《普通物理 2》学习笔记 I
Week 1. Vector Algebra
电磁学的核心是 Maxwell 方程组。
磁场和电场都是向量场，所以先熟悉向量相关的运算。
点乘和叉乘
无需多言。
- \(\va \cdot \vb = ab\cos \ph\)。
- \(\va \times \vb = ab\sin \ph \vec e_n\)。
- \(\va \times \va = 0\)。
- \(\va \cdot (\vb \times \vc) = \det(\va, \vb, \vc)\)。
- \(\vc \times (\va \times \vb) = (\vc \cdot \vb) \va - (\vc \cdot \va) \vb\)。这个结果肯定在 \(\va, \vb\) 张成的平面上，只需考虑 \(\va, \vb\) 前的系数。
梯度 gradient
例：\(\na \fr 1 r = - \fr {\bs r} {r ^ 3}\)。
散度 divergence
例：\(\div \bs r = 3\)，\(\div \fr {\hat {\bs r}} {r ^ 2} = 4\pi \d ^ 3(\bs r)\)。
注
\(\d ^ 3(\bs r)\) 表示三维狄拉克函数。
想象一个存在于空间原点处的 “源”（如电荷），它强度无限大，体积无限小，但总量有限。三维狄拉克函数就是用来描述这种点源的数学对象。
对 \(\bs r\neq \bs 0\)，\(\d ^ 3(\bs r) = 0\)，但 \(\d ^ 3\) 在整个空间上的积分为 \(1\)。
为什么这个结论如此重要呢？因为电场强度和引力场强度都正比于 \(\fr {\hat {\bs r}} {r ^ 2}\)，即满足平方反比定律。
旋度 curl
例：\(\curl \bs r = 0\)。
复合运算
一些结论要求定义域没有洞。
梯度的旋度为 \(0\)：\(\curl (\grad T) = 0\)。若 \(\bs T\) 的旋度为 \(0\)，则其为梯度场。
- 静电场 \(\curl \bs E = 0\)，\(\bs E = -\na \ph\)。
旋度的散度为 \(0\)：\(\div (\curl \bs T) = 0\)。若 \(\bs T\) 的散度为 \(0\)，则其为旋度场。
- 磁场 \(\div \bs B = 0\)，\(\bs B = \div \bs A\)。\(\bs A\) 是磁矢势。
散度的梯度称为 Laplace 算子 \(\div (\grad T) = \grad ^ 2T = T_{xx} + T_{yy} + T_{zz}\)。
散度的散度 \(\curl(\curl \bs T) = \grad(\div \bs T) - \grad ^ 2 \bs T\)，其中 \((\grad ^ 2\bs T)_x = \grad ^ 2\bs T_x\)（笛卡尔坐标系）。
- 在球坐标系下，\((\grad ^ 2 \bs T)_r\neq \grad ^ 2 \bs T_r\)。
通量 flux
\(\bs T\) 在曲面 \(S\) 上的通量定义为
\(\dd \bs A\) 是有向面积。
Gauss 定理
表面通量等于内部散度的积分。
环量 circulation
\(\bs T\) 在曲线 \(L\) 上的环量定义为
Stokes 定理
边缘环量等于内部旋度的积分。
无旋场
由 Stokes 定理，无旋场的线积分和路径无关，只和起点与终点有关，可以用势函数描述。
无旋场 \(\bs T = \grad \ph\)。
无源场
无源场的通量为 \(0\)。
Week 2. Electrostatic Field
https://www.bilibili.com/video/BV19s41157Z4/
电荷量和速度无关，不需要相对论修正。
Electric Field
Coulomb 定律
其中 \(\bs F_1\) 是 \(1\to 2\) 的力（而不是 \(1\) 受到的力），\(\bs e_{12}\) 是 \(1\to 2\) 方向的单位长度向量。
电场
点电荷的电场
其中 \(\bs e\) 由点电荷指向当前位置。
电场满足 叠加原理，因此
且
对于连续的情况，设 \(\rho\) 表示电荷密度，则
其中 \(\bs e_{\bs x}\) 由 \(\bs x\) 指向当前位置。
Example 1
总量为 \(Q\) 的电荷均匀分布在半径为 \(R\) 的圆环上。求轴线上距离圆环 \(L\) 的电场强度。
Sol
由对称性，电场只在 \(x\) 方向上非零。
考虑角度增加 \(\dd \t\)，电荷量
\[\dd q = Q\fr {\dd \t} {2\pi}. \]电场强度
\[\dd E = \fr {\dd q} {4\pi \eps_0} \fr {L} {r ^ 3}. \]于是
\[E = \int_{0} ^ {2\pi} \dd E = \fr {Q} {4\pi \eps_0} \fr L {(L ^ 2 + R ^ 2) ^ {3 / 2}}. \]
- 当 \(L\gg R\) 时，\(E = \fr {Q} {4\pi \eps_0 L ^ 2}\)，近似为点电荷。
- 当 \(L = 0\) 时，\(E = 0\)，和对称性相符。
Example 2
将 Exp. 1 的圆环改成 \([R_1, R_2]\) 的圆盘，电荷面密度为 \(\s\)。
Sol
考虑半径增加 \(\dd R\)，电荷量
\[\dd q = 2\pi\s R \dd R. \]圆环的电场在 Exp. 1 已知，所以场强
\[E = \int_{R_1} ^ {R_2} \fr {\dd q} {4\pi\eps_0} \fr {L} {(L ^ 2 + R ^ 2) ^ {3 / 2}} = \fr {L \s} {2\eps_0} \l(\fr {1} {\sqrt {L ^ 2 + R_1 ^ 2}} - \fr 1 {\sqrt {L ^ 2 + R_2 ^ 2}}\r). \]
- 当 \(L \gg R_2\) 时，小量展开得到 \(E = \fr {Q} {4\pi \eps_0 L ^ 2}\)。
- 当 \(R_1 = 0\) 且 \(R_2\to +\infty\) 时，圆环变成无穷大的带电板。此时 \(E = \fr {\s} {2\eps_0}\)，匀强电场。
- 当 \(R_1 = 0\) 时，圆饼的场强 \(E = \fr {\s} {2\eps_0} \l(1 - \fr {L} {\sqrt {L ^ 2 + R ^ 2}}\r)\)。
Electric Potential
电势
对于点电荷的电场，考虑从点 \(a\) 到点 \(b\) 的任意路径 \(L\)。电场做功
做功与路径无关，于是存在势能函数 \(\ph\)，满足
取无穷远处为参照点，则
对于多个点电荷或连续电荷的情况，使用叠加原理即可。
因为 \(\ph(b) - \ph(a) = -\int_a ^ b \bs E\cdot \dd \bs s\)，所以 \(\bs E = -\na \ph\)（对每个方向，考虑极小变化量取极限即可）。
Example 3
计算 Exp. 1 的电势。
Sol
\[\ph = \int \fr {\dd q} {4\pi \eps_0 r} = \fr {Q} {4\pi \eps_0} \fr {1} {\sqrt {L ^ 2 + R ^ 2}}. \]
对于静电学，\(\curl \bs E = 0\)，等价于电势存在。
以上结论 只依赖于 \(\bs E\) 是有心力场（非常经典的结论，有心力场有势），和 Coulumb 定律的 \(\fr 1 {r ^ 2}\) 无关。所以 \(\curl \bs E = 0\) 只是静电学的一部分，还缺少描述场强的部分。
Gauss' Law
Gauss 定律
电场强度满足平方反比定律。
由 \(\div \fr {\hat {\bs r}} {r ^ 2} = 4\pi \d ^ 3(\bs r)\)（关于三维狄拉克函数，见 Lec. 0）可知对单个点电荷 \(q\)，其电场 \(\bs E = \fr {q} {4\pi \eps_0} \fr {\hat {\bs r}} {r ^ 2}\) 在 \(\bs r\neq 0\) 处的散度为 \(0\)，在 \(\bs r = 0\) 附近的散度的积分为 \(4\pi \cdot \fr {q} {4\pi \eps_0} = \fr {q} {\eps_0}\)。由 Gauss 定理，
另一种思考方式：
考虑电荷外部的一个表面（不含电荷）的电通量。因为场强满足平方反比定律，而对特定立体角，其法向面积也满足平方反比定律，所以进出相互抵消，总电通量为 \(0\)。
包含电荷的表面的电通量和表面形状无关（并不直接，但我们直接使用该结论）。考虑球壳，总电通量为
\[\oint_s \bs E\cdot \dd \bs A = \fr {q} {4\pi \eps_0 r ^ 2} \cdot 4\pi r ^ 2 = \fr q {\eps_0}. \]
接下来就是用叠加原理将点电荷变成电荷密度。
使用 Gauss 定理
得到 Gauss 定律
结合 \(\curl \bs E = 0\) 完整的刻画了 Coulomb 定律（并与其等价）。
常用的形式是 \(\oint_S \bs E\cdot \dd \bs A = \fr {Q_{tot}} {\eps_0}\)。该形式和基本形式差了一步 Gauss 定理，但依然是 Gauss 定律，因为用了 \(\div \fr {\hat {\bs r}} {r ^ 2} = 4\pi \d ^ 3(\bs r)\)。这是 Gauss 定律的本质。
Example 4
计算电荷量为 \(Q\) 的均匀球体（半径为 \(R\)）的电场（\(r > R\)）。
Sol
由 Gauss 定律和对称性
\[\oint \bs E \cdot \dd \bs A = 4\pi r ^ 2|\bs E| = \fr {Q} {\eps_0}, \]于是电场强度
\[E = \fr {Q} {4\pi \eps_0 r ^ 2}. \]与在球心处的点电荷 \(Q\) 的电场强度一致。
注意：Gauss 定律仅在三维成立。对于二维的情况，考虑到 \(\div \fr {\hat {\bs r}} {r} = 2\pi \d ^ 2(\bs r)\)，只有在电场为 \(\fr {q} {2\pi \eps_0 r} \hat {\bs r}\) 时成立。
Week 3. Gauss' Law and Conductors
Gauss' Law
因为 \(\bs E = -\grad\ph\)，\(\div \bs E = \fr {\rho} {\eps_0}\)，所以 \(\grad ^ 2\ph = -\fr {\rho} {\eps_0}\)，称为 Poisson 方程。
Gauss 定律
Gauss 定律的一般使用方法为根据题目的对称性构造相对应的高斯面，使得其电通量容易计算。
是否存在一个静电场可以困住正电荷（电场为 \(0\) 且任意小偏移都会导致相对应的回复力）？
这要求包含正电荷的任意小高斯面的电通量为负。根据 Gauss 定律，这不可能。
Example 1
空间中有电荷线密度为 \(\la\) 的无限长杆，求电场。
Sol
由对称性，电场在半径方向上且仅和半径有关。
考虑高度为 \(h\) 的圆柱，由 Gauss 定律，
\[\int \bs E \cdot \dd A = E \cdot 2\pi rh = \fr {h\la} {\eps_0} \implies E = \fr {\la} {2\pi \eps_0r}. \]
- 空间中无穷大平面的电场强度为 \(\fr {\s}{2\eps_0}\) 的结论也可以使用 Gauss 定律得到。
Example 2
空间中有平行的电荷线密度分别为 \(+\s\) 和 \(-\s\) 的无穷大带电板，求电场。
Sol
由叠加原理，两个平行板外侧没有电场，内侧场强为 \(\fr {\s} {\eps_0}\)。
考虑包含两块板的矩形高斯面。因为无穷大带电板产生匀强电场，所以高斯面两侧场强相等。由 Gauss 定律，两侧场强之和为 \(0\)，所以两侧场强为 \(0\)。考虑包含一块板的矩形高斯面。因为外侧电通量为 \(0\)，由 Gauss 定律，内侧电通量 \(EA\) 等于 \(\fr {\s A}{\eps_0}\)，所以 \(E = \fr {\s} {\eps_0}\)，和叠加原理给出的结果一致。
Example 3
计算电荷密度为 \(\rho\)，半径为 \(R\) 的球体产生的电场。
Sol
对 \(r \leq R\)，
\[E \cdot 4\pi r ^ 2 = \fr {4 \pi r ^ 3 \rho} {3\eps_0} \implies \bs E = \fr {r\rho} {3\eps_0} \hat {\bs r}. \]对 \(r > R\)，
\[E \cdot 4\pi r ^ 2 = \fr {4\pi R ^ 3 \rho} {3\eps_0} \implies \bs E = \fr {R ^ 3\rho} {3\eps_0 r ^ 2} \hat{\bs r}. \]
Example 4
计算电荷量为 \(Q\)，半径为 \(R\) 的球壳产生的电场。
Sol
对于 \(r\leq R\)，\(\bs E = 0\)。对于 \(r > R\)，\(\bs E = \fr {Q} {4\pi \eps_0r ^ 2}\hat {\bs r}\)。
Conductor
导体
导体内部有可以自由移动的电子，所以当导体达到静电平衡时：
- 导体内部没有电荷移动。
- 导体内部没有电场，否则有电场线，电荷可以移动，随后达到新的平衡。
- 所有电荷在导体表面，否则由 Gauss 定律可知内部有电场。
- 导体处处等势且表面是等势面，因为 \(\bs E = -\grad \ph\)。
- 电场和导体表面垂直，否则电场在切面上的分量使得电荷移动，随后达到新的平衡。
- 导体表面的场强为 \(\fr {\s} {\eps_0}\)，由 Gauss 定律得到。理解：小表面提供 \(\fr{\s} {2\eps_0}\)，剩下的部分为了抵消小表面在导体内部产生的电场提供另外 \(\fr {\s} {2\eps_0}\)。
如果导体的空腔内没有电荷，则内表面不含电荷。否则内表面的电荷正负抵消（Gauss 定律），电荷之间存在电场，导体内表面不等势。导体内无电荷的空腔无电场这一结论和导体形状，导体是否带电，电场的平方反比定律以及导体外的电荷分布无关。这是 静电屏蔽 的原理。
Example 5
电荷面密度为 \(\s\) 的无穷大带电板右侧有平行的厚度为 \(d\) 的导体，求导体的电荷分布。
Sol
由对称性，设左右两侧面密度分别为 \(\s_1\) 和 \(\s_2\)。
因为电荷守恒，所以 \(\s_1 + \s_2 = 0\)。
因为导体内部无电场，由叠加原理，\(\s + \s_1 - \s_2 = 0\)。因此 \(\s_1 = -\fr {\s}2\)，\(\s_2 = \fr {\s} 2\)。
Example 6
半径为 \(R_0\) 的带电 \(q\) 导体球 \(A\) 放在半径为 \([R_1, R_2]\) 的带电 \(Q\) 导体球壳 \(B\) 内部。
计算电荷分布和电势。假如 \(A\) 接地，重新计算电荷分布和电势。
Sol
\(A\) 的电荷分布在表面。考虑 \(R_1 < r < R_2\) 的高斯面，其内部总电荷量为 \(0\)，所以 \(B\) 的内表面电荷量为 \(-q\)，外表面电荷量为 \(Q + q\)。
由 Gauss 定律，\(r > R_2\) 的电场等价于电量为 \(Q + q\) 的点电荷的电场，所以 \(B\) 的电势为 \(\ph_B = \fr {Q + q} {4\pi \eps_0 R_2}\)。类似地，\(A\) 的电势为 \(\ph_A = \ph_B + \fr {q} {4\pi \eps_0} \l(\fr 1 {R_0} - \fr 1 {R_1}\r)\)。
假设接地后 \(A\) 的表面电荷量为 \(q'\)，则利用以上结果，可知
\[\ph_A = 0 = \implies q' = \fr {Q} {R_2\l(\fr 1 {R_1} - \fr 1 {R_0} - \fr 1 {R_2}\r)}. \]
导体接地的直接结果是电势为 \(0\)，因为地球半径很大且近似电中性。
Week 4. Dipole and Image Charge
Electric Dipole
电偶极子
考虑两个距离为 \(d\) 的相反电量电荷 \(\pm q\)，计算 \(P\) 处的电势
从负电荷指向正电荷给出了 \(z\) 轴。设中点为坐标原点，\(P\) 与这个轴的夹角为 \(\t\)。
当 \(R\gg d\) 时，
于是
将 \(\cos \t\) 写成 \(\bs d\) 和 \(\bs R\) 的内积
其中 \(\bs p = q\bs d\) 表示电偶极矩。
电偶极子的势能关于 \(R\) 平方反比，因为由电荷量决定的 \(\fr q R\) 正负抵消了。可知其电场强度关于 \(R\) 立方反比。
点电荷的势能只有一个自由度 \(r\)。
电偶极子给出了 \(z\) 轴（极化方向），在垂直于 \(z\) 轴的平面上只和半径有关。
电偶极子的电场
根据 \(E = -\grad \ph\)，计算
对 \(y\) 是类似的。
容易得到矢量形式
在 \(z\) 轴上，\(E_z = \fr {p} {4\pi \eps_0} \fr {2} {R ^ 3}\)。
在 \(z = 0\) 时，\(E_z = -\fr p {4\pi \eps_0} \fr {1} {R ^ 3}\)。注意强度是 \(z\) 轴上的一半。
在垂直 \(z\) 轴的方向上，\(E_{\perp} = \sqrt {E_x ^ 2 + E_y ^ 2} = \fr {p} {4\pi \eps_0} \fr {3\cos \t \sin \t} {R ^ 3}\)。
电偶极子的势能可以理解为点电荷势能的梯度。
- 注意 \(\grad \fr 1 R = -\fr {\bs R} {R ^ 3}\)。
完全重合时 \(\bs p = 0\)，否则正电荷向上移动 \(\fr d 2\)，负电荷向下移动 \(\fr d 2\)。
正电荷向上移动 \(\fr d 2\) 等价于 \(P\) 向下移动 \(\fr d 2\)，于是
\[\D\ph ^ + = q \p {\ph_0} {z} \D z = -\fr {qd} 2 \p {\ph_0} {z}. \]类似有 \(\D \ph ^ - = -\fr {qd} 2 \p {\ph_0} z\)。
所以
\[\ph = -\p {\ph_0} {z} qd = -\bs p \cdot \grad \ph_0. \]通过和 \(\bs p\) 做点乘取出 \(z\) 坐标。
推广到任意多个电荷。
设 \(\bs r'\) 是电荷关于坐标原点的偏移量，则 \(r = |\bs r - \bs r'|\)。
将 \(\bs r'\) 在 \(0\) 处做 Taylor 展开：
最低阶项是零阶项说明电量不为零，是一阶项说明正负电荷中心不同，是二阶项（电四极子 quadrupole）说明电荷不是球对称分布。
电四极子的电势 \(\fr {pl} {4\pi \eps_0} \grad ^ 2\fr 1 R \propto \fr 1 {R ^ 3}\)。
在计算一些电荷产生的电场时，一般只需要考虑最低阶项。
Uniqueness Theorem
在导体旁边放置电场，导体会因此而改变电荷分布，相对应地又会改变空间中的电场。我们想要确定导体的电荷分布，但只知道表面电荷分布可以使得内部电场为 \(0\)。
在使用分析方法时，对于给定边界条件，我们得到了一个分布。是否有其它解呢？
唯一性定理
对于已知的空间电荷分布 \(\rho(\bs x)\)，如果在 \(V\) 的边界 \(S\) 上：
- \(\ph|_S\) 给定，称为 Dirichlet boundary condition；
- 或 \(\p{\ph} n |_S\) 给定，称为 Neumann boundary condition，
则 \(V\) 内部的电场是唯一确定的。
Green's Theorem
\[\int_V (\div \bs C) \dd V = \oint_S \bs C \cdot \dd \bs a. \]令 \(\bs C = \phi\grad \ph\)，则
\[\div \bs C = \phi \grad^ 2\ph + \grad \phi \cdot \grad \ph. \]于是
\[\int_V (\phi \grad^ 2\ph + \grad \phi \cdot \grad \ph)\dd V = \oint_S \phi \p{\ph} n\dd a. \]
假设有 \(\ph'\) 和 \(\ph''\)，设 \(U = \ph' - \ph''\)。
- 由 Poisson 方程 \(\grad ^ 2 \ph = -\fr {\rho} {\eps_0}\) 可知 \(\grad ^ 2 U = 0\)。
- 在 \(S\) 上 \(U = 0\) 或 \(\p U n = 0\)。
将 \(U\grad U\) 带入 Green 定理。由条件可知 \((\grad U) ^ 2 = 0\)。\(U\) 是常数，因此 \(E\) 相等。\(\square\)
对于空间中的一个区域 \(V\)，扣掉若干导体 \(V_1, \cdots, V_k\) 后得到 \(V'\)。给出 \(V'\) 外边界的 Dirichlet 或 Neumann 条件以及内部的电荷分布。
- 若导体的电势已知，则 \(V'\) 内的电场唯一。
- 若导体的表面电荷分布已知，则 \(V'\) 内的电场唯一。
- 若导体的电量已知，则 \(V'\) 内的电场唯一（作业，并不直接由唯一性定理得到）。
Image Charge Method
用导体内部的镜像电荷代替导体，使得导体的边界条件不变。由唯一性定理，导体以外的电场分布不变。
镜像电荷和感应电荷的电量相同。
Example 1
接地无穷长金属板右侧有正电荷 \(q\)。求金属板右侧的电势。
Sol
在左侧的对称位置加入镜像电荷 \(-q\)，则金属板上电势为 \(0\)，且不改变边界条件和右侧的电荷分布。由唯一性定理，右侧电势就是电偶极子右半部分的电势。
此时金属板带电 \(-q\)（算出金属板各个位置附近的电场强度后得到电荷密度，再积分），正电荷往无穷远处移动导致感应带电。感应电荷与镜像电荷的电量相同。
右侧正电荷的受力 \(\fr {q ^ 2} {4\pi \eps_0 (2d) ^ 2}\)。
Example 2
接地金属球右侧有距离球心 \(a\) 的正电荷 \(q\)，求金属球外侧的电势。
Sol
由对称性，金属球的镜像电荷在球心和正电荷的连线上，只需考虑镜像电荷 \(q'\) 与球心之间的距离 \(b\)。
\[\fr q {r} + \fr {q'} {r'} = 0 \implies \fr r {r'} = -\fr q {q'}. \]经典阿波罗尼斯圆，解得 \(b = \fr {R_0} a\)，\(q' = -\fr {R_0} a q\)。
根据余弦定理算出电势，继而算出金属球表面的电荷分布。积分可知电量和镜像电荷相同。
如果电势 \(\ph \neq 0\)？先按电势为 \(0\) 算，然后在球心补全剩余的电荷使得满足电势限制。
如果金属球不接地，但给出了总电荷？先按电势为 \(0\) 算，然后在球心补全剩余的电荷使得满足电荷量限制。正确性并不显然，需要证明前后均为等势面且电荷量相等的唯一性定理（作业）。
考虑两个电势作差得到 \(U\)。因为内部电荷量相等，所以在边界上 \(\oint \p U n\dd a = 0\)。又因为边界等势，所以 \(U\) 在边界上是常数，得到 Green 定理右侧的 \(\oint U\p U n\dd a = 0\)。
Week 5. Examples in Electrostatics
Capacitor
电容 capacitance
考虑相距 \(d\)，面积为 \(A\) 且带电量为 \(\pm Q\) 的两块平行板。它们之间的电势差
电荷量与电压差成正比。于是定义电容
电容描述了一个系统储存电荷的能力。
对于导体也可以定义电容。
Example 1
考虑带电量 \(Q\) 且半径为 \(R\) 的导体球。其表面电势
\[V = \fr {Q} {4\pi \eps_0 R} \implies C = 4\pi \eps_0 R. \]
Example 2
同轴电缆，即大空心圆柱围着小的实心圆柱。设电荷的线密度为 \(\la\)。使用 Gauss 定律算导体之间的电场 \(\fr {\la} {2\pi \eps_0 r}\)，电势差 \(V = \int_a ^ b E\dd r = \fr {\la} {2\pi \eps_0} \ln(b/ a)\)。于是
\[C = \fr {\la} {V} = \fr {2\pi \eps_0} {\ln(b / a)}. \]
尖端放电 high voltage breakdown
带电体尖端的电荷密度大，电场强，容易放电。所以如果不希望放电，则表面尽可能光滑。
如何理解？考虑两个半径不同的球，中间用很细的导体连接。为保证电势相同，较小的球的电场较大。
Complex Function Method
在无电荷的区域内，由 Poisson 方程，\(\grad ^ 2 \ph = 0\)，其中 \(\ph\) 满足边界条件，称为 Laplace 方程。绝大部分情况下没有解析解，只有数值解。
我们对问题进行简化。当 \(\fr {\pa ^ 2 \ph} {\pa z ^ 2}\) 很小或等于零时，我们忽略掉方程中的这一项，得到 Laplace 方程的二维形式：
简化后的问题有更多工具，复变函数是其中之一。
将复函数 \(f(z)\) 写成 \(f(z) = U(x, y) + \i V(x, y)\)，其中 \(U, V\) 是实值函数。称 \(f\) 是解析的，若其处处可微。接下来我们将认为 \(f\) 解析，因为现实世界是连续的。
对解析函数，有 Cauchy-Riemann 方程
容易证明 \(U, V\) 都满足 Laplace 方程 \(\grad ^ 2U = \grad ^ 2 V = 0\)，且 \(U, V\) 的等值线处处正交（梯度处处正交）。
可以认为其中一个描述了电势（需满足边界条件），则另一个描述了电场。
假设 \(V\) 是电势，则
验证
和 \(V\) 表示电势一致。
那么 \(U\) 是什么呢？\(U\) 的等值线是电场，所以 \(U\) 描述了平面上两点之间的电通量。
其中 \(\dd \bs s\) 是当前小线段的法向（逆时针旋转 \(\fr \pi 2\)），最后一个等式用 Cauchy-Riemann 方程。
解析函数 \(f(z)\) 的导数 \(f'(z) = \p U x + \i \p V x\)，所以
这给出了由电场计算 \(f(z)\) 的方法，从而通过一些简单的例子验证复函数法的可靠性。
Three Electrostatic Examples
等离子体震荡 plasma oscillation
离子质量远大于电子质量，可以认为只有电子产生震荡。
设电子密度为 \(n_0\)，则震荡频率 \(\o ^ 2_p = \fr {q_e ^ 2n_0} {m_e\eps_0}\)。根据偏移量算出受力即可。
\(\o_p = 2\pi\times 9\times 10 ^ 3 \sqrt {n_0}\,\op{MHz}\)。
电解质中的胶体粒子 colloidal particles in an electrolyte
将问题放在一维考虑。
设电解质离子浓度为 \(n_0\)。由 Boltzmann 分布 \(n = n_0 \e ^ {-U(x)/kT}\) 可知 \(n_{\pm} = n_0\e ^ {\mp q_e\ph(x) / kT}\)。
Taylor 展开，\(\rho = q_e(n_+ - n_-) = -2n_0q_e ^ 2\ph(x)/kT\)。
由 Poisson 方程，
其中 \(\la_D = \sqrt {\fr {\eps_0 k T} {2n_0 q_e ^ 2}}\) 称为 Debye 长度。没有正指数项的原因是无穷远处电势为零。
带入胶体表面电场强度为 \(\fr {\s} {\eps_0}\) 算出 \(\ph_0\)，\(\ph = \fr {\la_D\s} {\eps_0} \e ^ {-x / \la_D}\)。
电解质的离子让胶体的电势屏蔽在 Debye 长度以内。\(n_0\) 增大，\(\la_D\) 减小，屏蔽更明显，胶体更容易受到范德华力的影响，发生聚沉。
网格电场 electrostatic field of a grid
\(x\) 轴上间隔为 \(a\) 的电荷均匀排布，在 \(y\) 轴上均匀，考虑电势 \(\ph(x, z)\)。
考虑分离变量法。根据周期性，可以证明任何满足 Laplace 方程的 \(\ph\) 可以写成 \(\sum \ph_n\)，其中
且每个 \(\ph_n\) 均满足 Laplace 方程。于是
解得
\(F_n(z)\) 随着 \(z\) 增大快速衰减。
对于第零项，\(\ph_0 = F_n(z)\) 且 \(\grad ^ 2 \ph_0 = 0\)，所以 \(\ph_0 = -E_0z + C\)。因此，\(E = -\grad \ph\) 只有第零项对 \(z\) 求导后的常数项在远处起作用。
Week 7. Electrostatic Energy
Electrostatic Energy
一个系统的静电能可以理解为构建该系统所需的总能量。
静电能分为互能和自能。互能是两个电荷之间的能量，自能是电荷本身的能量。
互能 mutual energy
两个电荷之间的能量
对于电荷系统 \(\{q_i\}_{i = 1} ^ n\)，
连续情况下
Example 1
设均匀带电球体的电量为 \(Q\)，半径为 \(R\)。
每次加入一层半径 \([r, r + \dd r]\)。已有的电量为 \(\fr {Qr ^ 3} {R ^ 3}\)，所以 \(\ph(r) = \fr {Qr ^ 2} {4\pi \eps_0 R ^ 3}\)。于是
\[U = \int_0 ^ R \fr {Qr ^ 2} {4\pi \eps_0 R ^ 3}\cdot \dd q = \int_0 ^ R \fr {Q r ^ 2} {4\pi \eps_0 R ^ 3} \fr {4\pi r ^ 2\cdot 3Q} {4\pi R ^ 3} \dd r = \fr {3} {5} \fr {Q ^ 2} {4\pi \eps_0 R}. \]又因为 \(U = \fr 1 2 \sum_{i\neq j} \fr {q_i q_j} {4\pi \eps_0 r_{ij}}\)，可知球内任意两点平均倒数距离为 \(\an{1/ r_{ij}} = \fr 6 {5R}\)。
Example 2
设带电导体球的电量为 \(Q\)，半径为 \(R\)。
两种方法：对电荷量积分，或对电荷的空间分布积分。
\[U = \int_0 ^ Q \fr {q} {4\pi \eps_0 R}\dd q = \fr {Q ^ 2} {8\pi \eps_0 R}. \]
对于一系列导体，由表面等势得
Example 3
电量分别为 \(\pm Q\) 的平行带电板。
\[U = \fr 1 2 Q\ph_1 - \fr 1 2 Q\ph_2 = \fr 1 2 QV = \fr 1 2 CV ^ 2 = \fr {Q ^ 2} {2C}. \]
电场能
电场的能量储存在空间中。
而
所以
由 Gauss 定理，第二个积分等于 \(\int \ph\grad \ph \cdot \dd \bs a\)。因为 \(\ph \grad \ph \sim \fr 1 {r ^ 3}\)，但 \(\int \dd a \sim \fr 1 {r ^ 2}\)，所以积分在无穷远的表面上等于 \(0\)。
于是
电场能的密度是场强平方。
验证 Exp. 2 的公式：\(\bs E = \fr {q} {4\pi \eps_0 r ^ 2} \hat {\bs r}\)，所以
\[U = \int_R ^ {\infty} \fr {Q ^ 2} {32\pi r ^ 4} \cdot 4\pi r ^ 2 \dd r = \l.-\fr {q ^ 2} {8\pi \eps_0 r}\r|_{R} ^ {+\infty}. \]
自能 self charge
由上例可知点电荷 \(r = 0\)，自能发散。模型需要修正：电子质量来源于其静电能，
大气电场强度在底部约为 \(100\op{V / m}\)。虽然很强，但是因为电流十分微弱（\(1\op{pA/m ^ 2}\)），所以不会影响人体。
大气电荷是怎么来的？正电荷与负电荷被分割，负电荷通过雷电活动流入地面。
Dielectric
在距离为 \(d\) 的平行板之间插入宽度为 \(b < d\) 的金属板。金属板和平行板之间的电场只和平行板的电荷密度有关，而电荷密度不变，所以电场强度不变。电压降低为 \(V(1 - \fr b d)\)，可知电容增加，变成原来的 \(\frac {1} {1 - b / d}\)（相对介电常数，下一讲介绍）。
插入绝缘体，则绝缘体内部依然会感生出相反的电场，使得电压降低，电容增加。
Week 8. Dielectric
极化电荷
电介质在电场中会 极化，产生 极化电荷 polarization charge。
定义 极化矢量 polarization vector \(\bs P = N\bs p\) 表示单位体积内的总电偶极矩，即电偶极矩密度。\(N\) 是分子（或原子）密度，\(\bs p\) 是分子电偶极矩，\(\bs p = q\boldsymbol \d\)。
极化电荷也称 束缚电荷 bound charge，来源于分子对外电场的响应。它们是真实的电荷，但是被分子束缚，只能在围观尺度上位移，和自由电荷不一样。
物理图像
在没有外电场时，分子中的正负电荷中心重合，电偶极矩为零。
加上外电场后，正电荷（原子核）受电场力向电场方向移动，负电荷（电子云）反向移动，导致正负电荷中心分离，形成 感应电偶极矩。
在均匀极化的情况下，电介质内部的正负极化电荷相互抵消。极化电荷只会在边界上产生，表面电荷密度 \(\s_{p} = \bs P\cdot \hat {\bs n}\)。
电极化率
在表面电荷密度为 \(\s_f\) 的均匀平行板间插入电介质，极化电荷密度 \(\s_p\)，则电场强度
极化强度和电场成正比：\(P = \chi \eps_0 E\)，\(\chi\) 称为 电极化率 electric susceptibility，无量纲。
电场强度是原电场的 \(\fr 1 {1 + \chi}\)。
设 \(\k = 1 + \chi\)，则电容变为原来的 \(\k\) 倍。
与此同时，
考虑一个假想面，其单位法向量为 \(\bs n\)，则穿过该假想面的正电荷总量为 \(\bs P\cdot \bs n\)。内部假想面的净电荷量为零，因为还有相反数量的负电荷穿过。
极化电荷的 Gauss 定律
对于不均匀极化，介质内部可能出现净极化电荷：闭合曲面会 “切断” 一些电偶极子。
考虑介质中的一个闭合面。内部的极化电荷量为 \(Q_p\)，等于表面电偶极子 “通量” 的负数（正电荷跑出去，所以留下来的是负电荷）：
由 Gauss 定理，
于是极化电荷密度等于极化矢量散度的相反数。
- 对比 \(\div \bs E = \fr {\rho_0} {\eps_0}\)。
\(\rho_p\) 是真实的电荷密度，源于极化的不均匀性。这与均匀极化 \(\div \bs P = 0\) 的内部无极化电荷结论一致。
Example 1
电介质球在均匀极化矢量 \(\bs P\) 下的极化电荷分布。
\(\s_p = \bs P \cdot \bs n = P\cos \t\)。左半边的极化电荷密度为负，右半边为正。
电位移矢量
加入 Gauss 定理，
所以
注意 \(\k\) 不一定处处相等。
定义 电位移矢量 electric displacement field
则
结合 \(\curl \bs E = 0\) 构成了电介质静电学基本方程。
\(\bs D\) 只是辅助量，\(\bs E\) 是最基本的场。
相对介电常数
\(\eps\) 称为 介电常数 permittivity（也称电容率）。\(\eps_0\) 称为真空介电常数。
\(\bs D = \eps \bs E\) 是一种近似，只有当 \(\bs E\) 很小时才成立。
\(\eps_r\) 称为 相对介电常数 relative permittivity，表示材料受到外界电场影响所产生的电荷分布变化的敏感度。越小表示越好的绝缘体。导体的相对介电常数是无穷大。
假设均匀电介质内部 无自由电荷，则 \(\div \bs D = 0\) 且 \(\chi, \eps_r\) 为常数。所以
\[q_p = -\oint \bs P\cdot \dd \bs a = -\oint \fr {\chi} {\eps_r} \bs D\cdot \dd \bs a = 0. \]均匀电介质内无自由电荷则无极化电荷。
Example 2
无穷长电介质平板的厚度为 \(d\)，相对介电常数 \(\eps_r\)，含有均匀自由电荷 \(\rho_0\)。
计算 \(D, E, P\) 和极化电荷密度。
Sol
由对称性，\(D, E, P\) 和平板垂直。设平板的中心为原点。
在 \(x = 0\) 处 \(E = 0\)，所以 \(D = 0\)。
对 \(0\leq x \leq \fr d 2\)，考虑经过 \(0\) 和 \(x\) 的 Gasuu 面。由 Gauss 定律，
\[\begin{aligned} D\dd s = \rho_0 x \dd s & \implies D = \rho_0 x. \\ D = \eps E & \implies E = \fr {D} {\eps} = \fr {\rho_0 x} {\eps_r \eps_0}. \\ D = \eps_0 E + P & \implies P = D - \eps_0 E = \fr {\rho_0 x (\eps_r - 1)} {\eps_r}. \end{aligned} \]对 \(x > \fr d 2\)，由 Gauss 定律，
\[\begin{aligned} D\dd s = \rho_0 \fr d 2 \dd s & \implies D = \fr {\rho_0 d} 2. \\ D = \eps E & \implies E = \fr {D} {\eps_0} = \fr {\rho_0 d} {2\eps_0}. \\ D = \eps_0 E + P & \implies P = 0. \end{aligned} \]真空无极化矢量。
极化电荷密度
\[\rho_p = -\div \bs P = -\p {P} x = -\fr {\rho_0 (\eps_r - 1)} {\eps_r}. \]在边界上
\[\s_p = \bs P \cdot \bs n = \fr {\rho_0 d(\eps_r - 1)} {2\eps_r}. \]
Example 3
在上下平行极板中间的一半表面积加入均匀电介质，即左侧介电常数为 \(\eps_0\)，右侧介电常数为 \(\eps_1\eps_0\)。已知原电场强度 \(E\)，求新的电场强度。
- 电场还是均匀分布的（导体等势），但不是原来的电场了。
- 电场在切线方向上一定连续，不会有突变。
Sol
因为平行极板是等势面，所以新的电场 \(E'\) 是均匀的。
设左侧电位移矢量 \(D_0 = \eps_0 E'\)，平行板上自由电荷密度为 \(\s_0\)，则由 Gauss 定律，\(\fr {D_0 S} 2 = \fr {\s_0 S} 2\)，可知 \(\s_0 = D_0\)。
设右侧电位移矢量 \(D_1 = \eps_1 \eps_0 E'\)，平行板上自由电荷密度为 \(\s_1\)，类似有 \(\s_1 = D_1\)。
因为电荷总量不变，所以
\[(\s_0 + \s_1) \fr S 2 = \s S = \eps_0 E S. \]于是
\[(\eps_0 + \eps_1\eps_0) E' = 2\eps_0 E \implies E' = \fr {2} {1 + \eps_1} E. \]
另一个做法：对平行板，有 \(C = \fr {\eps_r \eps_0 S} d\)。
因为 \(C_0 = \fr {\eps_0 S} {2d}\)，\(C_1 = \fr {\eps_1 \eps_0 S} {2d}\)，所以
\[Q = (C_0 + C_1)V' \implies V' = \fr {Q} {C_0 + C_1} = \fr {2\s d} {\eps_0 + \eps_1\eps_0}, \]于是
\[E' = \fr {V'} {d} = \fr {2} {1 + \eps_1} \fr {\s} {\eps_0}. \]
在均匀线性电介质中，\(\div (\eps_r \bs E) = \fr {\rho_f} {\eps_0}\)，\(\curl (\eps_r \bs E) = 0\)，所以
电介质削弱了电场强度，削弱的程度由相对介电常数 \(\eps_r\) 决定。
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