[04/04/20] 抽象圣经笔记#1
作为学习抽象圣经的预备知识，我们要先了解集合的概念，基本性质和运算规律。
I.概念
a.所谓集合，就是某一些事物的全体，如整数集表示整数全体。集合常常用大写英文字母 \(A,B,C\) 来表示。
b.集合内某一固定的事物称为元素，如整数集中的 \(1\) 。元素常常用小写英文字母 \(a,b,c\) 来表示。
c.我们用 \(\in\) 来表示元素与集合的属于关系，用 \(a \in A\) 表示 \(a\) 为集合 \(A\) 中的元素。相对的，我们使用 \(\notin\) 或 \(\overline{\in}\) 来表示不属于关系。
d.由集合内元素个数的不同，我们将集合划分为以下三种：空集，有限集和无限集。
d.a.空集：不含任何元素，符号为 \(\emptyset\) ，如 \(8-10\) 内的质数组成的集合。
d.b.有限集：含有有限个元素，如 \(1-10\) 内的整数组成的集合。
d.c.无限集：含有无限个元素，如整数集。
e.若集合 \(A\) 中的所有元素均属于集合 \(B\) ，则称集合 \(A\) 为集合 \(B\) 的子集，记作 \(A\subseteq B\) 。若集合 \(A,B\) 具有相同的元素，则称为相等。即数学上若有 \(A\subseteq B\) 且 \(B\subseteq A\) ，可得到 \(A=B\) 。
f.集合内的通用表示方法为： \(A=\{ a\in S\) | \(P(a)\}\)。此指 \(A\) 中的元素来自于集合 \(S\) (注意到若 \(S\) 唯一则必有 \(A \subseteq S\))，且具有性质 \(P\) 。为方便理解可认为集合 \(A\) 具有性质 \(P\) ，若 \(a\in A\) 则 \(a\) 也具有性质 \(P\) 。
g.集合的基本运算：交与并
g.tip：集合中元素只论种类，不论个数。即若有元素 \(a,b\) 完全相同，视为同一元素。（去重）
[定义\(1.1\)]
g.a.并：\(A,B\) 中所有元素组成的集合 \(C\) 称为 \(A\) 与 \(B\) 的并，记作 \(C=A\bigcup B=\{x|x\in A\bigvee x\in B\}\)。
[定义\(1.2\)]
g.b.交：\(A\) 与 \(B\) 共有的元素组成的集合 \(D\) 称为 \(A\) 与 \(B\) 的交，记作 \(D=A\bigcap B=\{x|x\in A\bigwedge x\in B\}\)。
[定义\(1.3\)]
h.设 \(B\) 是 \(A\) 的子集，定义 \(A-B\) \((\)亦作 \(A\) \ \(B)\)为 \(B\) 在 \(A\) 中的补集或余集，记作 \(A-B=\{x|x\in A,x\overline{\in}B\}\)。
i.常见数集
\(\mathbb{Z}\) 整数集.
\(\mathbb{N}\) 自然数集.
\(\mathbb Q\) 有理数集.
\(\mathbb R\) 实数集.
\(\mathbb C\) 负数集.
$\mathbb A^* $ 集 \(\mathbb A\) 的非零部分.
$\mathbb A_+ $ 集 \(\mathbb A\) 的正数部分.
II.基本性质和运算规律
[命题\(1.1\)] 关于集合有以下性质：
a.若 \(A\subseteq B\)，则 \(A\bigcap B=A\)，\(A\bigcup B=B\)，特别的，有 \(A\bigcap A=A\bigcup A=A\).
b.\(A\bigcup B=B\bigcup A\)，\(A\bigcap B=B\bigcap A\).
c.\((A\bigcup B)\bigcup C=A\bigcup (B\bigcup C)\)，\((A\bigcap B)\bigcap C=A\bigcap (B\bigcap C)\).
d.\(A\bigcup (B\bigcap C)=(A\bigcup B)\bigcap (A\bigcup C)\)，\(A\bigcap (B\bigcup C)=(A\bigcap B)\bigcup (A\bigcap C)\).
e.若 \(A,B\subseteq C\)，有：
e.a.\(C-(C-A)=A\);
e.b.\(C-(A\bigcap B)=(C-A)\bigcup (C-B)\);
e.c.\(C-(A\bigcup B)=(C-A)\bigcap (C-B)\).
具体证明方法可借助 \(Venn\) 图，或使用基于定义的证明方法：由于有 (I.e) ，集合间任意运算律的命题均可写作若干 \(A_i\subseteq B_i\) 及若干 \(X_i \not= Y_i\) 的形式，逐一证明即可。再具体的话就是设元素 \(x\in LEFT\)，证 \(x\in RIGHT\) 。
Tip：性质 b 称为交换律，性质 c 称为结合律，性质 d 称为分配律，性质 e 称为 \(Morgan\) 公式。
f.并与交的概念可以推广到任意多个集合上。由于结合律的成立，在书写各集合并/交的过程中省略括号。
III.指标集
a.设有一集合 \(I\) 与一族集合 \(F=\{A_i|i\in I\}\)，即对于任意 \(i\in I\)，\(F\) 中均有唯一的集合 \(A_i\) 与之对应，这样的集合 \(I\) 称为集族 \(F\) 的指标集，就是类似于现实生活中目录一般的存在。
