P8592 『JROI-8』颅脑损伤 2.0（加强版） 题解

你说得对，但是由乃救爷爷。

联考考到了这个题，要求线性，数据随机，不用离散化。没时间写由乃救爷爷了，于是耻辱下播。

P8592 『JROI-8』颅脑损伤 2.0（加强版）

思路

朴素 DP 是比较简单的。

设 \(f_i\) 表示钦定必须选一个右端点为 \(i\) 的最小代价。

我们将区间挂在右端点上，然后扫。我们设当前右端点为 \(r\)，扫到的区间左端点为 \(l\)，区间权值为 \(w\).

那么能从一个位置 \(j\) 转移而来的充要条件就是 \((j,l)\) 之间没有任何一个完整的区间。
我们设对于一个位置 \(i\)，所有右端点不大于 \(i\) 的区间的左端点的最大值是 \(L_i\)。
那么上面的意思就是 \([L_{l-1},l-1]\) 中必须有一个位置被选，于是我们的转移就是

\[f_i\gets \min_{j\in[L_{l-1},l-1]}(f_j)+w \]

然后要求 \(r=i\)。

于是就是一个朴素的 RMQ。但是非常遗憾的是写 ST 表会在联考中被空间卡飞，写线段树之类的会被时间卡飞。

我又比较迟钝，单调性什么的显然看不出来，于是只能写线性时空的 ST 表了，也就是最开始说的由乃救爷爷。其大体思路就是将序列按 \(\log n\) 分块，然后暴力预处理块间的 ST 表，块内的前后缀最小值。如果询问在块内，我们就暴力。显然最坏的时间复杂度是单次 \(O(\log n)\) 的，也就是每次都暴力。但是由于联考的时候是随机数据，于是大胜利。

code

但是问题是瓶颈是离散化，就很坏。如果要这么做扫描线可以说是必须的，于是这道题又只能做到 \(O(n\log n)\)。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
bool Mbe;
using namespace std;
#define ll unsigned long long
#define ui unsigned int
//namespace FIO{
//	template<typename P>
//	inline void read(P &x){P res=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0' && ch<='9'){res=(res<<3)+(res<<1)+(ch^48);ch=getchar();}x=res*f;}
//	template<typename Ty,typename ...Args>
//	inline void read(Ty &x,Args &...args) {read(x);read(args...);}
//	inline void write(ll x) {if(x<0ll)putchar('-'),x=-x;static int sta[35];int top = 0;do {sta[top++] = x % 10ll, x /= 10ll;} while (x);while (top) putchar(sta[--top] + 48);}
//}
//using FIO::read;using FIO::write;
const int N=1e6+7;
const ll inf=2e18+7;
int n,m,ql[N],qr[N],Lg[N],L[N],stk[N],top;
ll ans,qw[N],f[N],mi[N];
struct node{int l;ll w;};
vector<node>que[N];
void input() {
    for(int i=1;i<=n;i++){cin>>ql[i]>>qr[i];qw[i]=qr[i]-ql[i];stk[++top]=ql[i],stk[++top]=qr[i];}
    sort(stk+1,stk+top+1);top=unique(stk+1,stk+top+1)-(stk+1);
    for(int i=1;i<=n;i++)ql[i]=lower_bound(stk+1,stk+top+1,ql[i])-stk,qr[i]=lower_bound(stk+1,stk+top+1,qr[i])-stk,m=max(m,qr[i]);
}
namespace st{
    const int B=16;
    #define bel(x) (((x-1)>>4)+1)
    #define bl(x) (((x-1)<<4)+1)
    #define br(x) min(m,(x<<4))
    ll pre[N],suf[N],g[N/B+5][16];
    ll get_reg(const int &l,const int &r){
        const int L=bel(l)+1,R=bel(r)-1;
        if(L<=R){
            const int &k=Lg[R-L+1];return min(g[R][k],g[L+(1<<k)-1][k]);
        }
        else return inf;
    }
    ll get(const int &l,const int &r){
        if(bel(l)==bel(r)){
            ll res=inf;for(int i=l;i<=r;i++)res=min(res,f[i]);
            return res;
        }
        return min(suf[l],min(pre[r],get_reg(l,r)));
    }    
    void insert(const int &i){
        if(i==bl(bel(i))){pre[i]=f[i];return;}
        pre[i]=min(pre[i-1],f[i]);
        if(i==br(bel(i))){
            suf[i]=f[i];
            for(int j=i-1;j>=bl(bel(i));j--)suf[j]=min(suf[j+1],f[j]);
            g[bel(i)][0]=pre[i];
            for(int k=1;k<=15;k++){if(bel(i)-(1<<k)+1<1)break;g[bel(i)][k]=min(g[bel(i)][k-1],g[bel(i)-(1<<(k-1))][k-1]);}
        }
    }
}
using st::get;using st::insert;
bool Med;
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
    // freopen("rules.in","r",stdin);
    // freopen("rules.out","w",stdout);
    cin>>n;
    input();
    for(int i=1;i<=n;i++)que[qr[i]].push_back({ql[i],qw[i]});
    Lg[0]=-1;
    for(int r=1;r<=m;r++){
        Lg[r]=Lg[r/2]+1;ll res=inf;L[r]=L[r-1];
        for(int j=0;j<(int)que[r].size();j++){
            int l=que[r][j].l;ll w=que[r][j].w;
            if(L[l-1]==0)res=min(res,w);else res=min(res,get(L[l-1],l-1)+w);
            L[r]=max(L[r],l);
        }
        f[r]=res;insert(r);
    }
    ll ans=get(L[m],m);
    cout<<ans<<'\n';
    cerr<<'\n'<<1e3*clock()/CLOCKS_PER_SEC<<"ms\n";
    cerr<<'\n'<<fabs(&Med-&Mbe)/1048576.0<<"MB\n";
    return 0;
}