P1466 [USACO2.2] 集合 Subset Sums

题目描述

对于从 \(1\sim n\) 的连续整数集合，能划分成两个子集合，且保证每个集合的数字和是相等的。举个例子，如果 \(n=3\)，对于 \(\{1,2,3\}\) 能划分成两个子集合，每个子集合的所有数字和是相等的：

\(\{3\}\) 和 \(\{1,2\}\) 是唯一一种分法（交换集合位置被认为是同一种划分方案，因此不会增加划分方案总数）
如果 \(n=7\)，有四种方法能划分集合 \(\{1,2,3,4,5,6,7 \}\)，每一种分法的子集合各数字和是相等的:

\(\{1,6,7\}\) 和 \(\{2,3,4,5\}\)
\(\{2,5,7\}\) 和 \(\{1,3,4,6\}\)
\(\{3,4,7\}\) 和 \(\{1,2,5,6\}\)
\(\{1,2,4,7\}\) 和 \(\{3,5,6\}\)

给出 \(n\)，你的程序应该输出划分方案总数。

解题思路

1. 如果用next_permutation找组合会TLE,所以用DP
2. 1<=n<=39 打表出省一 (doge
3. 如果1 ~ n 的和是奇数,答案肯定是0
4. 定义状态:f[s]=将序列分为两部分,每部分的和为s,(计入重复,所以最后cout要/2)
5. 状态转移方程: if (j >= i) f[j] += f[j - i];
6. 初始化:f[0] = 1;

带马(暴力+正解+打表)

暴力

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n;
int a[40];
int c[40];
signed main() {
	cin >> n;
	if ((n * (n + 1) / 2) & 1) {
		cout << 0 << ",";
		return 0;
	}
	fill(a + 1, a + n + 1, 0);
	iota(a + 1, a + n + 1, 1);
	int ans = 0;
	for (int l = 0; l <= n; l++) {
		fill(c + 1, c + n + 1, 0);
		int pos = n;
		for (int i = 0; i < l; i++) {
			c[pos--] = 1;
		}
		do {
			int s1 = 0, s2 = 0;
			for (int i = 1; i <= n; i++) {
				if (c[i]) {
					s1 += a[i];
				} else {
					s2 += a[i];
				}
			}
			if (s1 == s2) {
				ans++;
			}
		} while (next_permutation(c + 1, c + n + 1));
	}
	cout << ans / 2 << ",";
	return 0;
}

正解

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n;
int f[1000];
signed main() {
	cin >> n;
	int s = n*(n + 1) / 2;
	if (s & 1) {
		cout << 0;
		return 0;
	}
	s /= 2;
	f[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = s; j >= 1; j--) {
			if (j >= i) f[j] += f[j - i];
		}
	}
	cout << f[s] / 2;
	return 0;
}

打表

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int k[] = {0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 4, 7, 0, 0, 35, 62, 0, 0, 361, 657, 0, 0, 4110, 7636, 0, 0, 49910, 93846, 0, 0, 632602, 1199892, 0, 0, 8273610, 15796439, 0, 0, 110826888, 212681976, 0, 0, 1512776590};
signed main() {
	int n;
	cin >> n;
	cout << k[n];
	return 0;
}