义:

给定两个算法,A和B。x是A输入,f是一个映射函数,能把x映射成B的输入。含义1:A(x)==B(f(x));含义2:f(x)是多项式复杂度。

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然后我们要寻找一个NP完全问题,这个问题就是Circuit-SAT。它的意思是给任意一个集成电路,判断该电路是否会输出1.我们知道集成电路都是有若干管脚作为输入,几个管家作为输出的。这里简单起见,只有一个输出。如果我们发现一个电路只能输出0,那么我们可能发现了一个bug,或者简单的把它替换成常数。

怎么证明呢,从定义出发,先证明它是NP的,再证明所有的NP问题都可以归结到它(任意一个算法的输入实例都可以在多项式时间里变成一个集成电路)。

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它是NP的,就是要证明存在算法A,给输入x(某个集成电路),y(某种输入方式),可以判断y是否满足x。这个复杂度是线性的,满足多项式复杂度的要求。

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所有的NP问题都能归结到Circuit-SAT的问题吗?这又要解决两个问题:

1. 是否存在一个映射函数F,使得任意算法的输入x都能变成等价的一个集成电路C;

2.F是否是多项式的复杂度;

先看第一个问题,能否找到这样的F呢。下面的描述就是为了构造这个F。假定我们要把算法W归结到Circuit-SAT。W算法的验证算法是A,给定x和y,可以判断输入为x时,y是否是一个正确的答案。举个例子,W是要判断图中是否存在长度为K的路径,x代表图的数据结果,y代表最长路径的各条边,那么A是验证的算法。

如果我们把系统内存当成一个变量,那么每条指令的执行都会将一个内存快照(conf)变成另外一个(conf),我们可以认为这个映射是一个circuit完成的。

由于A(x,y)是多项式复杂度,所以conf的个数是多项式个。我们把这所有的集成电路组合起来,形成一个新的集成电路C。这样我们就把x变成了C。

也就是说,对于W而言,验证算法A(x,y)=1,当且仅当B(C,y)=1.其中B是验证集成电路的可满足性算法。

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F已经找到了,那么F是否是多项式复杂度的呢?首先x是多项式的,内存大小是多项式的,集成电路个数等于执行的指令数,也是多项式的,多项式组合在一起,还是多项式的。

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这就证明了所有NP问题都能归结到circuit-sat问题。

其实这里还有一个language的问题,我貌似还没看懂。

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如何判断一个问题是NP-hard的呢,如果一个NP完全的问题能够归结到该问题,(不管他是不是NP问题),它都是NP-hard。

由于我们已经找到了一个NP完全问题circuit-sat,对于目标问题W,只需要把circuit-sat问题归结到W的输入即可证明W是NP-hard的问题。这就很容易证明很多算法都是NP的。比如说Boolean表达式的可满足性。后续将会继续讨论。

 

首先

posted @ 2014-01-31 23:32  永远是学生  阅读(3384)  评论(0编辑  收藏  举报