P5664 [CSP-S2019] Emiya 家今天的饭

\(\text{solution}\)

这道题还是有点东西的。不知道 puck 当年这道题打了暴力没有。

明显考虑容斥，发现求所有列被选的个数都不大于 \(\frac{k}{2}\) 的有点难算，但是我们可以搞成所有的方案数 \(ans - 1 - b\)，\(b\) 为有一个列是大于 \(\frac{k}{2}\) 的方案数，发现最多只能有一个列选的数的个数大于 \(\frac{k}{2}\)，所以我们用 DP 去求解这个东西就好了。

考虑枚举每一列，表示当前列选的数的个数大于 \(\frac{k}{2}\)，然后设 \(f_{i, j, k}\) 表示前 \(i\) 行，当前列选了 \(j\) 个数，其他列选了 \(k\) 个数的方案数，这个东西很好求，最后用 \(ans\) 减一下就好了。

但是我们考虑这种做法是会炸时间的，考虑我们只关心它们的相对大小，也就是差值，所以我们优化成 \(f_{i, j}\) 为前 \(i\) 行，当前行列选的数的个数与其他列的个数差值为 \(j\) 时的方案数，然后转移就行了。

总方案数就是 \(ans = \prod\limits_{i = 1}^{n}\left(\left(\sum\limits_{j = 1}^{m} a_{i, j} \right) + 1 \right) - 1\)，为什么要减 \(1\)，因为至少要有一道菜。