P6883 [COCI2016-2017#3] Kroničan

\(\text{solution}\)

个人认为有些地方还是比较妙的。

首先看到 \(n \le 20\) 就知道了这道题是一道状压 DP，考虑怎么状压：

设 \(f_i\) 为当前状态为 \(i\) 时的最小代价，此时 \(0\) 表示有水，\(1\) 表示没水。

然后我们考虑这道题的状态转移方程是：

\[f_{i} = \min(f_{i \& (1 << j)} + c_{j + 1, l + 1}) \]

此时我们的 \(j\) 从 \(0\) 开始循环（因为二进制是从 \(0\) 位开始的）且 \(j\) 位为 \(1\)，\(k\) 位为 \(0\)。

接下来我们考虑一个问题，如何证明这个 DP 状态是已经被求解过的：

考虑 \(i \& (1 << j)\) 肯定是把某一位变为 \(0\)，也就是从有水到没水，就是 \(j\) 倒水倒到 \(k\) 里，这个二进制数肯定比当前二进制数小，所以肯定被求解过（这就是为什么有水为 \(0\)，无水为 \(1\)）。