树状数组
1.0 树状数组概念
【五分钟丝滑动画讲解 | 树状数组 | 21智人马同学】
- 树状数组用于高效计算数组前缀和及支持单点更新操作。与前缀和区别在于树状数组可以在O(log n) 的时间复杂度支持单点更新操作。
其数学证明 参考 树状数组的基本原理
1.1 树状数组的性质
- lowbit函数 : lowbit(i) = i & -i
lowbit(int x)"函数是用来获取一个整数 x 的最低位的 1 所代表的值，也就是 x 的二进制表示中最右边的 1 所在的位置上的数值。 (例如：10 = 1010，lowbit(10) = 2),这个函数常用于树状数组等数据结构中，用于快速定位需要操作的位置或计算位信息。 - 求和性质:序号为i的序列正好就是长度为lowBit(i)且以i结尾的序列.如下图来自 21智人马同学
// 树状数组递归求前缀和函数
public long count(int p) {
if (p == 0) {
return 0;
}
return count(p - lowbit(p)) + b[p];
}
- 修改某个值性质:一个序列b[i]正上方的序列，正好就是b[i + lowBit(i)]
因为树状数组每个点维护的是其自身及其前面 lowbit(x) 个位置的区间和，当需要修改某个值时，我们需要更新当前位置及其受影响的后续位置，具体步骤为：
-
首先，修改当前位置p的值。
-
然后，从当前位置
p开始，沿着树状数组的结构向后更新。对于树状数组中的每个受影响位置，我们需要将其值增加x。 -
更新完当前位置后，将
p更新为下一个需要更新的位置，即加上lowbit(p)，继续进行更新，直到超出数组范围为止。
// 树状数组的单点更新函数
public void add(int p, int x) {
while (p < N) {
b[p] += x;
p += lowbit(p);
}
}
1.2 BinaryIndexedTree 数据结构
package com.coedes.binaryindextree;
/**
* @description：树状数组
* @author： wenLiu
* @create： 2024/4/22 11:00
*/
public class BinaryIndexedTree {
private int[] BITree;
private int[] nums; // 原始数组
public BinaryIndexedTree(int[] nums) {
this.nums = nums;
int n = nums.length;
this.BITree = new int[n + 1]; // 树状数组使用 1-based 索引
// 初始化树状数组
for (int i = 0; i < n; i++) {
update(i, nums[i]); // 利用 update 函数构建初始树状数组
}
}
// 单点更新：将索引 i 处的元素增加 delta
public void update(int i, int delta) {
i++; // 转换为树状数组的索引，从 1 开始
while (i < BITree.length) {
BITree[i] += delta;
i += lowbit(i); // 更新下一个节点
}
}
// 查询前缀和：查询索引 0 到 i 的元素和
public int query(int i) {
i++; // 转换为树状数组的索引，从 1 开始
int sum = 0;
while (i > 0) {
sum += BITree[i];
i -= lowbit(i); // 向前查询前缀和
}
return sum;
}
// 查询区间 [left, right] 的元素和
public int rangeSum(int left, int right) {
if (left > 0) {
return query(right) - query(left - 1);
} else {
return query(right); // left = 0 的情况
}
}
// 计算 x 的最低位 1 所代表的值，即 lowbit(x)
private int lowbit(int x) {
return x & (-x);
}
}
1.3 树形数组应用
1.3.1 动态前缀和
题目描述： 给定一个长度为 n 的初始值为 0 的数组，共进行 m 次操作。每次操作作为一行输入，操作类型由第一个数 op 决定：
- 若
op = 1，后面接两个整数x和d（1 ≤ x ≤ n，1 ≤ d ≤ 10^5），表示将数组位置x的值增加d。 - 若
op = 2，后面接两个整数l和r（1 ≤ l ≤ r ≤ n），表示查询数组区间[l, r]的总和，并输出一个正整数作为结果。
输入描述：
- 第一行输入两个整数
n和m（1 ≤ n, m ≤ 100,000）。 - 接下来
m行，每行输入三个正整数，表示操作类型和对应的参数。
输出描述：
- 对于每次查询操作，输出一个正整数表示当前区间的和。
input： 4 4 1 2 3 2 1 3 1 3 4 2 2 3 out： 3 7
package com.coedes.binary_index_tree.dynamic_prefix_sum;
import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
/**
* @description：动态前缀和
* @author： wenLiu
* @create： 2024/4/22 12:06
*/
public class Main {
static final int N = 100010;
static int[] biTree = new int[N];
public static void main(String[] args) throws IOException {
BufferedReader reader = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
String[] s = reader.readLine().split(" ");
int n = Integer.parseInt(s[0]);
int m = Integer.parseInt(s[1]);
for (int i = 0; i < m; i++) {
String[] s1 = reader.readLine().split(" ");
int op = Integer.parseInt(s1[0]);
int val1 = Integer.parseInt(s1[1]);
int val2 = Integer.parseInt(s1[2]);
if (op == 1) {
add(val1, val2);
} else {
System.out.println(query(val2) - query(val1 - 1));
}
}
}
private static long query(int p) {
long sum = 0;
while (p > 0) {
sum += biTree[p];
p -= lowbit(p);
}
return sum;
}
private static void add(int p, int val) {
while (p <= N) {
biTree[p] += val;
p += lowbit(p);
}
}
private static int lowbit(int p) {
return p & (-p);
}
}
1.3.2 求逆序对数量
逆序对是指数组中所有满足 i < j 且 ai > aj的位置对(i, j)，要求计算长度为n的数组中的逆序对总数。
朴素法
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=i+1;j<n;j++){
if(a[i]>a[j]){
cnt++;
}
}
}
树形数组法：
add(x,1)的意义就是当前数值为的数字出现次数+1，
从右往左统计，即统计比当前位置 i 的 ai 小的值的元素个数
例如求[3 2 1 4]逆序对个数：
query:3（4-1）
bt ：0 0 0 1
query:0
bt ：1 1 0 2
query:1
bt ：1 2 0 3
query:2
bt ：1 2 1 4
package com.coedes.binary_index_tree.reverse_order;
/**
* @description：TODO
* @author： wenLiu
* @create： 2024/4/22 12:42
*/
import javax.sound.midi.Soundbank;
import java.util.Scanner;
public class Main {
static final int N = (int)1E5 + 10;
static int[] tr = new int[N];
static int n;
static int[] a = new int[N];
static int lowbit(int x) { // 计算最后一位1的位置
return x & -x;
}
static void add(int x, int d) { // 在第x位置上+d
for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) {
tr[i] += d;
}
}
static long query(int x) { // 求1~x的和(前缀和)
long ans = 0; // 开long long，省的爆int
for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) {
ans += tr[i];
}
return ans;
}
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
n = scanner.nextInt();
for (int i = 0; i < n; i++) {
a[i] = scanner.nextInt();
}
long cnt = 0; // 逆序对个数
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
System.out.println("query:" + (a[i] - 1));
int num = (int)query(a[i] - 1); // 查询比a[i]小的元素数量
cnt += num;
add(a[i], 1); // 将当前元素添加到树状数组中
for (int i1 = 0; i1 < n + 1; i1++) {
System.out.print(tr[i1]+" ");
}
System.out.println();
}
System.out.println(cnt);
}
}
