算法设计与分析——4

第四章实验报告

4-3 最优合并问题 

1. 问题描述

    给定k个排好序的序列，用2路合并算法将这k个序列合并成一个序列。假设所采用的2路合并算法合并 2 个长度分别为m和n的序列需要m+n-1次比较。试设计一个算法确定合并这个序列的最优合并顺序，使所需的总比较次数最少。 为了进行比较，还需要确定合并这个序列的最差合并顺序，使所需的总比较次数最多。

    输入格式：第一行有 1 个正整数k，表示有 k个待合并序列。 第二行有 k个正整数，表示 k个待合并序列的长度。

    输出格式：输出最多比较次数和最少比较次数。

    输入样例：4 // 5 12 11 2

    输出样例：78 52


2. 算法描述

    主要思路：合并k个序列，需要合并k-1次，每次合并的比较次数取决于俩序列长度和。贪心策略为，比较次数最多，即每次尽可能选择长度最大两序列进行合并，比较次数最少，即每次尽可能选择长度最小两序列进行合并。使用替换法证明，若合并时选择的非长度最大/最小，则总是存在更优的选择方法是比较次数更多/更少，因此该贪心策略成立。

   int MinSum(int a[], int n) {

  　　 int min_sum = 0;　　//存放比较总次数

   　　for (int i = 0; i < n-1; i++) {
   　　　　sort(a, a + n);　　//排序
   　　　　a[i+1] = a[i] + a[i+1];　　//总选择最小两个（非最前两个需要除去前方的0）相加赋给其中一个
   　　　　a[i] = 0;　　//另外一个置为零
   　　　　min_sum += a[i+1] - 1;　　//更新比较次数
　　   }
 　　  return min_sum;
   }

 

   int MaxSum(int b[], int n) {
   　　int max_sum = 0;　　//存放比较总次数
   　　for (int i = 0; i < n-1; i++) {
   　　　　sort(b, b + n);　　//排序
   　　　　b[n-2] = b[n-2] + b[n-1];　　//总选择最大两个（最后两个）相加赋给其中一个
   　　　　b[n-1] = 0;　　//另外一个置为零
   　　　　max_sum += b[n-2] - 1;　　//更新比较次数
   　　}
   return max_sum;
   }

3. 时间复杂度分析

需要合并n-1次，每次都需要进行排序，更新序列长度以及比较次数，整个问题的时间复杂度为O(n^2*logn)。

4. 心得体会

此类问题最重要的、难点就在于贪心算法的选择，我们在选择贪心算法时，需要多个方面兼顾考虑，不能全靠感觉和常识，需要进一步的考虑。区分贪心算法问题和动态规划问题之间的不同，选择合适的策略解决问题。