P9796 [NERC 2018] Fractions

相信大家小时候都知道 \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}\)。

我刚看这个式子就发现了一股美感，然后这个题就是将这个美感拓展了一下。

给出结论是，必然存在两个数满足这个条件，不妨令这两个数的分母分别为 \(b1, b2\)，分子为 \(a1, a2\)，则：

\[\frac{a1}{b1} + \frac{a2}{b2} = \frac{n - 1}{n} \]

考虑通分：

\[\frac{a1 \times \frac{n}{b1}}{n} + \frac{a2 \times \frac{n}{b2}}{n} = \frac{n - 1}{n} \]

那么就有：

\[\frac{a1n}{b1} + \frac{a2n}{b2} = n - 1 \]

显然令 \(bi = \frac{n}{bi}\)，那么：

\[a1 \times b1 + a2 \times b2 = n - 1 \]

转化成了熟悉的 exgcd 的形式，你会发现根据裴署定理这玩意有解的充要条件是 \(\gcd(b1, b2) | n - 1\)，这东西只有 \(\gcd(b1, b2) = 1\) 的时候才能做到，随便拿一组出来构造即可，否则就是无解。

可以通过归纳证明若 \(>2\) 的有解那么 \(=2\) 必定有解，若 \(=2\) 无解那么 \(>2\) 也必定无解。