微积分 A(1) —— 导数与微分

\(\newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\b}{\beta} \newcommand{\o}{\omega} \newcommand{\D}{\Delta} \newcommand{\de}{\delta} \newcommand{\si}{\sigma} \newcommand{\Si}{\Sigma} \newcommand{\w}{\wedge} \newcommand{\om}{\Omega} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\ph}{\varphi} \newcommand{\t}{\theta} \newcommand{\la}{\lambda} \newcommand{\ga}{\gamma} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\DD}{\mathrm{D}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\fr}{\frac} \newcommand{\l}{\left} \newcommand{\r}{\right} \newcommand{\ov}{\overline} \newcommand{\ud}{\underline} \newcommand{\bs}{\backslash} \newcommand{\mps}{\mapsto} \newcommand{\pa}{\partial} \newcommand{\str}{\stackrel} \newcommand{\op}{\operatorname} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\gr}{\operatorname{grad}} \newcommand{\cu}{\operatorname{curl}} \newcommand{\di}{\operatorname{div}} \newcommand{\rot}{\operatorname{rot}} \newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|} \newcommand{\infn}[1]{\| #1 \|_{\infty}} \newcommand{\p}[2]{\fr {\pa #1} {\pa #2}} \newcommand{\dd}[2]{\fr {\d #1} {\d #2}} \newcommand{\se}[2]{\sum_{#1 = #2} ^ \infty} \newcommand{\seq}[2]{\{{#1}_{#2}\}_{{#2}\geq 1}} \newcommand{\an}[1]{\left \langle #1 \right\rangle} \newcommand{\na}{\nabla} \newcommand{\lan}{\langle} \newcommand{\ran}{\rangle} \newcommand{\scr}{\mathscr} \newcommand{\bf}{\mathbf} \newcommand{\rm}{\mathrm} \newcommand{\xeq}{\xlongequal} \newcommand{\bal}{\begin{aligned}} \newcommand{\eal}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\st}{\mathrm{s.t.} \ \ }\)

107 导数与微分

内容：

微分与导数的概念。
微分与导数的运算规律。
曲线与曲线的切线。

运算性质

复合函数微分（链索法则）

若 $f$ 在 $x_0$ 处可微，$g$ 在 $y_0 = f(x_0)$ 处可微，则 $g\circ f$ 在 $x_0$ 处可微，且

\[\d (g\circ f)(x_0) = \d g(y_0) \circ \d f(x_0) \]

\[(g\circ f)'(x_0) = g'(y_0) f'(x_0) = g'(f(x_0)) f'(x_0) \]

理解：对于两个线性函数，它们的复合的比例系数为它们各自比例系数的乘积。对于两个可微函数，先在局部近似看成线性函数，再做复合，等价于先复合再近似成线性函数。复合的微分是微分的复合。

证明

已知

\[\bal f(x_0 + h) - f(x_0) = ah + o(h), \quad h\to 0 \\ g(y_0 + v) - g(y_0) = bv + o(v), \quad v\to 0 \eal \]
于是

\[\bal & g(f(x_0 + h)) - g(f(x_0)) \\ = \; & b(f(x_0 + h) - f(x_0)) + o(f(x_0 + h) - f(x_0)) \\ = \; & b(ah + o(h)) + o(ah + o(h)) \\ = \; & bah + o(h), \quad h\to 0 \eal \]
$\square$

证明中不严谨的地方：$v\to 0$ 要求 $v\neq 0$，但 $f(x_0 + h) - f(x_0)$ 可能为 $0$。

解决方法：当 $v = 0$ 时，$g(y_0 + v) - g(y_0) - bv = 0 = o(0)$，等式依然成立。

例 $6$

$\cos x$ 的微分。

解

\[\d \cos x(h) = (\d \sin) \l(\frac \pi 2 - x\r) \l(\d \l(\frac \pi 2 - x\r)(h)\r) = \cos(\frac \pi 2 - x)(-1) h = -\sin x \cdot h \]

例 $7$

$a ^ x$ 的微分。

解

\[\d a ^ x(h) = \d \l(\e ^ {x\ln a}\r) (h) = \e ^ {x \ln a} \ln a\cdot h = a ^ x\ln a \cdot h \]

反函数微分

设 $f$ 有连续反函数，$f$ 在 $x_0$ 处可微且 $f'(x_0)\neq 0$，则 $f ^ {-1}$ 在 $y_0 = f(x_0)$ 处可微，且

\[\d(f ^ {-1})(y_0) = (\d f(x_0)) ^ {-1} \]

证明

\[y - y_0 = a(x - x_0) + o(x - x_0), \quad x\to x_0 \]
于是

\[x - x_0 = \frac 1 a(y - y_0) + o(y - y_0), \quad y\to y_0 \]
$\square$

例 $8$

$\ln x$ 的导数。

解

\[(\ln y)'_y = \frac {1} {(\e ^ x)'_x} = \frac 1 {\e ^ x} = \frac 1 y \]

例 $9$

$x ^ \mu$ 的导数。

解

\[(x ^ \mu)' = (\e ^ {\mu \ln x})'_x = \e ^ {\mu \ln x} \mu \frac 1 x = \mu x ^ {\mu - 1} \]

例 $10$

$\arcsin x$ 和 $\arccos x$ 的导数。

解

在 $(-\frac \pi 2, \frac \pi 2)$ 上 $(\sin x)' = \cos x \neq 0$。设 $y = \sin x$，则 $x = \arcsin y$。

\[(\arcsin y)_y' = \frac 1 {(\sin x)_x'} = \frac {1} {\cos x} = \frac {1} {\sqrt {1 - y ^ 2}} \]
另一种思路

$y = \arcsin x\iff x = \sin y$。等号两侧同时对 $x$ 求导，$1 = \cos y \cdot y'_x$。

于是

\[(\arcsin x)' = y'_x = \frac {1} {\cos y} = \frac {1} {\sqrt {1 - \sin ^ 2 y}} = \frac {1} {\sqrt {1 - x ^ 2}} \]
由 $\arccos x = \frac \pi 2 - \arcsin x$ 可知 $(\arccos x)' = - \frac {1} {\sqrt {1 - x ^ 2}}$。

四则运算（一）

设 $f, g$ 在 $x_0$ 处可微，则 $f + g, fg$ 在 $x_0$ 处可微，且

\[\bal (f + g)'(x_0) & = f'(x_0) + g'(x_0) \\ (fg)'(x_0) & = f'(x_0)g(x_0) + f(x_0)g'(x_0) \eal \]

第二行称为 Leibniz 公式。

证明

设 $f(x_0 + h) = f(x_0) + ah + o(h),\ g(x_0 + h) = g(x_0) + bh + o(h)$。

\[f(x_0 + h)g(x_0 + h) = f(x_0)g(x_0) + [f(x_0)b + g(x_0)a]h + o(h), \quad h\to 0 \]
$\square$

微分的形式不变性

如何理解 $f'(x) = \frac {\d y} {\d x},\ \d y = f'(x) \d x$：恒同映射 $\mathrm{id}$ 的函数值是 $x$ 自身。它是线性映射，其微分和它相等，$\d x(h) = h$。对 $y = f(x)$，$y$ 既代表函数值，又代表 $f$ 本身，于是

\[\d y(h) = \d f(x) (h) = f'(x)h = f'(x) \d x(h) \]

因此

\[\d y = f'(x) \d x = \frac {\d y} {\d x} \d x \]

如果 $y = y(u)$ 和 $u = u(x)$ 可微，则链索法则可写为

\[\frac {\d y} {\d x} = \frac {\d y} {\d u} \frac {\d u} {\d x} \]

写成微分即

\[\d y = \frac {\d y} {\d x} {\d x} = \frac {\d y} {\d u} \frac {\d u} {\d x} \d x = \frac {\d y} {\d u} \d u \]

无论 $y$ 作为变量 $x$ 的函数还是变量 $u$ 的函数，微分 $\d y$ 具有相同的形式 —— 微分的形式不变性。

反函数求导公式为

\[\frac {\d y} {\d x} = \frac 1 {\frac {\d x} {\d y}} \]

Leibniz 的符号体系方便初学者记忆，但也有很强的迷惑性。不要做经验主义的驴。

四则运算（二）

设 $f, g$ 在 $x_0$ 处可微，$g(x_0)\neq 0$，则 $f / g$ 在 $x_0$ 处可微，且

\[\l(\frac f g\r)'(x_0) = \frac {f'(x_0) g(x_0) - f(x_0)g'(x_0)} {g(x_0) ^ 2} \]

证明

\[\l(\frac 1 x\r)' = -\frac 1 {x ^ 2} \]
于是 $\frac f g$ 可以看成 $f \cdot h(g)$，其中 $h = \frac 1 x$。使用链索法则和 Leibniz 公式即得。$\square$

例 $11$

$\tan x$ 和 $\cot x$ 的导数。

解

\[\bal (\tan x)' & = \frac {(\sin x)'\cos x - (\cos x)'\sin x} {\cos ^ 2 x} = \frac {1} {\cos ^ 2 x} = 1 + \tan ^ 2 x = \sec ^ 2 x \\ (\cot x)' & = \frac {(\cos x)'\sin x - (\sin x)'\cos x}{\sin ^ 2x} = -\frac {1} {\sin ^ 2 x} = -1 - \cot ^ 2x = -\csc ^ 2 x \eal \]
改除为乘（隐函数求导）

$y \cos x = \sin x$，于是

\[y'\cos x - y\sin x = \cos x \\ \implies y' = 1 + y\tan x = 1 + \tan ^ 2 x \]

以上运算性质的重要之处在于它提供了可微性的保证。

例 $12$

$\arctan x$ 的导数。

解

$y = \arctan x$，于是 $x = \tan y$，则

\[1 = (1 + \tan ^ 2 y) y'_x = (1 + x ^ 2)y'_x \]
因此

\[(\arctan x)' = \frac {1} {1 + x ^ 2} \]

例 $13$（对数求导法）

$u, v, w, z$ 都是关于 $x$ 的可微函数，求 $\frac {u ^ v w}{z ^ 2}$ 的导数。

解

记 $y = \frac {u ^ v w} {z ^ 2}$，取对数

\[\ln |y| = v\ln |u| + \ln |w| - 2\ln |z| \]
对 $x$ 求导

\[\frac {y'} y = \frac {vu'} u + v'\ln u + \frac {w'} w - \frac {2z'} z \]
所以

\[y' = \frac {u ^ v w} {z ^ 2} \l(\frac {vu'} u + v'\ln u + \frac {w'} w - \frac {2z'} z \r) \]

对数求导法的本质是 $(\ln |x|)' = \frac 1 x$。对 $y = y(x)$，有 $|y| = |y(x)|$。将绝对值下放至每一项乘积因子，再求导，可保证每一项非负。需要特殊讨论 $y = 0$ 的情况。

初等函数都是可微函数。

曲线

定义

设 $\bf x(t) = (x_1(t), \cdots, x_n(t))\ (a\leq t\leq b)$，其中每个 $x_k : [a, b]\to \R$ 连续，在 $(a, b)$ 内可微，$x'_k(t)$ 连续。此时称 $\bf x(t)$ 为 $\R ^ n$ 中一条 光滑曲线。

若对任意 $t\in [a, b]$，$x'_k(t)$ 不全为 $0$，则称为 正则光滑曲线。

称 $\bf x'(t_0) = (x_1'(t_0), \cdots, x_n'(t_0))$ 为曲线在 $\bf x(t_0)$ 处的 切向量。$\bf v = \lim_{t\to t_0} \fr {\bf x(t) - \bf x(t_0)} {t - t_0}$，对一元映射也可以定义微分和导数。

称 $\bf x = \bf x(t_0) + \bf x'(t_0) s\ (s\in \R)$ 为曲线在 $\bf x(t_0)$ 处的切线。

与切向量正交的向量 $\bf n\in \R ^ n$ 称为曲线在 $\bf x(t_0)$ 处的一个 法向量。

称 $\bf x = \bf x(t_0) + s\bf n\ (s\in \R)$ 为曲线在 $\bf x(t_0)$ 处的一条法线。

空间中的直线方程

过点 $A$，方向为 $\bf v$ 的直线：

\[\bal & P - A = s\bf v, \quad s\in \R \\ & \fr {x_1 - a_1} {v_1} = \cdots = \fr {x_n - a_n} {v_n} \eal \]

称为 点向式方程。在比例关系中，若 $v_k = 0$，则 $x_k = a_k$。

过点 $A, B$ 的直线：

\[\bal & (P - A) = s(B - A), \quad s\in \R \\ & \fr {x_1 - a_1}{b_1 - a_1} = \cdots = \fr {x_n - a_n}{b_n - a_n} \eal \]

称为 两点式方程。

例 $14$

可微函数的图像是一条光滑曲线。

解

$(x(t), y(t))' = (1, f'(t))$ 不是零向量。

切线：$y = f(t_0) + f'(t_0)(x - t_0) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$。

法向量：$(f'(t_0), -1)$。

法线：$\fr {x - x_0} {f'(x_0)} = \fr {y - y_0} {-1}$，即 $f'(x_0)(y - f(x_0)) + (x - x_0) = 0$。

例 $15$

$\sqrt x$ 不是可微函数，但 $y = \sqrt x$ 是一条光滑曲线。

例 $16$

在原点处与抛物线 $y = x ^ 2$ 有共同切线的圆中，哪一个与抛物线最接近？

解

切线为 $x$ 轴，圆心在 $y$ 轴上，设圆方程为 $x ^ 2 + (y - c) ^ 2 = c ^ 2$。

\[y = c - \sqrt {c ^ 2 - x ^ 2} = c\l[1 - \l(1 - \fr 1 2\fr {x ^ 2} {c ^ 2} + o(x ^ 2)\r)\r] = \fr {x ^ 2} {2c} + o(x ^ 2) \]
解得 $c = \fr 1 2$。因此 $x ^ 2 + (y - \fr 1 2) ^ 2 = \fr 1 4$ 和 $y = x ^ 2$ 在原点附近最接近。

定义圆的曲率为其半径的倒数。光滑曲线在一点处的曲率为密切圆的曲率。

如何计算密切圆？圆心在法线上，且圆的任何两条直径交于圆心。在当前点的附近取法线，和当前点的法线求交点，取极限。只在二维时有用。

例 $17$

计算圆 $x ^ 2 + y ^ 2 = 1$ 的切线。

解

圆的参数方程为 $x(\t) = \cos \t,\ y(\t) = \sin \t$。切线方程

\[\bc x = x(\t) + sx'(\t) = x_0 - sy_0 \\ y = y(\t) + sy'(\t) = y_0 + sx_0 \ec \implies x_0(x - x_0) + y_0(y - y_0) = 0 \implies x_0x + y_0y = 1 \]
另解

圆的参数方程为 $x(t) = \fr {1 - t ^ 2} {1 + t ^ 2},\ y(t) = \fr {2t} {1 + t ^ 2}$。

108 高阶导数

内容：

高阶导数的定义。
高阶导数的计算。
高阶导数的应用。

运算性质

四则运算（一）

\[\bal (\la f + \mu g) ^ {(n)}(x_0) & = \la f ^ {(n)}(x_0) + \mu g ^ {(n)}(x_0) \\ (fg) ^ {(n)}(x_0) & = \sum_{k = 0} ^ n \binom n k f ^ {(k)} (x_0) g ^ {(n - k)}(x_0) \eal \]

证明即归纳。

复合函数

设 $f$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微，$g$ 在 $y_0 = f(x_0)$ 处 $n$ 阶可微，则 $g\circ f$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微。

证明

对 $n$ 做数学归纳。假设 $n$ 时结论成立，设 $f$ 在 $x_0$ 处，$g$ 在 $y_0$ 处 $n + 1$ 阶可微。则 $f', g'$ 在 $x_0, y_0$ 处 $n$ 阶可微。根据归纳假设，$g'\circ f$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微，于是 $(g' \circ f) \cdot f$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微。由链索法则 $(g \circ f)'(x) = g'(f(x))f'(x)$，所以 $(g\circ f)'$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微。$\square$

$(g\circ f) ^ {(n)}$ 是关于 $f', f'', \cdots, f ^ {(n)}, g'\circ f, g'' \circ f, \cdots, g ^ {(n)} \circ f$ 的多项式。

复合函数的高阶导数公式（Faa di Bruno）

\[(g\circ f) ^ {(n)}(x) = \sum_{\sum i\cdot m_i = n} \fr {n!} {m_1!m_2! \cdots m_n!} \cdot g ^ {(m_1 + \cdots + m_n)}(f(x)) \cdot \prod_{j = 1} ^ n\l(\fr {f ^ {(j)}(x)} {j!}\r) ^ {m_j} \]

当内层是一次函数时，$(g(ax + b)) ^ {(n)} = g ^ {(n)}(ax + b)a ^ n$。

四则运算（二）

设 $f, g$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微，且 $g(x_0)\neq 0$，则 $f / g$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微。

例 $1$

$y = \fr 1 {1 + x ^ 2}$ 的高阶导数。

解（一）

\[(1 + x ^ 2) y = 1 \]
\[(1 + x ^ 2) y ^ {(n)} + n \cdot 2xy ^ {(n - 1)} + n(n - 1) y ^ {(n - 2)} = 0 \]
得到递推关系

\[y ^ {(n)} = - \fr {2xny ^ {(n - 1)}} {1 + x ^ 2} - \fr {n(n - 1) y ^ {(n - 2)}} {1 + x ^ 2} \]
解（二）

\[y = \fr 1 {2\i} \l(\fr 1 {x - \i} - \fr 1 {x + \i}\r) \]
\[y ^ {(n)} = \fr 1 {2\i} \l(\fr {n! (-1) ^ n} {(x - \i) ^ {n + 1}} - \fr {n!(-1) ^ n} {(x + \i) ^ {n + 1}} \r) = \fr {n!(-1) ^ n} {2\i} \fr {(x + \i) ^ {n + 1} - (x - \i) ^ {n + 1}} {(1 + x ^ 2) ^ {n + 1}} \]

反函数

设 $f$ 在区间 $I$ 上 $n$ 阶可微且 $f'(x)\neq 0$（此时 $f$ 在 $I$ 上有连续的反函数），则 $f ^ {-1}$ 在区间 $f(I)$ 上 $n$ 阶可微。

证明

\[(f ^ {-1})' = \fr 1 {f'\circ f ^ {-1}} \]
归纳即可。$\square$

推论：所有初等函数都是 $\scr C ^ {\infty}$ 函数。

例 $2$

推导反函数的二阶导数公式。

解

\[\fr {\d ^ 2 x} {\d y ^ 2} = \dd {} y \l(\dd x y\r) = \dd {} x \l(\fr 1 {\dd y x}\r) \dd x y = \fr {-\fr {\d ^ 2y} {\d x ^ 2}} {\l(\dd y x\r) ^ 2} \fr {1} {\dd y x} = \fr {-y''} {(y') ^ 3} \]

对于写不出表达式的反函数，对反函数求导可以求出反函数在某点处的任意阶导数，得到 Taylor 展开的近似。如 $x(t) = t - \eps \sin t$。

应用

参数方程的高阶导数

设平面曲线 $(x(t), y(t))$ 二阶可微。若 $x'(t)\neq 0$，则存在 $\scr C ^ 2$ 的反函数 $t = t(x)$，从而 $(x, y(t(x)))$ 是以 $x$ 为自变量的函数图像。

\[\dd y x = \dd y t \dd t x = \fr {\dd y t} {\dd x t} \]

\[\frac {\d ^ 2 y} {\d x ^ 2} = \fr 1 {\dd x t} \dd {}t\l(\fr {\dd y t} {\dd x t}\r) = \fr {1} {x'(t)} \l(\fr {y''(t)x'(t) - y'(t)x''(t)} {(x'(t)) ^ 2}\r) = \frac {\l | \begin{matrix} x'(t) & x''(t) \\ y'(t) & y''(t) \end{matrix} \r |} {(x'(t)) ^ 3} \]

曲线的曲率

\[\kappa = \fr {\abs {\det\bpm x'(t) & x''(t) \\ y'(t) & y''(t) \epm}}{\l[\sqrt {(x'(t)) ^ 2 + (y'(t)) ^ 2} \r] ^ 3} \]

在现有工具下推导较复杂。

从物理的角度看，$\bf v = \bpm x'(t) \\ y'(t) \epm$，$\bf a = \bpm x''(t) \\ y''(t) \epm$，$\fr {\det (\bf v, \bf a)} {\|\bf v\|}$ 是 $\bf v, \bf a$ 形成的平行四边形以 $\bf v$ 为底边的高，即法向加速度 $\bf a ^ {\perp}$ 的大小。得到 $\kappa = \fr {\|\bf a ^ \perp\|} {\|\bf v\| ^ 2}$.

从量纲的角度看，$\kappa$ 的量纲为 $L ^ {-1}$。因此它与时间无关，反映了运动的几何性质。对任意维度的空间曲线 $\bf x(t)$，$\kappa = \fr {\abs {\det (\bf x'(t), \bf x''(t))}} {\|\bf x'(t)\| ^ 3}$ 与曲线的参数表达无关，反映了曲线的几何性质，是曲线的曲率。

如何计算 $\det(\bf u, \bf v)$（高维空间中 $\bf u, \bf v$ 形成的平行四边形面积）？使用向量内积：

\[\sqrt {\det\bpm \an {\bf u, \bf u} & \an {\bf u, \bf v} \\ \an {\bf v, \bf u} & \an {\bf v, \bf v }\epm} \]

于是高维空间中曲率的计算公式

\[\kappa = \fr {\| \bf a ^ \perp \|} {\| \bf v \| ^ 2} = \fr {\| \bf x''(t) - \fr {\an {\bf x''(t), \bf x'(t)}}{\an {\bf x'(t), \bf x'(t)}}\bf x'(t)\|} {\| \bf x'(t)\| ^ 2} \]

109 微分中值定理

微分中值定理是连接导数的微观性质和函数的宏观性质的桥梁。

内容：

极值和驻点，Fermat 引理。
微分中值定理，Rolle-Cauchy-Lagrange。
应用：函数的单调性。
应用：用导数判断极值。

定理介绍

极值点和驻点

称 $x_0\in I$ 为 $f$ 的 极大值点，若存在 $x_0$ 的邻域 $V$ 使得 $\forall x\in V\cap I,\ f(x)\leq f(x_0)$。类似定义极小值点。

称 $x_0\in I$ 为 $f$ 的 临界点（驻点），若 $f'(x_0) = 0$。

导数与单调性（一）

若可微函数 $f$ 在 $(a, b)$ 上单调不减，$\forall x_0\in (a, b)$，根据极限的保号性，$f'(x_0)\geq 0$。因此，若 $f'(x_0) < 0$，则 $f$ 在 $x_0$ 的任意邻域内都不是单调不减，且存在 $\delta > 0$ 使得

\[x_0 - \de < x_1 < x_0 < x_2 < x_0 + \de \implies \fr {f(x_1) - f(x_0)} {x_1 - x_0} < 0,\ \fr {f(x_2) - f(x_0)} {x_2 - x_0} < 0 \]

于是

\[f(x_1) > f(x_0) > f(x_2) \]

即 $x_0$ 不是 $f$ 的极值点。

考虑

\[f(x) = \begin{cases} x + Ax ^ 2\sin \frac 1 x, & x\neq 0; \\ 0, & x = 0. \end{cases} \]

\[f'(x) = \begin{cases} 1 + 2Ax\sin \frac 1 x - A\cos \frac 1 x, & x\neq 0; \\ 1, & x = 0. \end{cases} \]

当 $A > 1$ 时，$f'(\frac {\pm 1}{2k\pi}) = 1 - A < 0$，$f$ 在 $0$ 的任意邻域内非严格增。因此，$f'(x) > 0$ 不能说明 $f$ 在 $x$ 的邻域内单调不减。$x ^ 2 \sin \frac 1 x$ 常用于构造反例。

总结：（严格）单调则导数有对应（严格）符号。导数有对应符号则不一定单调。

Fermat 引理

设 $f$ 在极值点 $x_0$ 处可微，则 $x_0$ 是 $f$ 的临界点。

证明

若 $f'(x_0) \neq 0$，则 $x_0$ 的任意邻域中，$f(x_0)$ 都不是最大值或最小值，$x_0$ 不是 $f$ 的极值点。$\square$

Rolle 定理

设 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可微，且 $f(a) = f(b)$，则存在 $\xi\in (a, b)$ 使得 $f'(\xi) = 0$。

推广的 Rolle 定理

设 $-\infty \leq a < b \leq +\infty$，$f$ 在 $(a, b)$ 内可微，且

\[\lim_{x\to a ^ +} f(x) = \lim_{x\to b ^ -} f(x) = A \in \R \cup \{\pm\infty\} \]
则存在 $\xi \in (a, b)$ 使得 $f'(\xi) = 0$。

证明

假设存在 $x_0$ 使得 $f(x_0) \neq A$，否则 $f$ 为常值函数，结论成立。

不妨设 $f(x_0) < A$，则存在 $a < x_1 < x_0 < x_2 < b$ 使得 $f(x_1) > f(x_0)$，$f(x_2) > f(x_0)$。

因为 $f$ 可微，所以 $f$ 连续，于是 $f$ 在有界闭区间 $[x_1, x_2]$ 上有最小值 $f(\xi)$，且 $\xi \in (x_1, x_2)$。于是 $\xi$ 是可微极值点。根据 Fermat 引理，$f'(\xi) = 0$。$\square$

Cauchy 微分中值定理

设 $-\infty \leq a \leq b \leq +\infty$，$\a, \b, A, B\in \R$，$f, g$ 在开区间 $(a, b)$ 内可微，且 $f$ 在 $a ^ +$ 和 $b ^ -$ 处的极限分别为 $\a, \b$，$g$ 在 $a ^ +$ 和 $b ^ -$ 处的极限分别为 $A, B$，则存在 $\xi\in (a, b)$ 使得

\[f'(\xi)(B - A) = g'(\xi) (\b - \a) \]

证明

令

\[F(x) = (f(x) - \a)(B - A) - (g(x) - A)(\b - \a) \]
则 $F$ 在 $(a, b)$ 内可微且 $\lim_{x\to a ^ +} F(x) = \lim_{x\to b ^ -} F(x) = 0$。由 Rolle 定理得证。$\square$

这里 $\a, \b, A, B$ 都是极限而非函数的具体取值，这使得它的适用范围更广，如 L’ Hopital 法则的正确性证明。

Cauchy 微分中值定理的传统形式要求 $f, g$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可微且 $g'(x) \neq 0$，则存在 $\xi \in (a, b)$ 使得

\[\fr {f'(\xi)} {g'(\xi)} = \fr {f(b) - f(a)} {g(b) - g(a)} \]

Lagrange 微分中值定理

设 $f$ 在 $[a, b] $ 上连续，在 $(a, b)$ 内可微，则存在 $\xi \in (a, b)$ 使得

\[f'(\xi) = \frac {f(b) - f(a)} {b - a} \]

证明

取 $g(x) = x$，使用 Cauchy 微分中值定理即可。$\square$

Lagrange 中值定理也可以写成极限的形式。

总结

Cauchy 中值定理是 Lagrange 中值定理的参数方程形式。Lagrange 中值定理将 Rolle 定理水平化斜，且最常用。

微分中值定理的几何解释：可微曲线上任意两点之间存在切线与这两点所连的弦平行的点。

在任意一段平面运动过程中，存在速度与总位移平行的时刻。
对于参数曲线 $\begin{cases} x = t ^ 3 \\ y = t ^ 2 \end{cases}$，曲线图像形如 $\curlyvee$，此时 Cauchy 中值定理还有效吗？$x'(0) = y'(0) = 0$。几何切线与速度向量不一定相同。
Cauchy 微分中值定理的几何解释只适用于平面曲线，不适用于空间曲线。

应用

导数与单调性（二）

设 $f$ 在区间 $I$ 上连续，在 $I$ 内可微，则：

$\forall x\in I, f'(x) \geq 0\iff$ $f$ 在 $I$ 上单调不减。
$\forall x\in I, f'(x) = 0\iff $ $f$ 在 $I$ 上为常值。
$\forall x\in I, f'(x) > 0\ \ {\color {red}\implies} $ $f$ 在 $I$ 上严格增。

导数的非严格符号等价于函数的非严格单调性，但只能从导数的严格符号推出函数的严格单调性，反之则不行。反例：$f(x) = x ^ 3$。

例 $1$

讨论函数 $f(x) = (1 + \frac 1 x) ^ {x + a}$ 的单调性。

解

定义域 $(-\infty, -1)\cup (0, +\infty)$。

以 $\e$ 为底换掉指数上的 $x$，即令 $f(x) = \e ^ {g(x)}$，则 $g(x) = (x + a)\ln(1 + \frac 1 x) $ 且 $f, g$ 单调性相同。

\[g'(x) = \ln(1 + \frac 1 x) + (x + a)\left(\frac {1}{x + 1} - \frac 1 {x}\right) \]
一阶导数较复杂，求二阶导。

\[g''(x) = \frac {(2a - 1) x + a} {x ^ 2(x + 1) ^ 2} \]
若 $a = \frac 1 2$，则 $g''(x) > 0$，$g'(x)$ 在定义域的每个区间上 是严格增函数。计算得 $g'(\pm \infty) = 0$，于是 $g'$ 在 $(-\infty, -1)$ 上大于 $0$，在 $(0, +\infty)$ 上小于 $0$。因此 $g$ 在 $(-\infty, -1)$ 上严格增，$f$ 从 $\e$ 增加到 $+\infty$；在 $(0, +\infty)$ 上严格减，$f$ 从 $+\infty$ 减小到 $\e$。

$a \neq \frac 1 2$ 的情况留作练习。

讨论单调性时需要写单调区间和值域范围。

例 $2$

求参数 $a, b$ 的范围，使得对任意 $x > -1$ 且 $x\neq 0$，都有 $\frac {x} {1 + ax} < \ln(1 + x) < \frac {x} {1 + bx}$。

解

研究 $f_a(x) = \ln(1 + x) - \frac {x}{1 + ax}$ 恒为正或恒为负。

\[f_a'(x) = \fr {x[a ^ 2(x + 1) - (a - 1) ^ 2]} {(x + 1) (1 + ax) ^ 2} \]
当 $a = 0$ 时，$f_0'(x) = \frac {-x} {1 + x}$，在 $(-1, 0)$ 上大于 $0$，$f$ 单调增；在 $(0, +\infty)$ 上小于 $0$，$f$ 单调减。因为 $f_0(0) = 0$，所以对任意 $x > -1$ 且 $x\neq 0$ 都有 $f_0(x) < 0$。

当 $a = 1$ 时，$f_1'(x) = \fr {x} {(1 + x) ^ 2}$，在 $(-1, 0)$ 上小于 $0$，$f$ 单调减，在 $(0, +\infty)$ 上大于 $0$，$f$ 单调增。因为 $f_1(0) = 0$，所以对任意 $x > -1$ 且 $x\neq 0$ 都有 $f_1(x) > 0$。

当 $a\neq 0$ 且 $a\neq 1$ 时，$f_a((-1) ^ +) = -\infty$，$f_a(+\infty) = +\infty$，$f_a$ 变号。

综上，$a = 1$，$b = 0$，得到不等式

\[\fr {x} {1 + x} < \ln(1 + x) < x \]

用导数研究原函数单调性，原函数越简单越好。尽量让 $\ln x$ 单独出现，求导后变成有理函数，方便讨论。

Darboux 定理

设 $f$ 在区间 $I$ 上可微，则 $f'(I)$ 是区间。

证明

设 $f'(x_1) < f'(x_2)$。不妨设 $x_1 < x_2$，则 $\forall c\in (f'(x_1), f'(x_2))$：设 $g(x) = f(x) - cx$，则 $g'(x_1) < 0 < g'(x_2)$，于是 $x_1, x_2$ 不是极小值点。$g$ 在 $[x_1, x_2]$ 上有最小值点 $\xi\in (x_1, x_2)$，根据 Fermat 引理，$g'(\xi) = 0$，此时 $f'(\xi) = c$。$\square$

推论

若 $f$ 在区间 $I$ 上可微且 $f'(x)\neq 0$，则 $f$ 在 $I$ 上严格单调。

导函数有 介值性。但导函数 不一定连续。反例：

\[f(x) = \begin{cases} x ^ 2\sin \frac 1 x, & x\neq 0; \\ 0, & x = 0. \end{cases} \]

该例中 $f'$ 不连续，但 $f'$ 仍具有介值性。函数的导函数不存在第一类间断点。

导数与极值（一）

设 $f$ 在 $x_0$ 处可微，$f'(x_0) = 0$。

若 $f''(x_0) > 0$，则 $x_0$ 是 $f$ 的严格极小值点；

若 $f''(x_0) < 0$，则 $x_0$ 是 $f$ 的严格极大值点。

证明

因为 $f''(x_0)$ 存在，所以 $f$ 在 $x$ 的邻域 $V$ 中一阶可微。

对任意 $y, z\in V$ 且 $y < x_0 < z$，都有 $f'(y) < 0 < f'(z)$，于是 $f$ 在 $x_0$ 左侧邻域严格减，在 $x_0$ 右侧邻域严格增，$f$ 在 $x_0$ 处取到极小值。$\square$

二阶导数的正负性结合 $f'(x_0) = 0$ 推出一阶导数在 $x_0$ 两侧的正负性，再根据导数与单调性的关系推出原函数在 $x_0$ 两侧的单调性。如何记忆：$f(x) = ax ^ 2$。

导数与极值（二）

设 $f$ 在 $x_0$ 处 $2n$ 阶可微，$n\in \N ^ *$，且 $\forall i\in [1, 2n - 1]$，$f ^ {(i)}(x_0) = 0$。

若 $f ^ {(2n)}(x_0) > 0$，则 $x_0$ 是 $f$ 的严格极小值点；

若 $f ^ {(2n)}(x_0) < 0$，则 $x_0$ 是 $f$ 的严格极大值点。

证明

对 $n$ 作数学归纳，$n = 1$ 时成立。

假设 $n$ 时成立，且满足 $n + 1$ 的条件，不妨设 $f ^ {(2n + 2)}(x_0) > 0$，则由归纳假设知 $f''$ 在 $x_0$ 处取极小值。而 $f''(x_0) = 0$，所以 $f''$ 在 $x_0$ 的去心邻域内恒正。因此 $f'$ 在 $x_0$ 左侧严格单调增至 $0$，在 $x_0$ 右侧从 $0$ 开始严格单调增，于是 $f$ 在 $x_0$ 左侧严格单调减，在 $x_0$ 右侧严格单调增，$x_0$ 是严格极小值点。$\square$

推论

将上述定理中的 $2n$ 改为 $2n + 1$（奇数）。

若 $f ^ {(i)}(x_0) = 0,\ \forall i\in [1, 2n]$ 且 $f ^ {(2n + 1)}(x_0) \neq 0$，则 $x_0$ 一定不是 $f$ 的极值点，且 $f$ 在 $x_0$ 的某个邻域内有严格单调性。注意 $n = 0$ 时不成立。

考虑

\[f(x) = \bc \e ^ {-\frac {1} {|x|}} \l(0.1 + \sin ^ 2 \frac 1 x\r), & x\neq 0; \\ 0, & x = 0. \ec \]

在 $x = 0$ 取严格极小值，但 $\forall n\in \N,\ f ^ {(n)}(0) = 0$，且 $x = 0$ 左右两侧函数都不单调。

椭圆的光学性质

在均匀介质中，从 $(-c, 0)$ 发出的所有光线经曲线 $(x(s), y(s))$ 反射后都汇聚到点 $(c, 0)$，求曲线方程。

\[T(s) = \sqrt {(x(s) - c) ^ 2 + y(s) ^ 2} + \sqrt {(x(s) + c) ^ 2 + y(s) ^ 2} \]

根据费马原理，光沿最省时间的路径传播，于是 $T'(s) = 0$，即 $T(s)$ 是常数。因此曲线是椭圆。

折射定律

光线从 $(0, y_1)$ 出发经交界面 $x$ 轴上的点 $(x, 0)$ 到点 $(x_2, y_2)$，用时

\[T(x) = \fr {\sqrt {x ^ 2 + y_1 ^ 2}} {v_1} + \fr {\sqrt {(x - x_2) ^ 2 + y_2 ^ 2}} {v_2} \]

\[T'(x) = \fr {x} {v_1 \sqrt {x ^ 2 + y_1 ^ 2}} + \fr {x - x_2} {v_2\sqrt {(x - x_2) ^ 2 + y_2 ^ 2}} \]

\[T''(x) = \fr {y_1 ^ 2} {v_1 (x ^ 2 + y_1 ^ 2) ^ {\fr 3 2}} + \fr {y_2 ^ 2} {v_2 ((x - x_2) ^ 2 + y_2 ^ 2) ^ {\fr 3 2}} > 0 \]

于是 $T'$ 严格增，且

\[T'(\pm \infty) = \pm\l(\fr 1 {v_1} + \fr 1 {v_2}\r) \]

因此 $T'$ 有唯一零点 $x_*$，对应 $T$ 的唯一最小值点。

根据

\[0 = T'(x_*) = \fr {x_*}{v_1 \sqrt {x_* ^ 2 + y_1 ^ 2}} + \fr {x_* - x_2} {v_2\sqrt {({x_*} - x_2) ^ 2 + y_2 ^ 2}} = \fr {\sin \t_1} {v_1} - \fr {\sin \t_2} {v_2} \]

得 Snell 折射定律

\[\fr {\sin \t_1} {v_1} = \fr {\sin \t_2} {v_2} \]

最速降线问题

由机械能守恒得 $v = \sqrt {2gy}$。

变速运动最省时间的路径服从折射定律 $\frac {\sin \theta} v = C$，而 $y'_x = \cot\theta$，且 $1 + \cot ^ 2\theta = \frac {1} {\sin ^ 2\theta} = \frac {1} {C ^ 22gy}$，于是 $y$ 满足微分方程 $y[1 + (y_x') ^ 2] = A$。

验证摆线 $\bc x = \frac A 2(\t - \sin \t) \\ y = \fr A 2(1 - \cos \t) \ec$ 是解。

110 函数的凹凸性

内容：

凸函数与凹函数的概念。
用导数判断函数的凹凸性。
凸函数的连续性与可微性。
凸函数的最值，曲线的凸性。
凸函数与不等式。

性质与应用

连续性和可微性

凸函数没有保证连续，所以需要研究它们的连续性与可微性。

设 $f$ 是凸函数，$x_1 < x_2 < x_3$。设 $g_k(x) = \frac {f(x) - f(x_k)} {x - x_k}$，因为

\[\fr {f(x_2) - f(x_1)} {x_2 - x_1} \leq \fr {f(x_3) - f(x_1)} {x_3 - x_1} \leq \fr {f(x_3) - f(x_2)} {x_3 - x_2} \]

所以 $g_1(x)$ 在 $x_1$ 右侧单调不减，$g_2(x)$ 在 $x_2$ 右侧的值比它在 $x_2$ 左侧的值大，$g_3(x)$ 在 $x_3$ 左侧单调不减。根据单调有界收敛定理，凸函数在非端点两侧一定有单侧切线，该点左连续且右连续，凸函数连续。

设 $g(x) = \fr {f(x) - f(x_0)} {x - x_0}$，则

\[\lim_{x\to x_0 ^ +} g(x) = f'_+(x_0),\ \lim_{x\to x_0 ^ -} g(x) = f'_-(x_0) \]

可知 $f'_-(x_0) \leq f'_+(x_0)$。

对 $x_1 < x_2$ 有

\[f_-'(x_1) \leq f_+'(x_1) \leq f_-'(x_2) \leq f_+'(x_2) \]

可知 $f'_-$ 和 $f'_+$ 单调不减，且

若 $f'_+$ 在 $x_2$ 处连续，则 $f_-'(x_2) = f_+'(x_2)$，$f$ 在 $x_2$ 处可导；
若 $f'_-$ 在 $x_1$ 处连续，则 $f'_-(x_1) = f'_+(x_1)$，$f$ 在 $x_1$ 处可导。

因为单调函数的间断点至多有可数无穷个，所以除去一个至多可数无穷集，$f$ 在 $I$ 上处处可导。

最值性

若 $x_0$ 是可微凸函数 $f$ 的临界点，则 $x_0$ 是 $f$ 的最小值点。若 $f$ 严格凸，则 $x_0$ 是 $f$ 的严格最小值点。

更一般的结论：

定理

若凸函数 $f$ 可微，则 $y = f(x)$ 位于它在任意 $x_0$ 处的切线的上方。

\[f(x) \geq f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0),\ \forall x \]
若 $f$ 严格凸，则取等当且仅当 $x = x_0$。

证明

令 $g(x) = f(x) - f(x_0) - f'(x_0)(x - x_0)$，则 $g$ 是可微凸函数且 $g(x_0) = g'(x_0) = 0$。$\square$

上述定理可加强为仅要求 $f$ 在 $x_0$ 处可微。

例 $3$

证明 $\e ^ x > x + 1,\ \forall x\neq 0$。

证明

$\e ^ x$ 在 $x = 0$ 处的切线为 $x + 1$，而 $\e ^ x$ 严格凸，于是 $\e ^ x > x + 1,\ \forall x\neq 0$。$\square$

例 $4$

求曲线 $y = \frac {2x ^ 2} {x + 1}$ 的渐近线。

解

当 $x \to -1$ 时有渐近线 $x = -1$。

当 $x\to \infty$ 时

\[\frac {2x ^ 2} {x(1 + \frac 1 x)} = 2x\l[1 - \frac 1 x + o\l(\frac 1 x\r)\r] = 2x - 2 + o(1) \]
于是渐近线为 $y = 2x - 2$。

此时渐近线像函数在无穷远处的切线，再根据凹凸性可知右侧分支永远在渐近线上方，左侧分支永远在渐近线下方。

Newton 法的全局收敛性

设凸函数 $f$ 在 $(a, b)$ 上可微且 $f'(x) > 0$。若 $f(a) < 0 < f(b)$，则 $\forall x_0\in (a, b)$，只要 $f(x_0) > 0$，Newton 迭代

\[x_{n + 1} = x_n - \frac {f(x_n)} {f'(x_n)} \]

收敛到 $f$ 的唯一零点。

证明

$x_n$ 单调递减收敛至 $x ^ *$，$f'(x_n)$ 单调不增且有下界 $f'(x ^ *)$，因此有极限 $\beta \geq f'(x ^ *)$。此时

\[f(x ^ *) = \lim_{n\to +\infty} f(x_n) = \lim_{n\to +\infty} f'(x_n)(x_n - x_{n + 1}) = \beta \cdot 0 = 0 \]
$\square$

\[\abs {x_{n + 1} - x ^ *} = \abs {x_n - x ^ * - \fr {f(x_n)} {f'(x_n)}} = \abs {x_n - x ^ *} \abs {1 - \fr {f'(\xi_n)} {f'(x_n)}} \]

其中 $\xi_n \in (x ^ *, x_n)$ 且 $f'(\xi_n)(x_n - x ^ *) = f(x_n) - f(x ^ *) = f(x_n)$。在 $n\to +\infty$ 的过程中，$x_n\to (x ^ *) ^ +$，于是 $f'(\xi_n)$ 和 $f'(x_n)$ 都趋于 $f'(x)$ 在 $x ^ *$ 处的右极限，因此收敛速度逐渐加快。

平面参数曲线

$(x(t), y(t))$ 是平面正则曲线（任意时刻 $x'(t)$ 和 $y'(t)$ 至少一个不为 $0$），设 $x'(t) \neq 0$，则

\[\frac {\d ^ 2 y} {\d x ^ 2} = \frac {\left | \begin{matrix} x'(t) & x''(t) \\ y'(t) & y''(t) \end{matrix} \right |} {x'(t) ^ 3} \]

当 $x'(t)$ 与上述行列式同号时，曲线下凸，否则上凸。当 $y'(t)$ 与上述行列式同号时，曲线右凸，否则左凸（$x, y$ 交换身份，行列式变号）。

曲线的拐点定义为平面曲线上凸性发生转换的点。

若 $f''(x)$ 在 $x ^ *$ 处变号，则 $f'$ 单调性发生改变，$x ^ *$ 是 $y = f(x)$ 的拐点。因此在 $y = f(x)$ 的拐点 $x ^ *$ 处若存在二阶导数，则 $f''(x ^ *) = 0$（$f''$ 是 $f'$ 的导函数，有介值性）。

不等式

Jesen 不等式

设 $f$ 是区间 $I$ 上的凸函数，则对任意 $x_1, x_2, \cdots, x_n \in I$ 以及任意正数 $t_1, t_2, \cdots, t_n$，

\[f\left(\frac {\sum t_ix_i} {\sum t_i}\right) \leq \frac {\sum t_if(x_i)} {\sum t_i} \]

若 $f$ 严格凸，则等号成立当且仅当所有 $x_i$ 相等。对 $n$ 做数学归纳法易证。

例 $5$

设 $a_1, a_2, \cdots, a_n > 0$ 不全相同，证明

\[f(x) = \left(\frac {\sum a_i ^ x} n\right) ^ \frac 1 x \]
是严格增函数。

证明

任取 $0 < x_1 < x_2$，则 $f(x_1) < f(x_2)$ 当且仅当

\[\left(\frac {\sum b_i} n\right ) ^ t\leq \frac {\sum b_i ^ t} n \]
其中 $t = \frac {x_2} {x_1}$，$b_k = a_k ^ {x_1}$。后者是 $x ^ t\ (x > 0, t > 1)$ 的 Jesen 不等式，而 $x ^ t$ 严格凸。

对于 $x_1 < x_2 < 0$，类似证明 $f(x_1) < f(x_2)$。

当 $x\to 0$ 时

\[\bal \ln f(x) & = \fr 1 x\ln\l(\fr {a_1 ^ x + \cdots + a_n ^ x} {n}\r) \\ & = \frac 1 x \ln(1 + x \fr {\ln a_1 + \cdots + \ln a_n} n + o(x)) & \l(a ^ x = 1 + x\ln a + o(x),\ x\to 0\r) \\ & = \fr {\ln a_1 + \cdots + \ln a_n} {n} + o(1) \eal \]
因此 $f(x)\to \sqrt [n]{a_1a_2\cdots a_n}$（几何平均），以它作为 $f(0)$ 的函数值，则 $f$ 连续。$\square$

例 $6$

设 $p_1 + p_2 + \cdots + p_n = q_1 + q_2 + \cdots + q_n = 1$。证明 $\sum p_i\ln q_i\leq \sum p_i\ln p_i$。

证明

左式减去右式，根据 $\ln$ 为凹函数使用 Jesen 不等式得

\[\sum p_i \ln \frac {q_i} {p_i} \leq \ln(\sum p_i\frac {q_i} {p_i}) = 0 \]
$\square$

$-\sum p_i\ln p_i$ 称为离散概率分布的熵，它是某种情况发生时其概率 $P$ 的 $-\ln P$ 的期望值。$n$ 个取值的离散分布的最大熵为 $\ln n$。

概率为 $0\leq p \leq 1$ 的事件发生时带来的惊喜程度为 $S(p)$，有

$S(1) = 0$（必然事件不产生惊喜），$S(0) = +\infty$（不可能事件欣喜若狂）。
$S(p_1p_2) = S(p_1) + S(p_2)$（两个独立事件同时发生，喜上加喜）。
$S(p)$ 关于 $p$ 单调减。

根据以上要求，$S(p) = -C\ln p$，规范化取 $C = 1$。

Holder 不等式

对正数 $a_1, \cdots, a_n; b_1, \cdots, b_n$ 以及 $p, q: \frac 1 p + \frac 1 q = 1$，有

\[\sum_{k = 1} ^ n a_kb_k \leq \left(\sum_{k = 1} ^ na_k ^ p\right) ^ {\frac 1 p} \left(\sum_{k = 1} ^ n b_k ^ q\right) ^ {\frac 1 q} \]

$p = q = 2$ 是 Cauchy-Schwarz 不等式。

证明

记 $c_k = \fr{b_k}{a_k ^ {p - 1}}$，则

\[\fr {\sum a_kb_k} {\sum a_k ^ p} = \fr {\sum a_k ^ p (c_k ^ q) ^ {\fr 1 q}} {\sum a_k ^ p} \leq \l(\fr {\sum a_k ^ p c_k ^ q} {\sum a_k ^ p}\r) ^ {\fr 1 q} = \l(\fr {\sum b_k ^ q} {\sum a_k ^ p}\r) ^ {\fr 1 q} \]
因此

\[\sum a_k b_k \leq \l(\sum a_k ^ p\r) ^ {1 - \fr 1 q} \l( \sum b_k ^ q\r) ^ {\fr 1 q} = \l(\sum a_k ^ p\r) ^ {\fr 1 p} \l(\sum b_k ^ q \r) ^ {\fr 1 q} \]
$\square$

Minkowski 不等式

对正数 $a_1, \cdots, a_n; b_1, \cdots, b_n$ 以及 $p\geq 1$，有

\[\left(\sum_{k = 1} ^ n(a_k + b_k) ^ p \right) ^ {\frac 1 p} \leq \left(\sum_{k = 1} ^ n a_k ^ p\right) ^ {\frac 1 p} + \left(\sum_{k = 1} ^ n b_k ^ p\right) ^ {\frac 1 p} \]

$p = 2$ 是 $\R ^ n$ 中的三角形不等式。

证明

记 $t = \left(\sum_{k = 1} ^ n a_k ^ p\right) ^ {\frac 1 p}$，$s = \left(\sum_{k = 1} ^ n b_k ^ p\right) ^ {\frac 1 p}$，$u_k = \frac {a_k ^ p} {t ^ p}$，$v_k = \frac {b_k ^ p} {s ^ p}$，则 $\sum_{k = 1} ^ n u_k = \sum_{k = 1} ^ n v_k = 1$。

要证明的不等式等价于

\[\sum_{k = 1} ^ n\left(\frac {u_k ^ {1 / p}t + v_k ^ {1 / p}s} {t + s}\right) ^ p \leq 1 \]
使用 Jesen 不等式即得。$\square$

Legendre 变换

设 $f$ 是区间 $I$ 上的可微严格凸函数，于是 $J = f'(I)$ 是区间且 $f'$ 严格单调。

$\forall u\in J$，存在唯一的 $x_u$ 使得 $f'(x_u) = u$，于是 $f(x) \geq f(x_u) + u(x - x_u)$。

记 $g(u) = \sup(xu - f(x)) = ux_u - f(x_u)$，称 $g: J\to \R$ 为 $f$ 的 Legendre 变换。则

\[f(x) + g(u) \geq ux,\ \forall x\in I,\ \forall u\in J \]

$g(u)$ 为对应切线在 $y$ 轴截距的相反数。

例 $7$

设 $p > 1$，求 $f(x) = \frac {x ^ p} p$ 的 Legendre 变换。

解

$f'(x) = x ^ {p - 1}$ 的值域为 $(0, +\infty)$，对任意 $u > 0$，由 $f'(x) = u$ 解得 $x_u = u ^ {\fr 1 {p - 1}}$。

于是 $g(u) = u ^ {\fr {p} {p - 1}} - \fr {u ^ {\fr p {p - 1}}} {p} = \fr {u ^ q} q$，其中 $q = \fr p {p - 1}$。可知 $q > 0$ 且 $\frac 1 p + \frac 1 q = 1$，得到 Young 不等式

\[\frac {x ^ p} {p} + \frac {u ^ q} {q} \geq ux,\ \forall x, u > 0 \]

111 L' Hopital 法则与 Taylor 公式

内容：

L' Hopital 法则。
Taylor 公式。
Taylor 公式的应用。

主要是在求未定型极限方面的应用。

L' Hopital 法则

不定型极限

引入无穷大和无穷小时，一些关于它们的四则运算不成立，如 $\fr {\infty} {\infty}, \fr {o(1)} {o(1)}, \infty \cdot o(1), \infty - \infty, o(1) ^ {o(1)}, \infty ^ {o(1)}$。这些运算大都可以归结到计算形如 $\frac {o(1)} {o(1)}$ 的极限。

L' Hopital $\frac {o(1)} {o(1)}$

设 $f(x) = o(1),\ x\to a$，$g(x) = o(1),\ x\to a$，$g'(x) \neq 0$。若

\[\lim_{x\to a} \frac {f'(x)} {g'(x)} = A \in\R \cup \{\pm\infty\} \]

则 $\lim_{x\to a} \frac {f(x)} {g(x)} = A$。其中 $a$ 可以是无穷远。

证明

Cauchy 中值定理。

L' Hopital $\frac {\mathrm{something}} {\infty}$

设 $g(x)\to \infty,\ x\to a$，$g'(x) \neq 0$。若

\[\lim_{x\to a} \frac {f'(x)} {g'(x)} = A \in\R \cup \{\pm\infty\} \]

则 $\lim_{x\to a} \frac {f(x)} {g(x)} = A$。

若 $f$ 有界，则极限为 $0$。注意 $f$ 无界 $\neq$ $f\to +\infty$，$f$ 可以来回震荡。趋于无穷一定无界，无界不一定趋于无穷。

证明

不妨设 $\lim_{x\to a ^ -} g(x) = +\infty$，$g'(x) > 0$。任取 $A_1 < A_3 < A < A_4 < A_2$，存在 $a$ 的去心邻域 $W$ 使得对任意 $x\in W$，$\fr {f'(x)} {g'(x)} \in (A_3, A_4)$，于是 $f - A_4g$ 严格减，$f - A_3g$ 严格增。

任取 $x_1 \in W$，存在 $a$ 的去心邻域 $W_1$ 使得 $W_1\subseteq (x_1, a)$ 且 $\forall x\in W_1$，

\[\bal f(x) - A_4g(x) < f(x_1) - A_4g(x_1) < (A_2 - A_4) g(x) \to +\infty \\ f(x) - A_3g(x) > f(x_1) - A_3g(x_1) > (A_1 - A_3) g(x) \to -\infty \eal \]
从而 $A_1 < \fr {f(x)} {g(x)} < A_2$。因此 $\lim_{x\to a ^ -} \fr {f(x)} {g(x)} = A$。$\square$

例 $1$

设 $\alpha > 0$，求 $\lim_{x\to +\infty} \fr {\ln x} {x ^ \a}$。

解

当 $x\to +\infty$ 时，$x ^ \a\to 0$。于是

\[\lim_{x\to +\infty} \fr {\ln x} {x ^ \a} = \lim_{x\to +\infty} \fr {1} {\a x ^ \a} = 0 \]

若右侧极限存在，则左侧极限存在且与右侧极限相等。需要验证使用前提 $\fr {o(1)} {o(1)}$ 或 $\fr {\rm {something}} {\infty}$。

例 $2$

求 $\lim_{x\to 0} \fr {\e ^ {-\fr 1 {x ^ 2}}} x$。

解

直接 L' Hopital 无法求出结果，需要换元。可根据 $\e ^ x > x$ 放缩求出答案为 $0$。

Stolz 定理

对数列 $\{a_n\}, \{b_n\}$：

设 $b_n$ 严格递增且 $\lim_{n\to +\infty} b_n = +\infty$，若 $\lim_{n\to +\infty} \frac {a_n - a_{n - 1}} {b_n - b_{n - 1}} = A$，则 $\lim_{n\to +\infty} \frac{a_n} {b_n} = A$。
设 $b_n$ 严格递减且 $\lim_{n\to +\infty} b_n = \lim_{n\to +\infty} a_n = 0$，若 $\lim_{n\to +\infty} \frac {a_n - a_{n - 1}} {b_n - b_{n - 1}} = A$，则 $\lim_{n\to +\infty} \frac{a_n} {b_n} = A$。

几何证明思路：将 $(a_n, b_n)$ 看成平面上的点。

离散的 L' Hopital 法则。

导数极限定理（部分）

设 $f : [a, b]\to \R$ 连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $\lim_{x\to a ^ +} f'(x) = A\in \R$，则 $f$ 在 $x = a$ 处右侧可导且 $f_+'(a) = A$。

证明

\[f_+'(a) = \lim_{x\to a ^ +} \frac {f(x) - f(a)} {x - a} \]
对等式右侧的极限使用 L' Hopital 法则即可。$\square$

导函数没有可去间断点（Darboux 定理）。

Taylor 公式

Taylor 多项式

设 $f$ 在 $x_0$ 处有 $n$ 阶导数，称

\[Tf_{x_0, n} (h) = \sum_{i = 0} ^ n \frac {f ^ {(i)}(x_0)} {i!}h ^ i \]

为 $f$ 在 $x_0$ 处的 $n$ 阶 Taylor 多项式。用简单的函数（多项式）逼近任意函数。

Peano 余项

设 $f$ 在 $x_0$ 处有 $n$ 阶导数，则 $n$ 阶多项式 $P_n(h)$ 满足

\[\bal f(x_0 + h) = P_n(h) + o(h ^ n),\quad h\to 0 \quad \eal \]

当且仅当 $P_n$ 为 $f$ 在 $x_0$ 处的 $n$ 阶 Taylor 多项式。

证明

$n = 1$ 易证（注意：充分性和必要性都需要证明）。假设 $n$ 时结论成立，$f$ 在 $x_0$ 处 $n + 1$ 阶可微。

设 $F(h) = f(x_0 + h) - Tf_{x_0, n}(h)$，$G(h) = \frac {h ^ {n + 1}}{(n + 1)!}$，则 $\forall k\in [0, n]$，$F ^ {(k)}(0) = G ^ {(k)}(0) = 0$。当 $h\to 0$ 时

\[\frac {F(h)} {G(h)} = \frac {F(h) - F(0)} {G(h) - G(0)} = \frac {F'(h_1)} {G'(h_1)} = \cdots = \frac {F ^ {(n)}(h_n)} {G ^ {(n)}(h_n)} = \frac {F ^ {(n + 1)}h_n + o(h_n)} {G ^ {(n + 1)}h_n + o(h_n)} \to f ^ {(n + 1)}(x_0) \]
其中 $0 < h_n < h_{n - 1} < \cdots < h_0 = h$，前 $n$ 步使用了 Cauchy 中值定理，最后一步是微分的定义。

最后一步不能使用微分中值定理，没有保证 $F ^ {(n)}$ 在 $(0, h_n)$ 内可导。

剩下的处理是容易的。$\square$

定理保证了 Taylor 展开的唯一性。

注：高阶可微性的条件至关重要。考虑 $g(x) = \begin{cases} \e ^ {-\frac 1 {x ^ 2}} & x\in \R \bs \Q \\ 0 & x\in \Q \end{cases}$。对任意正整数 $n$，$g(x) = o(x ^ n),\ x\to 0$，但 $g(x)$ 只在 $x = 0$ 处可微，没有高阶导函数，也没有对应的高阶 Taylor 多项式。因此，存在 $P(h)$ 满足 $f(x_0 + h) = P(h) + o(h ^ n),\ h\to 0$ 并不蕴含 $f$ 有相应的高阶可微性，也不蕴含 $P$ 是 $f$ 在 $x_0$ 处的 Taylor 多项式。

注：$f\mapsto Tf_{x_0, n}$ 不是单射。$g(x) = \begin{cases} \e ^ {-\frac 1 {x ^ 2}} & x\neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$ 是 $\mathscr{C} ^ {\infty}$ 函数，它与恒为零的函数具有相同的任意阶 Taylor 多项式。$f(x)$ 和 $f(x) [1 + g(x)]$ 在 $x = 0$ 处有相同的任意阶 Taylor 多项式。

Lagrange 余项

设 $f$ 在区间 $I$ 上连续，在区间 $I$ 内 $n + 1$ 阶可微，则对 $I$ 的任何内点 $x_0$ 以及任意 $x\in I$，都存在严格介于 $x, x_0$ 之间使得

\[f(x) = Tf_{x_0, n}(x - x_0) + \frac {f ^ {(n + 1)}(\xi)} {(n + 1)!}(x - x_0) ^ {n + 1} \]

$n = 0$ 时为 Lagrange 余项。

证明和 Peano 余项类似，最后一步将微分定义改成 Cauchy 中值定理。

Lagrange 余项要求更强的条件：在 $I$ 内 $n + 1$ 阶可微远强于 Peano 余项的在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微。它得到的结论更强，同时刻画了函数在区间 $I$ 上的整体性质，而 Peano 余项只是在 $x_0$ 一点附近的性质，此时 Lagrange 余项较为精确地表示了 $h ^ {n + 1}$ 前的系数。

微分中值定理的作用：将离得很远的函数值用导数连接在一起。
Peano 余项的 Taylor 公式只在极限过程中成立，是局部性质，常用于渐进展开，求极限；Lagrange 余项 Taylor 公式在整个区间上成立，是整体性质，常用于误差分析。

基本初等函数的泰勒公式（一）

\[\bal \e ^ x & = 1 + x + \fr {x ^ 2} 2 + \cdots + \frac {x ^ n} {n!} + o(x ^ n), \quad x\to 0 \\ \sin x & = x - \fr {x ^ 3} {3!} + \cdots + \frac {(-1) ^ nx ^ {2n + 1}}{(2n + 1)!} + o(x ^ {2n + 2}),\quad x\to 0 \\ (1 + x) ^ {\a} & = 1 + \alpha x + \cdots + \binom {\a} {n} x ^ {n} + o(x ^ {n}), \quad x\to 0 \eal \]

根据函数之间的求导关系，它们的 Taylor 多项式之间也有联系。设 $F$ 是 $f$ 的一个 原函数：$F'(x) = f(x)$，则

\[\begin{aligned} F(x_0 + h) & = \sum_{i = 0} ^ {n + 1} \fr {F ^ {(i)}(x_0)} {i!}h ^ {i} + o(h ^ {n + 1}), \quad h\to 0 \\ f(x_0 + h) & = \sum_{i = 0} ^ {n} \fr {f ^ {(i)}(x_0)} {i!} h ^ i + o(h ^ n), \quad h\to 0 \end{aligned} \]

已知 $F, f$ 中任何一个函数的 Taylor 多项式，可求出另一个函数的 Taylor 多项式。

基本初等函数的泰勒公式（二）

由 $(\sin x)' = \cos x$ 和 $\sin$ 在 $x = 0$ 处的 Taylor 展开可知

\[\cos x = 1 - \frac {x ^ 2} {2!} + \cdots + \frac {(-1) ^ n x ^ {2n}} {(2n)!} + o(x ^ {2n + 1}), \quad x\to 0 \\ \]

由 $(\ln (1 + x))' = \frac 1 {1 + x}$，$\ln (1 + 0) = 0$ 和 $(1 + x) ^ {-1}$ 在 $x = 0$ 处的 Taylor 展开可知

\[\ln (1 + x) = x - \frac {x ^ 2} 2 + \cdots + \frac {(-1) ^ nx ^ {n + 1}} {n + 1} + o(x ^ {n + 1}), \quad x \to 0 \]

由 $(\arctan x)' = \frac 1 {1 + x ^ 2}$，$\arctan 0 = 0$ 和 $(1 + x ^ 2) ^ {-1}$ 在 $x = 0$ 处的 Taylor 展开可知

\[\arctan x = x - \frac {x ^ 3} {3} + \cdots + \frac {(-1) ^ n x ^ {2n + 1}} {2n + 1} + o(x ^ {2n + 1}), \quad x\to 0 \]

由 $(\arcsin x)' = (1 - x ^ 2) ^ {-\frac 1 2}$，$\arcsin 0 = 0$ 和 $(1 - x ^ 2) ^ {-\frac 1 2}$ 在 $x = 0$ 处的 Taylor 展开可知

\[\arcsin x = x + \frac {x ^ 3} 6 + \cdots + \frac {(2n - 1)!!x ^ {2n + 1}} {(2n)!!(2n + 1)} + o(x ^ {2n + 1}), \quad x\to 0 \]

注意区分在 $x = 0$ 处展开的 Taylor 多项式在 $x_0$ 附近的取值，和在 $x = x_0$ 处展开的 Taylor 多项式在 $0$ 附近的取值。

偶函数在 $x = 0$ 处的 Taylor 展开只含偶次项。奇函数在 $x = 0$ 处的 Taylor 展开只含奇次项。

112 Taylor 公式的计算与应用

内容：

Taylor 公式的计算。
Taylor 公式的应用。

计算

计算 Taylor 展开式的办法：

按定义求导。
利用 $T (f')_{x_0, n}(h) = (Tf_{x_0, n + 1})'(h)$ 逐项求导。
利用 Peano 余项 Taylor 公式的唯一性间接展开：四则运算，复合，待定系数。

应用

求极限

尽量使用 Taylor 公式，因为求导的计算量较大。

例 $1$

\[\lim_{x\to 0} \frac {x \cos x - \sin x} {x ^ 3} \]
解

分母是三阶，所以分子也要展开到三阶。

\[f(x) = \frac {x(1 - \frac 1 2x ^ 2 + o(x ^ 2)) - (x + \frac 1 6x ^ 3 + o(x ^ 3))} {x ^ 3} = -\frac 1 3 + o(1), \quad x\to 0 \]

先通过分析主项确定分子和分母的展开阶数。

例 $2$

\[\lim_{x\to 0} \left(\frac {\sin x} x \right) ^ {\frac 1 {x ^ 2}} \]
解

设 $f(x) = \e ^ {g(x)}$。

\[g(x) = \frac {\ln(\frac{x - \frac {x ^ 3} 6 + o(x ^ 3)} x)} {x ^ 2} = \frac {\ln(1 - \frac {x ^ 2} 6 + o(x ^ 2))}{x ^ 2} = \frac {-\frac {x ^ 2} 6 + o(x ^ 2)} {x ^ 2} \to -\frac 1 6,\quad x\to 0 \]
极限为 $\e ^ {-\frac 1 6}$。

例 $3$

\[\lim_{x\to 1} \left( \frac {x} {x - 1} - \frac {1} {\ln x}\right) \]
解

设 $x = 1 + t$，则

\[f(x) = \fr {1 + t} t - \fr{1}{\ln(1 + t)} = 1 + \fr {\ln(1 + t) - t} {t\ln(1 + t)} = 1 + \fr {t - \fr 1 2 t ^ 2 + o(t ^ 2) - t} {t(t + o(t))} \to \fr 1 2, \quad t\to 0 \]

尽量换元至 $x = 0$ 处展开。

例 $4$

\[\lim_{x\to 0 ^ +} = \frac {\ln \cot x} {\ln x} \]
解

\[f(x) = \fr {\ln(\cos x) - \ln(\sin x)} {\ln x} = \fr {o(1) - \ln(x(1 + o(1)))} {\ln x} \to -1, \quad x\to 0 ^ + \]

例 $5$

\[\lim_{x\to 0} \e ^ {-x} \left(1 + \frac{1} {x}\right) ^ {x ^ 2} \]
解

设 $f(x) = \e ^ {g(x)}$，则

\[g(x) = x ^ 2 \ln(1 + \fr 1 x) - x = \left(x - \fr 1 2 + o(1)\right) - x \to -\fr 1 2, \quad x\to +\infty \]
极限为 $\e ^ {-\fr 1 2}$。

不可以先对一部分 $x$ 取极限，再对另一部分 $x$ 取极限。

求渐进展开

例 $6$

$x_{n + 1} = \sin x_n$，求 $x_n$ 的渐进展开式。

解

猜测 $x_n\approx\frac {A} {n ^ {\alpha}}$，根据 $x_{n + 1} = \sin x_n$ 和 $x_n - x_{n + 1} \approx \frac {A} {n ^ {\alpha}} - \frac A {(n + 1) ^ {\alpha}}$ 解得 $\alpha = \frac 1 2$，$A = \sqrt 3$。

证明 $x_n = \sqrt {\frac 3 n}(1 + o(1))$，即计算 $\lim_{n\to +\infty} nx_n ^ 2 = 3$。使用 Stolz 定理和 Taylor 展开。

例 $7$

用圆内接正多边形周长求圆周率的近似值。

解

圆内接正 $3\cdot 2 ^ n$ 边形的周长为

\[L_n = 3\cdot 2 ^ {n + 1} \sin \frac {2\pi}{3\cdot 2 ^ {n + 1}} = 2\pi - \frac {\pi ^ 3} {27 \cdot 2 ^ {2n}} + o\left(\frac {1} {2 ^ {2n}}\right) \]
误差是 $O\left(\frac 1 {2 ^ {2n}}\right)$ 级别。考虑到

\[L_{n + 1} = 2\pi - \fr {\pi ^ 3} {27\cdot 2 ^ {2n + 2}} + o\left(\fr 1 {2 ^ {2n}}\right) \]
于是

\[(1 - \la)L_n + \la L_{n + 1} = 2\pi - \fr {\pi ^ 3}{27 \cdot 2 ^ {2n + 2}} (4 - 3\la) + o\left(\fr 1 {2 ^ {2n}}\right) \]
取 $\lambda = \frac 4 3$，则 $L'_n = (1 - \lambda)L_n + \lambda L_{n + 1} = 2\pi + o(\frac 1 {2 ^ {2n}})$。这种技巧称为 外推修正。

平面曲线的曲率圆

取切线为 $x$ 轴，法线为 $y$ 轴，使正则曲线局部为 $y = f(x) = ax ^ 2 + o(x ^ 2)$（$a > 0$）。

曲线与 $y$ 轴相切，所以 $y'_t = 0$。于是 $x'_t \neq 0$，$x, t$ 之间有可微反函数关系，于是 $y$ 在局部可以写成关于 $x$ 的函数。
写成 $ax ^ 2 + o(x ^ 2)$ 的原因：在原点处 $y = y' = 0$，于是 Taylor 展开后最高项为二次项。

在 $x = 0$ 处的曲率

\[\kappa = \frac {\left|\det {\begin{pmatrix} x'_x & x''_x \\ y'_x & y''_x \end{pmatrix}}\right|} {(\sqrt {(x'_x) ^ 2 + (y'_x) ^ 2}) ^ 3} = 2a \]

曲率圆

\[x ^ 2 + \left(y - \frac 1 {2a}\right) ^ 2 = \left(\frac 1 {2a}\right) ^ 2 \]

取曲率圆过原点的一段

\[y = \frac {1} {2a} - \sqrt {\left(\frac 1 {2a}\right) ^ 2 - x ^ 2} = \frac {1} {2a} - \frac {1} {2a} \sqrt{1 - (2ax) ^ 2} = ax ^ 2 + o(x ^ 2) \]

所以曲线和曲率圆 二阶相切（其它圆是一阶相切）。

估计 Newton 法的误差

设 $f(x ^ *) = 0$，则

\[x_{n + 1} - x ^ * = x_n - x ^ * - \frac {f(x_n) - f(x ^ *)} {f'(x_n)} = (x_n - x ^ *) \left(1 - \frac {f'(\xi)} {f'(x_n)}\right) = (x_n - x ^ *) \frac {f''(\eta) (x_n - \xi)} {f'(x_n)} \]

而 $|x_n - \xi| \leq |x_n - x ^ *|$，于是 $|x_{n + 1} - x ^ *|\leq \frac {M} m |x_n - x ^ *| ^ 2$，其中 $M$ 是 $|f''|$ 在 $[a, b]$ 上的最大值，$m$ 是 $|f'|$ 在 $[a, b]$ 上的最小值。

这说明 Newton 迭代是 二阶收敛 的，且在 $x ^ *$ 附近收敛极快。

$\e ^ x$ 的无穷级数

将 $\e ^ x$ 在 $x = 0$ 处展开，得到幂级数

\[\e ^ x = \sum_{k = 0} ^ {\infty} \frac {x ^ k} {k!} \]

无穷求和定义为部分和的极限。

限定 $x$ 在有界范围内：$\forall M\in \N ^ *$，$\forall x\in [-M, M]$，存在 $\xi\in [0, x]$ 使得

\[\e ^ x = 1 + x + \cdots + \frac {\e ^ {\xi}} {(N + 1)!} x ^ {N + 1} \]

所以

\[\abs{\e ^ x - 1 - x - \cdots - \frac {x ^ N} {N!}} \leq \frac {\e ^ M} {(N + 1)!} M ^ {N + 1} := a_N \]

对 $N \geq 2M$

\[0 < a_N < \frac {\e ^ M M ^ {2M}} {(2M)!} \left(\frac 1 2\right) ^ {N - 2M} \to 0, \quad N\to +\infty \]

于是 $\lim_{N\to +\infty} a_N = 0$，即 $\lim_{N\to +\infty} \left(\sum_{k = 0} ^ N \frac {x ^ k} {k!}\right) = \e ^ x$。

定义可以推广到复数：证明部分和收敛（Cauchy 收敛准则），将极限定义为 $\e ^ z$。

验证 $\e ^ z \e ^ w = \e ^ {z + w}$（不是严谨证明）：

\[\left(\sum_{k = 0} ^ {\infty} \frac {z ^ k} {k!} \right) \left(\sum_{j = 0} ^ {\infty} \frac {w ^ j} {j!} \right) = \sum_{n = 0} ^ {\infty} \sum_{k = 0} ^ {n} \frac {z ^ k w ^ {n - k}} {k! (n - k)!} = \sum_{n = 0} ^ {\infty} \sum_{k = 0} ^ {n} \frac {\binom n k z ^ k w ^ {n - k}} {n!} = \sum_{n = 0} ^ {\infty} \frac {(z + w) ^ n} {n!} \]

三角函数的无穷级数

将 $\cos$ 和 $\sin$ 展开得

\[\bal \cos x &= \sum_{k = 0} ^ \infty \fr{(-1) ^ k x ^ {2k}} {(2k)!} \\ \sin x &= \sum_{k = 0} ^ \infty \fr{(-1) ^ k x ^ {2k + 1}} {(2k + 1)!} \eal \]

以及

\[\bal \e ^ {\i z} & = \cos z + \i \sin z \\ \cos z & = \frac {\e ^ {\i z} + \e ^ {-\i z}} 2 \\ \sin z & = \frac {\e ^ {\i z} - \e ^ {-\i z}} {2 \i} \\ \eal \]

可以推出和差角公式。

求近似值

求 $\ln 2$ 的近似值。

用 Lagrange 余项的 Taylor 公式在 $x = 0$ 处展开 $\ln(1 + x)$：

\[\ln(1 + x) = \sum_{k = 1} ^ n \frac {(-1) ^ {k - 1} x ^ k} {k} + \frac {(-1) ^ n x ^ {n + 1}} {(n + 1) (1 + \xi) ^ {n + 1}} \]

对 $-\frac 1 2\leq x \leq 1$，有 $\abs{\frac {x} {1 + \xi}} \leq 1$，所以

\[|R_n(x)| = \abs{\frac {(-1) ^ n x ^ {n + 1}} {(n + 1) (1 + \xi) ^ {n + 1}}}\leq \frac 1 {n + 1}\to 0, \quad n\to +\infty \]

但是它收敛太慢，考虑

\[\ln 2 = -\ln(1 - \fr 1 2) = -\sum_{k = 1} ^ \infty \fr {(-1) ^ {k - 1}} k \left(-\fr 1 2\right) ^ k = \sum_{k = 1} ^ \infty \fr 1 {k 2 ^ k} \]

113 一个例子

考虑方程

\[xy + \e ^ x - \e ^ y = 0 \]

a. 证明对任意 $x\in \R$，上述方程关于 $y$ 在区间 $[x, +\infty)$ 上有唯一解 $y = f(x)$。

这是由方程定义的隐函数，无法写出 $y$ 关于 $x$ 的表达式。
WXF：教材上讲了怎么对隐函数求导，但放在一元微积分不合适。对一般的方程论证 $x$ 唯一确定 $y$，目前的知识不够。可以对特殊的方程论证。

证明

视 $x$ 为参数，设 $F_x(y) = xy + \e ^ x - \e ^ y$。

由 $F_x(x) = x ^ 2\geq 0$，$F_x(+\infty) = -\infty$ 可知零点存在。

由 $\frac {\d} {\d y} F_x(y) = x - \e ^ y \leq x - \e ^ x \leq -1 < 0$ 可知零点唯一。$\square$

b. 证明 $f: \R \to \R$ 是 $\mathscr C ^ {\infty}$ 函数。

证明

连续性

对任意 $x_0$，记 $y_0 = f(x_0)$，则 $y_0\geq x_0$。

当 $x_0\neq 0$ 时，$y_0 > x_0$。因为 $F_x(y)$ 在 $y\geq x$ 时连续且递减，所以对任意 $x_0 < y_1 < y_0 < y_2$，$F(y_1) > F(y_0) = 0 > F(y_2)$。固定 $y$ 时，$F_y(x)$ 关于 $x$ 连续，所以存在 $\delta > 0$ 使得 $x_0 + \delta < y_1$ 且 $\forall |x - x_0| < \delta$，$F_x(y_1) > 0 > F_x(y_2)$。于是 $y_1 < f(x) < y_2$。

由 $xf(x) + \e ^ x = \e ^ {f(x)} \geq 1 + f(x)$ 得到

\[x\leq f(x) \leq \fr {\e ^ x - 1} {1 - x} \implies \lim_{x\to 0} f(x) = 0 = f(0) \]
因此 $f : \R \to \R$ 连续。

可微性

记 $u = f(x + h) - f(x)$，则

\[(x + h)(f(x) + u) + \e ^ {x + h} - \e ^ {f(x) + u} = 0 \]
因为 $f$ 连续，所以当 $h\to 0$ 时，$u\to 0$。于是

\[xf(x) + hf(x) + xu + \e ^ x + \e ^ xh + o(h) - \e ^ {f(x)} - \e ^ {f(x)}u + o(u) = 0 \]
即

\[u + o(u) = \fr {\e ^ x + f(x)} {\e ^ {f(x)} - x}h + o(h) \implies u = \fr {\e ^ x + f(x)} {\e ^ {f(x)} - x}h + o(h) \]
因此 $f : \R \to \R$ 可微，且导函数为 $\fr {\e ^ x + f(x)} {\e ^ {f(x)} - x}$。使用数学归纳法可证 $f$ 任意阶可微，$f\in \scr C ^ \infty$。$\square$

c. 求 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处的四阶 Taylor 展开式。

虽然不能写出 $y$ 关于 $x$ 的表达式，但可以 Taylor 展开得到近似表达式。

解

因为 $y = f(x)$ 无穷阶可导，所以对 $x$ 依次求导，得

\[\bal 0 & = y + xy' + \e ^ x - \e ^ yy' \implies y'(0) = 1 \\ 0 & = 2y' + xy'' + \e ^ x - \e ^ y((y') ^ 2 + y'') \implies y''(0) = 2 \\ 0 & = 3y'' + xy ^ {(3)} + \e ^ x - \e ^ y((y') ^ 3 + 3y'y'' + y ^ {(3)}) \implies y ^ {(3)}(0) = 0 \\ 0 & = 4y ^ {(3)} + xy ^ {(4)} + \e ^ x - \e ^ y((y') ^ 4 + 6(y') ^ 2y'' + 3(y'') ^ 2 + 4y'y ^ {(3)} + y ^ {(4)}) \implies y ^ {(4)}(0) = -24 \eal \]
可知

\[y = x + x ^ 2 - x ^ 4 + o(x ^ 4),\quad x\to 0 \]

d. 讨论 $f$ 的单调性，估计 $f$ 的值域。

解

当 $x\geq 0$ 时，$f(x)\geq x \geq 0$，于是 $\e ^ {f(x)} \geq \e ^ x \geq x + 1$，可知

\[f'(x) = \fr {\e ^ x + f(x)} {\e ^ {f(x)} - x} > 0 \]
且 $\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty$。

$f'(x) = 0$ 当且仅当

\[\bc xy + \e ^ x - \e ^ y = 0 \\ \e ^ x + y = 0 \\ \ec \]
由第二个方程知 $x = \ln (-y)$，得 $g(y) = y\ln(-y) - y - \e ^ y = 0$。

由 $y > x = \ln(-y)$ 可知 $-1 < y < 0$，而 $\lim_{y\to 0 ^ -} g(y) = -1$，$g(-1) = 1 - \e ^ {-1} > 0$ 且 $g'(y) = \ln(-y) - \e ^ y < 0$，根据连续性，上述方程有唯一解 $\xi$。又因为 $f'(0) = 1 > 0$，所以 $f$ 在 $[\xi, +\infty)$ 上严格增。

因为 $-1 < y < 0$，所以若 $\lim_{x\to -\infty} f(x)\neq 0$，则存在 $\eps > 0$ 和 $x_n\to -\infty$ 使得 $f(x_n) < -\eps$。而

\[\e ^ {-\eps} > \e ^ {-\eps} - \e ^ {x_n} \geq \e ^ {f(x_n)} - \e ^ {x_n} = x_nf(x_n) > -\eps x_n\to +\infty \]
矛盾，所以 $f$ 在 $(-\infty, \xi]$ 上严格减。

e. 讨论当 $x\to -\infty$ 和 $x\to +\infty$ 时的渐近线。

解

由 $\lim_{x\to -\infty} f(x) = 0$ 知 $x\to -\infty$ 时的渐近线为 $y = 0$。

分析 $F$ 可知对充分大的 $x$，$x < f(x) < 2x$。设 $u = f(x) - x$，则 $0 < u < x$，且

\[0 = x(x + u) + \e ^ x - \e ^ x \e ^ u \leq 2x ^ 2 + \e ^ x(1 - \e ^ u) \leq 2x ^ 2 - \e ^ xu \implies u\to 0,\; x\to +\infty \]
所以 $x\to +\infty$ 时的渐近线为 $y = x$。

114 不定积分的概念与计算

不定积分是求导的逆运算，属于微分学。Newton-Leibniz 公式将求导的逆运算和求面积联系在一起。

内容：

不定积分与原函数的概念。
不定积分计算技巧。
有理函数不定积分。
沿代数曲线的不定积分。

运算性质

求积分需要更多经验和观察。

定理（线性）

若 $F, G$ 分别是 $f, g$ 在 $I$ 上的原函数，则 $\lambda F + \mu G$ 是 $\lambda f + \mu g$ 的原函数。

\[\int (\lambda f(x) + \mu g(x)) \d x = \lambda \int f(x) \d x + \mu \int g(x) \d x \]

特殊规定

\[0\int f(x) \d x = C \]

例 $1$

计算

\[\int \fr {1} {(x - a) (x - b)} \d x \]
解

利用线性性将二次式化为一次式。

\[\bal & \int \fr {1} {(x - a) (x - b)} \d x \\ = \; & \int \fr {1} {a - b} \left[\fr {1} {x - a} - \fr 1 {x - b} \right]\d x \\ = \; & \fr {1} {a - b} \left[\ln \abs {x - a} - \ln \abs {x - b}\right] + C \eal \]

例 $2$

计算

\[\int \fr {1} {(x - a) (x - b) ^ 2} \d x \]
解

利用线性性做 部分分式分解。

\[\bal & \int \fr {1} {(x - a) (x - b) ^ 2} \d x \\ = \; & \int \left[\fr {A_1} {x - a} + \fr {A_2} {x - b} + \fr {A_3} {(x - b) ^ 2} \right]\d x \\ = \; & A_1 \ln \abs {x - a} + A_2 \ln \abs {x - b} + \fr {A_3} {x - b} + C \eal \]

结合 直接代入 和 待定系数法 确定 $A_1, A_2, A_3$：

\[1 = A_1(x - b) ^ 2 + A_2(x - a)(x - b) + A_3(x - a) \]

代入 $x = a$ 解得 $A_1 = \fr {1} {(a - b) ^ 2}$。
代入 $x = b$ 解得 $A_3 = \fr {1} {b - a}$。
比较 $x ^ 2$ 的系数得到 $A_2 = -A_1 = -\fr {1} {(a - b) ^ 2}$。

通分后先不要展开，代入特殊值解方程可以有效减少计算量。

定理（换元）

若 $F, G$ 分别是 $f, g$ 的原函数，则

\[\int f(G(x)) g(x) \d x = F(G(x)) + C \]

第一类换元法（凑微分）

\[\int f(G(x)) g(x)\d x = \int f(y)\d y = F(y) + C = F(G(x)) + C \]

第二类换元法（主动换元）

\[\int f(y) \d y = \int f(G(x)) g(x) \d x = H(x) + C = H(G ^ {-1}(y)) + C = F(y) + C \]

其中 $H(x)$ 是 $f(G(x)) g(x)$ 的原函数。第二类换元法要求换元函数 $x = \varphi(u)$ 严格单调（以确保有反函数）且可导。

例 $3$

计算

\[\int \fr {x} {1 + x ^ 2} \d x \]
解

凑微分

\[\int \fr {x} {1 + x ^ 2} \d x = \fr 1 2\int \fr {1} {1 + x ^ 2}\d (1 + x ^ 2) = \fr 1 2 \ln (1 + x ^ 2) + C \]

例 $4$

计算

\[\int \sin ^ nx \cos ^ mx \d x \]
其中 $n, m$ 至少有一个是奇数。

解

设 $m > 0$ 是奇数，根据 $\cos ^ 2 x = 1 - \sin ^ 2 x$ 将积分写成 $\int f(\sin x) \cos x \d x$，其中 $f$ 是多项式。

凑微分

\[\int f(\sin x) \cos x\d x = \int f(\sin x) \d \sin x \]
对 $m < 0$ 类似处理，得到有理分式积分。

当 $n, m$ 均为偶数时，积分较复杂。

例 $5$

\[\int \fr {1} {\cos ^ {2m} x} \d x \]
解

\[1 + \tan ^ 2 x = \sec ^ 2 x \]
凑微分，$\fr {\d x} {\cos ^ 2 x}$ 写成 $ \d \tan x$，剩下 $\fr {1}{\cos ^{2m - 2} x}$ 写成 $(1 + \tan ^ 2 x) ^ {m - 1}$。

\[\int f(\cos ^ 2 x) \d x = \int \fr {f(\cos ^ 2 x) \cos ^ 2 x} {\cos ^ 2 x} \d x = \int \fr 1 {1 + t ^ 2} f\left(\fr 1 {1 + t ^ 2}\right) \d t \]

例 $6$

\[\int \tan ^ n x \d x \]
解

主动换元，设 $t = \tan x$，则 $x = \arctan t$。

\[\int \tan ^ n x \d x = \int t ^ n \d \arctan t = \int \fr {t ^ n} {1 + t ^ 2} \d t \]

例 $7$

\[\int \fr 1 {\sqrt {x ^ 2 + a ^ 2}} \d x \]
解（三角换元）

设 $x = a\tan \t$（动机：$1 + \tan ^ 2x = \sec ^ 2 x$），则

\[\int \fr {1} {\sqrt {a ^ 2\tan ^ 2 \t + a ^ 2}} \d a \tan\t = \int \sec \t \d \t \]
得到 $\fr 1 2\ln \fr {1 + \sin \t} {1 - \sin \t}$，再用 $\t = \arctan x$ 换成关于 $x$ 的函数。

画三角形计算三角函数和反三角函数的代换，结果为 $\ln(x + \sqrt {a ^ 2 + x ^ 2}) + C$。

解（双曲换元）

设根式为 $y$，则 $y ^ 2 = x ^ 2 + a ^ 2$。双曲线，使用双曲换元。设 $x = a\sinh t$，则

\[\int \fr {1} {\sqrt {a ^ 2\sinh ^ 2 t + a ^ 2}} \d a \sinh t = \int \fr {\cosh t} {\cosh t} \d t = t + C \]
求反双曲正弦的表达式：注意到

\[\l(\fr x a\r) ^ 2 = \sinh ^ 2 t = \l(\fr {\e ^ t - \e ^ {-t}} 2\r) ^ 2 = \l(\fr {\e ^ t + \e ^ {-t}} 2\r) ^ 2 - 1 \]
所以

\[\e ^ t = \sinh t + \cosh t = \fr x a + \sqrt {1 + \fr{x ^ 2} {a ^ 2}} \implies t = \ln (x + \sqrt {a ^ 2 + x ^ 2}) - \ln a \]

类似计算

\[\int \fr {1} {\sqrt{x ^ 2 - a ^ 2}} \d x \]

三角换元 $x = a\sec \t$ 或双曲换元 $x = a\cosh t$。

定理（分部积分）

\[\int F(x) g(x) \d x = F(x) G(x) - \int G(x) f(x) \d x \]

对应乘积求导的 Leibniz 公式。

$f, g$ 的选择是关键。

例 $8$

\[\int x\e ^ x \d x \]
解

通过求导使一部分变简单，选择多项式求导（作为 $F$）。

\[\int x\e ^ x \d x = \int x \d \e ^ x = x \e ^ x - \int \e ^ x \d x = x \e ^ x - \e ^x + C \]

例 $9$

\[\int x \sin x \d x \]
解

\[\int x \sin x \d x = -\int x \d \cos x = -x\cos x + \int \cos x\d x = \sin x - x \cos x + C \]

\[\int P(x) \e ^ {\lambda x} \d x = \fr {1} {\lambda} \e ^ {\lambda x} P(x) - \fr 1 {\lambda} \int \e ^ {\lambda x} P'(x) \d x = \e ^ {\lambda x} Q(x) \]

其中 $Q$ 是次数不超过 $P$ 的多项式。有 待定系数法

\[\int \e ^ {-x} x ^ 2\d x = \e ^ {-x} (a_0 + a_1 x + a_2 x ^ 2) + C \]

求导得

\[\e ^ {-x} x ^ 2 = \e ^ {-x} (-a_0 - a_1x - a_2x ^ 2 + a_1 + 2a_2x) \]

解得 $a_2 = -1$，$a_1 = 2a_2 = -2$，$a_0 = -a_1 = 2$。

例 $10$

\[\int x ^ {\alpha} \ln x\d x \]
解

\[\bal & \int x ^ {\alpha} \ln x\d x \\ = \; & \fr {x ^ {\alpha + 1}} {\alpha + 1}\ln x - \fr {1} {\alpha + 1} \int x ^ {\alpha + 1} \d \ln x \\ = \; & \fr {x ^ {\alpha + 1}} {\alpha + 1} \ln x - \fr {x ^ {\alpha + 1}} {(\alpha + 1) ^ 2} + C \eal \]

例 $11$

\[\int \e ^ x \sin ^ n x \d x \]
解

被积函数两部分求导均无法降次，但产生循环（$\e ^ x \to \e ^ x \to \e ^ x \to \cdots$）。解法为做两次分部积分，解方程求递推式。

\[\bal I_n & = \int \e ^ x \sin ^ n x \d x \\ & = \e ^ x\sin ^ n x - \int \e ^ x \d \sin ^ nx \\ & = \e ^ x\sin ^ n x - n \int \sin ^ {n - 1} \cos x \d \e ^ x \\ & = \e ^ x\sin ^ n x - n \e ^ x \sin ^ {n - 1} x \cos x - n\int \e ^ x \d (\sin ^ {n - 1} \cos x) \\ & = \e ^ x(\sin ^ n x - n \sin ^ {n - 1}x \cos x) + n(n - 1) (I_{n - 2} - I_n) - nI_n \eal \]
其中 $I_1 = \frac {\e ^ x(\sin x - \cos x)} 2$。

有理函数不定积分

部分分式分解

对有理函数 $f(x) = \fr {P(x)} {Q(x)}$（$P, Q$ 是多项式），先用长除法让 $\deg P < \deg Q$（化为真分式），再将 $f(x)$ 写成有限多个最简分式的线性组合（$\R$ 上的 部分分式分解，有理函数积分的核心）。这需要将 $Q(x)$ 因式分解为一次式和最简二次式的乘积（依赖于 代数学基本定理），再使用待定系数法计算每个最简分式的分子。

$\R$ 上的最简分式：$\frac {1} {(x - a) ^ m}$，$\frac {1} {[(x - p) ^ 2 + q ^ 2] ^ m}$，$\frac {x} {[(x - p) ^ 2 + q ^ 2] ^ m}$。

代数学基本定理

在 $\C$ 中任何多项式至少有一个根。

证明思路

寻找使得 $\abs {Q(z)}$ 最小的 $z$。

$\abs{Q(z)}$ 关于 $z$ 连续，且当 $\abs {z} \to +\infty$ 时 $\abs {Q(z)} \to +\infty$，所以存在 $R > 0$ 使得当 $\abs {z} > R$ 时 $\abs {Q(z)} > \abs {Q(0)}$。

在有界闭集 $K = \{z\in \C | \abs {z} \leq \R\}$ 中 $\abs {Q(z)}$ 有最小值 $\abs {Q(z_0)}\leq \abs {Q(0)}$。

假设 $\abs {Q(z_0)} \neq 0$，令 $P(z) = \fr {Q(z + z_0)} {Q(z_0)}$，则 $\abs {P(0)} = 1$ 且 $\abs {P(z)} \geq 1$。设 $m$ 为最小的 $b_m\neq 0$（$P(z) = 1 + \sum_{m = 1} ^ n b_m z ^ m$），则当 $z\to 0$ 时，$P(z) = 1 + b_mr ^ m\e ^ {im\t}(1 + o(1))$，这和 $\abs {P(z)} \geq 1$ 矛盾。

对于实系数多项式，复根共轭出现。$x - (a\i + b)$ 和 $x - (a\i - b)$ 的乘积是实系数二次多项式，所以总可以将实系数多项式分解为一次式和最简二次式的乘积。

分解之后写出待定系数的最简分式

\[\fr {P(x)} {Q(x)} = \sum_{i = 1} ^ m \fr {A_i} {(x - a) ^ i} + \cdots + \sum_{i = 1} ^ n \fr {B_i + C_ix} {[(x - p) ^ 2 + q ^ 2] ^ i} + \cdots \]

等式两侧同时乘以 $(x - a) ^ m$，代入 $x = a$，右侧除 $A_m$ 以外的所有项均为 $0$，所以 $A_m = \fr {P(a)} {\fr Q {(x - a) ^ m}(a)}$。算出 $A_m$ 后将 $A_m$ 项移到左边，处理 $A_{m - 1}$ 项，以此类推。对于平方项，代入 $x = p + q \i$，比较实部和虚部得到两个等式，解出 $B_n$ 和 $C_n$。

求因式分解的待定系数法：$x ^ 4 + 1 = (x ^ 2 + px + q)(x ^ 2 + \alpha x + \beta)$，展开比较系数。

最简分式积分

\[\int \fr {\d x} {(x - a) ^ n} \]

$\d x$ 写成 $\d (x - a)$ 就可以直接积了。

\[\int \fr {x \d x} {(1 + x ^ 2) ^ m} \]

$x\d x$ 写成 $\frac 1 2 \d (1 + x ^ 2)$ 就可以直接积了。

\[\int \fr {\d x} {(1 + x ^ 2) ^ m} \]

方法一：设 $x = \tan \t$，则 $\int \cos ^ {2m - 2} \t \d \t$。二倍角公式降次，二项式展开，直到降为奇数次。次数高时较麻烦。

方法二：找递推关系

\[\bal I_m & = \int \fr {\d x} {(1 + x ^ 2) ^ {m - 1}} - \int \fr {x ^ 2 \d x} {(1 + x ^ 2) ^ m} \\ & = I_{m - 1} + \fr 1 {2(m - 1)} \int x \d \frac {1} {(1 + x ^ 2) ^ {m - 1}} \\ & = \fr {2m - 3} {2m - 2} I_{m - 1} + \fr x {2(m - 1)(1 + x ^ 2) ^ {m - 1}} \eal \]

得到

\[I_m = \sum_{i = 2} ^ {m - 1} A_i \fr {x} {(1 + x ^ 2) ^ i} + B \arctan x + C \]

求导比较系数。

例 $12$

计算

\[\int \frac {2x ^ 2 + 2x + 13} {(x - 2)(x ^ 2 + 1) ^ 2} \d x \]
解

写成若干最简分式的和，系数待定。此时可以先不求系数，而是积分得到答案每一项的形式（系数待定），再求导确定系数。

例 $13$

计算

\[\int \fr {\d x} {x (x ^ 5 + 1)} \]
解

\[I = \int \fr {\d x ^ 5} {5x ^ 5(x ^ 5 + 1)} = \frac 1 5\ln \abs {\fr {x ^ 5} {x ^ 5 + 1}} + C \]

每个问题都有自身的特殊性，普适的方法不一定最简单。

沿圆弧不定积分

\[\int R(\cos \theta, \sin \theta) \d \theta \]

其中 $R(x, y) = \fr {P(x, y)} {Q(x, y)}$，$P, Q$ 是二元多项式。

有理分式形式的圆周参数方程（万能公式）

\[x = \fr {1 - t ^ 2} {1 + t ^ 2},\ y = \fr {2t} {1 + t ^ 2},\ \d \t = \frac 2 {1 + t ^ 2} \d t\quad \l(t = \tan \fr {\t} 2 \r) \]

万能公式的几何含义：从 $(-1, 0)$ 连线段到圆周上任意一点 $P(x, y)$，记 $t = \fr y{x + 1}$ 为连线斜率，则

\[\bc -tx + y = t \\ x + ty = 1 \ec \]

$t$ 是圆周角的斜率，圆周角是圆心角的一半，所以 $t = \tan \fr \t 2$。

\[\int R(\tan \theta) \d \theta \]

换元 $t = \tan \theta$。

\[\int R(\sin \t) \cos \t \d \t \]

换元 $t = \sin \t$。

\[\int R(x, \sqrt {1 - x ^ 2}) \d x \]

换元 $t = \sin \t$ 或 $t = \cos \t$。

沿双曲线不定积分

\[\int R(x, \sqrt {x ^ 2 - 1}) \d x \]

或

\[\int R(\sqrt {y ^ 2 + 1}, y) \d y \]

有理分式形式的双曲线参数方程

\[x = \fr {1 + t ^ 2} {1 - t ^ 2},\ y = \fr {2t} {1 - t ^ 2} \]

于是

\[\int R(x, \sqrt {x ^ 2 - 1}) \d x = \int R\l(\fr {1 + t ^ 2} {1 - t ^ 2}, \fr {2t} {1 - t ^ 2}\r) \d \fr{1 + t ^ 2} {1 - t ^ 2} \]

或者换成

\[\int R\left(\fr {\e ^ t + \e ^ {-t}} 2, \fr {\e ^ t - \e ^ {-t}} 2\right) \d t = \int \tilde R(\e ^ t) \fr {1} {\e ^ t} \d \e ^ t \]

沿可有理参数化代数曲线不定积分

\[\int R(x(t), y(t)) \d t \]

需要能写成

\[\int R\left(x(t), \sqrt [n]{\fr {ax + b} {\alpha x + \beta}}\right) \d t \]

将后面一坨换成 $y$，写成有理函数积分。

posted @ 2023-12-23 00:00 qAlex_Weiq 阅读(202) 评论(0) 收藏举报

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微积分 A(1) —— 导数与微分

107 导数与微分

相关概念

运算性质

曲线

108 高阶导数

相关概念

运算性质

应用

109 微分中值定理

定理介绍

应用

110 函数的凹凸性

相关概念

性质与应用

不等式

111 L' Hopital 法则与 Taylor 公式

L' Hopital 法则

Taylor 公式

112 Taylor 公式的计算与应用

计算

应用

113 一个例子

114 不定积分的概念与计算

相关概念

运算性质

有理函数不定积分

沿圆弧不定积分

沿双曲线不定积分

沿可有理参数化代数曲线不定积分

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