台州调考数列题

$a_n>0$，$a_{n+1}+\dfrac{1}{a_n}<2$，求证：

(1) $a_{n+1}<a_n<2(n\in \mathbb{N}^*)$；

(2) $a_n>1(n\in \mathbb{N}^*)$.

【证明】：(2)  由 (1) 知 $a_n$ 单调递减有下界，则 $a_n$ 极限存在，设该极限为 $a$，

则

\[a+\dfrac{1}{a}\leqslant 2,\]

即

\[(a-1)^2\leqslant 0,\]

所以

\[a=1.\]

假设存在 $N$，使得  

\[a_N\leqslant 1,\]

则

\[a_{N+k}\leqslant a_{N+1}<1,k\in \mathbb{N}^*.\]

固定 $N$，令 $k\to\infty$，得

\[a\leqslant a_{N+1}<1,\]

这与 $a=1$ 矛盾. 

所以 $a_n>1$，对所有 $n\in \mathbb{N}^*$ 都成立.