KMP算法

 

KMP算法可在一个主文本字符串S内查找一个词W的出现位置。此算法通过运用对这个词在不匹配时本身就包含足够的信息来确定下一个匹配将在哪里开始的发现，从而避免重新检查先前匹配的字符。

这个算法是由高德纳和沃恩·普拉特在1974年构思，同年詹姆斯·H·莫里斯也独立地设计出该算法，最终由三人于1977年联合发表。

查找算法实例

让我们用一个实例来演示这个算法。在任意给定时间，本算法被两个整数m和i所决定：

• m代表主文字符串S内匹配字符串W的当前查找位置，
• i代表匹配字符串W当前做比较的字符位置。

图示如下：

             1         2  
m: 01234567890123456789012
S: ABC ABCDAB ABCDABCDABDE
W: ABCDABD
i: 0123456

我们从W与S的开头比较起。我们比对到S[3](=' ')时，发现W[3](='D')与其不符。接着并不是从S[1]比较下去。我们已经知道S[1]~S[3]不与W[0]相合。因此，略过这些字符，令m = 4以及i = 0。

             1         2  
m: 01234567890123456789012
S: ABC ABCDAB ABCDABCDABDE
W:     ABCDABD
i:     0123456

如上所示，我们检核了"ABCDAB"这个字符串。然而，这与目标仍有些差异。我们可以注意到，"AB"在字符串头尾处出现了两次。这意味着尾端的"AB"可以作为下次比较的起始点。因此，我们令m = 8, i = 2，继续比较。图标如下：

             1         2  
m: 01234567890123456789012
S: ABC ABCDAB ABCDABCDABDE
W:         ABCDABD
i:         0123456

于m = 10的地方，又出现不相符的情况。类似地，令m = 11, i = 0继续比较：

             1         2  
m: 01234567890123456789012
S: ABC ABCDAB ABCDABCDABDE
W:            ABCDABD
i:            0123456

这时，S[17](='C')不与W[6]相同，但是亦出现了两次"AB"，我们采取一贯的作法，令m = 15和i = 2，继续搜索。

             1         2  
m: 01234567890123456789012
S: ABC ABCDAB ABCDABCDABDE
W:                ABCDABD
i:                0123456

我们找到完全匹配的字符串了，其起始位置于S[15]的地方

部分匹配表

部分匹配表，又称为失配函数，作用是让算法无需多次匹配S中的任何字符。能够实现线性时间搜索的关键是在主串的一些字段中检查模式串的初始字段，我们可以确切地知道在当前位置之前的一个潜在匹配的位置。换句话说，在不错过任何潜在匹配的情况下，我们”预搜索”这个模式串本身并将其译成一个包含所有可能失配的位置对应可以绕过最多无效字符的列表。

对于W中的任何位置，我们都希望能够查询那个位置前（不包括那个位置）有可能的W的最长初始字段的长度，而不是从W[0]开始失配的整个字段，这长度就是我们查找下一个匹配时回退的距离。因此T[i]是W的可能的适当初始字段同时也是结束于W[i - 1]的子串的最大长度。我们使空串长度是0。当一个失配出现在模式串的最开始，这是特殊情况（无法回退），我们设置T[0] = -1，在下面讨论。

创建表算法示例

我们首先考虑例子W = "ABCDABD"。使用这个大致相同的模式串作为主搜索，我们将会看到它高效的原因。

首先，我们设定T[0] = -1。为了找到T[1]，我们必须找到一个"A"的适当后缀同时也是W的前缀。但"A"没有后缀，所以我们设定T[1] = 0。类似地，T[2] = 0。

继续到T[3]，我们注意到检查所有后缀有一个捷径：假设我们发现了一个适当后缀，结束于W[2]、长度为2（最大可能）的后缀，那么它的第一个字符是W的一个适当前缀。因此一个结束于W[1]的适当前缀，我们已经确定了不可能出现在T[2]。因此在每一层递推中，这个规则是只有在上一层找到一个长度为m的有效后缀时，才需要检查给定长度为m+1的后缀（例如，T[x] = m）。

那么我们甚至不需要关心具有长度为2的子串，由于上一个情况因长度为1而失配，所以T[3] = 0。

我们继续遍历到W[4]子序列，'A'。同样的逻辑说明我们需要考虑的最长子串的长度是1，并且在'A'这个情况中有效，回退到我们寻找的当前字符之前的字段，因此T[4] = 0。

现在考虑下一个字符W[5]，'B'，我们使用这样的逻辑：如果我们曾发现一个子模式在上一个字符W[4]之前出现，继续到当前字符W[5]，那么在它之前它本身会拥有一个结束于W[4]合适的初始段，与事实相反的是我们已经找到'A'是最早出现在结束于W[4]的合适字段。因此为了找到W[5]的终止串，我们不需要查看W[4]。因此T[5] = 1。

最后，我们看到W[4] = 'A'下一个字符是'B'，并且这也确实是W[5]。此外，上面的相同参数说明为了查找W[6]的字段，我们不需要向前查看W[4]，所以我们得出T[6] = 2。

于是我们得到下面的表：

i	0	1	2	3	4	5	6
W[i]	A	B	C	D	A	B	D
T[i]	-1	0	0	0	0	1	2

另一个更复杂和有趣的例子：

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23
W[i]	P	A	R	T	I	C	I	P	A	T	E		I	N		P	A	R	A	C	H	U	T	E
T[i]	-1	0	0	0	0	0	0	0	1	2	0	0	0	0	0	0	1	2	3	0	0	0	0	0

创建表算法的伪代码的解释

上面的例子以最少的复杂步骤展示了组织这个表格的一般性方法。这么做的原理是对整体的搜索：大多数工作已经在检测到当前位置的时候做完了，剩下需要做的很少。略微复杂的一点是找到一个共同前后缀。这就需要有一些初始化的代码。

algorithm kmp_table:
    input:
        an array of characters, W (the word to be analyzed)
        an array of integers, T (the table to be filled)
    output:
        nothing (but during operation, it populates the table)

    define variables:
        an integer, pos ← 2 (the current position we are computing in T)
        an integer, cnd ← 0 (the zero-based index in W of the next 
character of the current candidate substring)

    (the first few values are fixed but different from what the algorithm 
might suggest)
    let T[0] ← -1, T[1] ← 0

    while pos < length(W) do
        (first case: the substring continues)
        if W[pos - 1] = W[cnd] then
            let cnd ← cnd + 1, T[pos] ← cnd, pos ← pos + 1

        (second case: it doesn't, but we can fall back)
        else if cnd > 0 then
            let cnd ← T[cnd]

        (third case: we have run out of candidates.  Note cnd = 0)
        else
            let T[pos] ← 0, pos ← pos + 1

 

创建表的算法的效率

创建表的算法的复杂度是O(n)，其中n是W的长度。除去一些初始化的工作，所有工作都是在while循环中完成的，足够说明这个循环执行用了O(n)的时间，同时还会检查pos和pos - cnd的大小。在第一个分支里，pos - cnd被保留，而pos与cnd同时递增，自然，pos增加了。在第二个分支里，cnd被T[cnd]所替代，即以上总是严格低于cnd，从而增加了pos - cnd。在第三个分支里，pos增加了，而cnd没有，所以pos和pos - cnd都增加了。因为pos ≥ pos - cnd，即在每一个阶段要么pos增加，要么pos的一个下界增加；所以既然此算法只要有pos = n就终止了，这个循环必然最多在2n次迭代后终止，因为pos - cnd从1开始。因此创建表的算法的复杂度是O(n)。