P5339 [TJOI2019]唱、跳、rap和篮球

\(\text{solution}\)

感觉非常妙啊。

容易发现从 \(n\) 个人中选出 \(i\) 群 cxk 的方案数是 \(C_{n - 3i}^i\)，考虑会有重复的，所以考虑容斥。

我们的容斥式子如下：

\[\sum_{i = 0}^{min(a, b, c, d, \frac{n}{4})} (-1)^i \times C_{n - 3i}^{i} \times [剩下的 n - 4i 个数的排列个数] \]

注意到前面两项是很好求的，考虑第三项怎么求，假设选出 \(i\) 个 cxk，那么剩下的人为 \(a - i, b - i, c - i, d - i\)，则有 \(n\) 个重复元素的排列个数为：

\[\frac{(n - 4i)!}{(a - i)!(b - i)!(c - i)!(d - i)!} \]

那如果 \(a + b + c + d < n\)，那么答案为 \(0\)，如果大于 \(n\)，那么为：

\[(n - 4i)! \sum_{f \le a - i, ... 同理} [f + g + p + q = n - 4i]\frac{1}{f!}\frac{1}{g!}\frac{1}{p!}\frac{1}{q!} \]

显然这是一个四元卷积，用 NTT 轻松过掉，时间复杂度 \(O(n^2 \log_2 n)\)，这个模数真的 6。