P2261 [CQOI2007]余数求和

\(\text{solution}\)

基础数学题。

这个东西虽然很基础，但是很重要！

我们发现这个东西不就是 \(O(n)\) 的吗？直接开码，发现 $ n \le 10^9$，这 tm 怎么过去啊。

其实这是一个经典问题，首先推一下柿子：

\[\sum_{i = 1}^{n} k \bmod i \]

这里有一个生活中的小常识：\(a \bmod b = a - b \times \left\lfloor \frac{a}{b} \right\rfloor\)，所以：

\[\sum_{i = 1}^{n} k - k \times \left\lfloor \frac{k}{i} \right\rfloor \]

这个时候用到一个常用的优化：整除分块，我们发现只要将 \(\left\lfloor \frac{k}{i} \right\rfloor\) 求出即可。

我们发现 \(\left\lfloor \frac{k}{i} \right\rfloor\) 的值在 \(i\) 等于某些值是相等的，且这些 \(i\) 都是连续的。也就是说我们可以分成很多个块。

我们先来证明一下块数为 \(\sqrt{n}\)，这个很简单，因为 \(\left\lfloor \frac{n}{i} \right\rfloor < \sqrt{n}\) 的，而最大的值又为 \(\left\lfloor \frac{n}{i} \right\rfloor\)，所以并不超过。

考虑求出连续一段的 \([l, r]\)，我们发现第一段的 \(l = 1\)，所以我们只需求出 \(r\) 即可，为 \(\left\lfloor \frac{n}{\left\lfloor \frac{n}{i} \right\rfloor} \right\rfloor\) 就 OK 了。

然后分段去算就 OK 了。