第三章作业

一、问题分析
商人从 N×N 网格左上角 (1,1) 进入，右下角 (N,N) 离开，只能上下左右移动，每穿越一个小方格花费 1 单位时间，必须在 (2N-1) 个单位时间内穿越出去。

关键洞察：从 (1,1) 到 (N,N) 若只走最短路径（只向右或向下），恰好经过 2N-1 个方格，正好用满 2N-1 个单位时间。任何绕路（向上或向左）都会超时。因此问题等价于：只能向右或向下移动，求从左上角到右下角的最小费用路径。

1.1 递归方程式（最优子结构）
状态定义：设 dp[i][j] 表示从起点 (1,1) 到达方格 (i,j) 所需的最小费用（含 (i,j) 本身的费用）。

最优子结构分析：到达 (i,j) 的最后一步只能来自上方 (i-1,j) 或左方 (i,j-1)。要使到达 (i,j) 的总费用最小，其前驱格子的路径费用也必须最小——这正是最优子结构性质。

递归方程式：

text
dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + cost[i][j] (i>1 且 j>1)
边界条件：

text
dp[1][1] = cost[1][1] （起点费用）
dp[1][j] = dp[1][j-1] + cost[1][j] （j>1，第一行只能从左来）
dp[i][1] = dp[i-1][1] + cost[i][1] （i>1，第一列只能从上来）
其中 cost[i][j] 为方格 (i,j) 的费用；时间约束迫使路径只能向右/向下，故转移只考虑上方和左方。

1.2 填表法
表的维度：二维表 dp[N+1][N+1]（下标从 1 开始，与网格坐标对应）。表中元素 dp[i][j] 表示到达 (i,j) 的最小费用。

填表范围：i = 1..N，j = 1..N，覆盖整个网格。

填表顺序：按行从上到下（i 递增）、每行从左到右（j 递增）。因为计算 dp[i][j] 依赖 dp[i-1][j]（上一行，已算）和 dp[i][j-1]（本行左边，已算），此顺序保证依赖项先于当前项计算完成。

原问题最优值：dp[N][N]，即表格右下角元素。

1.3 复杂度分析
时间复杂度：填表共 N×N 个元素，每个元素计算（取 min 加一个数）为 O(1)，故总时间为 O(N²)。N<100 时约 10⁴ 次运算，完全可行。

空间复杂度：二维表需 O(N²) 空间。可优化：由于 dp[i][j] 只依赖上一行和本行左侧，可用一维滚动数组 dp[j]，按 dp[j] = min(dp[j], dp[j-1]) + cost[i][j] 更新，空间降为 O(N)。主算法采用 O(N²)，优化版为 O(N)。

二、对动态规划算法的理解和体会
通过本题的实践，我对动态规划有了更深入的认识：

识别问题的“隐藏约束”是关键。题目表面允许四方向移动，但 (2N-1) 的时间约束实际上把可行路径限制为只向右/向下。DP 建模前必须先剖析问题本质结构，约束条件往往能大幅简化状态空间。

最优子结构是 DP 的基石。本题中“到达 (i,j) 的最优路径，其前缀路径对前驱格子也必最优”这一性质，使大问题可分解为子问题。若子问题最优不能推出全局最优，就不能直接 DP。

状态定义决定方程式的形式。dp[i][j] 定义为“到达该格的最小费用”而非其他，使转移自然、边界清晰。好的状态定义应满足：无后效性、可递推、能覆盖所有子问题。

填表顺序体现依赖关系。二维表格按行优先填充，本质是拓扑排序——保证依赖项先算。理解“依赖 → 顺序”的对应关系，比死记“从左到右、从上到下”更重要。

DP 与贪心的区别。本题若贪心地每步选费用小的方向，会陷入局部最优。DP 通过枚举所有前驱并取 min，保证全局最优，这正是 DP“记录所有子问题解、避免重复计算”的价值所在。

空间优化是锦上添花。滚动数组将 O(N²) 降为 O(N)，体现 DP 中“当前状态只依赖有限前驱”的特性。

总之，动态规划的核心流程可概括为：分析最优子结构 → 定义状态 → 写递归方程与边界 → 确定填表顺序 → 求原问题解 → 分析并优化复杂度。本题虽小，却完整走通了这一流程，加深了我对“用表格记录子问题、用递推构造最优解”这一思想的掌握。