2017年4月第17题

设 $a$ 为实数，若函数 $f(x)=2x^2-x+a$ 有零点，则函数 $f[f(x)]$ 零点的个数是（  ）

A. $1$ 或 $3$

B. $2$ 或 $3$

C. $2$ 或 $4$

D. $3$ 或 $4$

【解答】设 $f(x)=2(x-x_1)(x-x_2)$，则

$$f[f(x)]=0\Longleftrightarrow f(x)=x_1\vee f(x)=x_2.$$

因此 $f[f(x)]$ 零点的个数等于 $f(x)-x_1$ 和 $f(x)-x_2$ 零点的个数.

由于

\[x_{1,2}=\dfrac{1\pm\sqrt{\Delta}}{4},f(x)_{\min}=-\dfrac{\Delta}{8},\]

而

\[x_{1,2}-f(x)_{\min}=\frac{(\sqrt{\Delta}\pm1)^2+1}{8}>0.\]

所以 $f(x)-x_1$ 和 $f(x)-x_2$ 各有两个零点. 

当 $x_1=x_2$ 时，$f[f(x)]$ 有两个零点；

当 $x_1\ne x_2$ 时，$f[f(x)]$ 有四个零点.

正确答案 C.