Marchenko imaging-Kees Wapenaar-2014

目录

• Traditionally, the Marchenko equation forms a basis for 1D inverse scattering problems.
  • 什么是一维逆散射问题？
  • Marchenko方程是什么？
  • Marchenko方程解释
  • 如何在数学上表示一个波场

Traditionally, the Marchenko equation forms a basis for 1D inverse scattering problems.

什么是一维逆散射问题？

正散射问题：
一维空间一根无限长的弦，在某个局部区域存在一个势函数\(V(x)\)，我们从势函数区域左边发射一个已知的波。
正散射问题就是：已知势函数\(V(x)\)，求解波在穿过这个势函数区域后会发生什么。
正问题的解，就是精确计算出透射系数\(T(k)\)、反射系数\(R(k)\)、束缚态能量\(E_n\)和其对应的归一化常数\(c_n\)。所有这些信息\(\{R(k), T(k), E_n, c_n\}\)称为散射数据\(S\)。
总结：正散射问题是输入势函数\(V(x)\)，输出散射数据\(S\)。
逆散射问题：
逆散射问题就是：我们无法看到或测量那个局部区域的势函数\(V(x)\)，但可以向这个区域发射波，测量反射回来和透射回去的波。逆散射问题的解就是通过测量得到的散射数据\(S\)，来反推出那个产生散射的势函数是什么？
总结：逆散射问题是输入散射数据\(S\)，得到势函数\(V(x)\)。
一个形象的比喻：正散射问题就是给你一个已知生熟的西瓜，让你预测敲击它时发出的声音。逆散射问题就是通过敲击这个西瓜，来判断这个西瓜生熟。

正逆散射是一对狭义的概念，特指波动领域的正演与反演。
正反演是一个广义的概念：

正演问题：通过属性推测量

• 地震学：已知地下结构与速度模型，推测地震记录。
• 医学：已知人体CT的X射线衰减系数分布，计算投影数据。
• 工程：已知桥梁的设计图纸和材料属性，计算负载下应力分布。

反演问题：通过测量推属性

• 地震学：已知地震记录，推测地下结构与地下速度模型。
• 医学：已知CT扫描仪从各个角度测量的投影数据，反演重建人体结构。
• 工程：通过测量桥梁的振动响应，推断内部损伤情况。

Marchenko方程是什么？

Marchenko方程是一个积分方程。如果说Marchenko方程在解决一维逆散射问题时，是用生成的地震记录来推测地下速度模型，这么说是不准确的，因为速度模型不是Marchenko方程的主要目标。Marchenko方程做逆散射就是通过地震记录来生成整个波场信息。而从重构出的波场信息推导出准确速度模型的过程，就全波形反演。那全波形反演FWI是一种利用完整波场信息包括振幅，相位，旅行时等所有波形特征来反演地下介质参数如速度密度的高分辨率成像技术。
可以将Marchenko产生的、清除了多次波的虚拟波场\(G^-\)和\(G^+\)作为FWI的输入数据。
一维地震勘探中的Marchenko成像方程：
一维模型：地下介质性质只随着深度z变化、波场只随着深度z和时间t变化。
数据准备：

• 输入地表自激自收地震记录R(0, 0, t)，也就是地震反射响应、信号中包含了所有的一次波和多次波;
• 估算直达波旅行时T_d(z_v);
  R(0, 0, t): 三个参数分别代表：震源位置、接收器位置、地震波传播的时间。
T_d(z_v): 其自变量为进行聚焦（即消除多次波并创建清晰图像）的地下空间位置。

耦合：描述方程组中各个方程之间相互依赖相互制约，方程1的解取决于方程2，方程2的解取决于方程1，那这两个方程必须同时求解，是耦合的。就像二元一次方程组，两个未知数是耦合的。
观测点：地表z = 0。
目标点：地下某个深度z = z_v
波场：只考虑垂直传播的波。
一维Marchenko方程具体形式：

第一个方程（上行波场方程）：

\[G^-(z_v, 0, t) + \int_{-∞}^{∞}R(0, 0, t + t^{'})G^+(z_v, 0, -t^{'})\,dt^{'} = 0 \]

第二个方程（下行波场方程）：

\[G^+(z_v, 0, t) - \int_{-∞}^{∞}R(0, 0, t + t^{'})G^-(z_v, 0, -t^{'})dt^{'} = θ(t)δ(t - T_d(z_v)) \]

方程中各部分详细解释：

1. 反射响应R(0, 0, t):
   这是在一维情况下在地表自激自收反射响应。
   物理意义是在地表激发并在地表同一位置接收到的地震记录。
2. 格林函数\(G^-(z_v, 0, t)\)和\(G^+(z_v, 0, t)\)：
   \(G^+(z_v, 0, t)\):表示从地表0直接传播到z_v的下行格林函数。
   描述从地表物理源点激发，产生的波场在时间t时，在地下某个虚拟接收点处下行波场的值，就是说如果在地面炮点放一炮，那么在地下任意接收点，下行波在t时刻看起来是怎样的，它包含了从源点到该接收点的所有下行路径，包括直达波和下行多次波。

\(G^-(z_v, 0, t)\):从虚拟点z_v传播到地表的上行格林函数。
上行的格林函数就是消除了多次波之后，纯净的反射波场，可以用它来成像。
格林函数三个参数：第一个参数：接收点位置，炮点位置，地震波传播时间。

3. 直达波旅行时\(T_d(z_v)\):
   波从地表0直接传播到目标深度z_v所需要的时间。
   需要初速度模型估算：\(T_d(z_v) = \int_{0}^{z_v}\frac{1}{v(z)}\,dz\)

4. 聚焦窗函数θ(t)：
   通常取t = 0为中心的一个时间窗。
   确保只保留因果部分。
   \(δ(t - T_d)\)表示在\(t=T_d\)时刻的理想聚焦脉冲
   \(θ(t)\)截断这个脉冲，只保留\(t≥0\)的部分
   

因果律：原因必须先于结果
对于格林函数\(G(t)\)，表示在\(t = 0\)时刻施加脉冲源产生的波场：

\[G(t) = 0 当t < 0 \]

这是因果格林函数的定义。

• 因果部分：t>0, 波从z_v点向外传播
• 非因果部分：t<0, 波从z_v点汇聚(违反因果律)
  Marchenko方程通过聚焦窗函数θ(t)自动压制非因果部分，确保解的真实性。

δ函数是一个广义函数，在物理学中用来描述理想脉冲

Marchenko方程解释

如何在数学上表示一个波场