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2018.7-2024.2.3

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正在施工：数论函数与筛法、回忆录。

已经写好且在所有内容写完之前不会大修的（欢迎勘误）：

图论方向

• 图论 I (2024.8.9)：你需要的所有图论知识都在这里。
  • 基础知识：拓扑排序、无向图 DFS 树。
  • 最短路：单源最短路径（Bellman-Ford、Dijkstra、SPFA）、差分约束、全源最短路径（Johnson、Floyd）、扩展问题（最短路树、删边最短路、平面图最小割、\(k\) 短路、同余最短路）。
  • 无向图最小生成树：最小生成树问题（Kruskal、Prim、Boruvka）、拟阵和生成树（拟阵的性质、拟阵上的最优化问题、最小生成树的性质）、扩展问题（次小生成树、\(k\) 小生成树、最小生成树计数、最小度限制生成树）。
  • 无向图连通性之双连通分量：双连通的基本性质（边双连通的性质、点双连通的性质、Menger 定理）、Tarjan 求割点、割边（Tarjan 法、差分法）、边双连通分量缩点。
  • 有向图可达性之强连通分量：有向图 DFS 树、Tarjan 求 SCC、Kosaraju 算法。
  • 欧拉回路：欧拉图判定（有向图、无向图、混合图）、Hierholzer 算法。
• 图论 II (2025.2.13)：进阶知识 & 理性娱乐。
  • 2-SAT：布尔逻辑式相关概念、2-SAT 的求解与字典序最小解。
  • 点双连通进阶之广义圆方树：点双缩点、Tarjan 算法求广义圆方树、圆方树的形态和性质。
  • 双连通进阶之耳分解和双极定向：耳分解的存在性定理及其构造、双极定向的存在性定理及其构造。
  • 支配树：支配关系及其性质（偏序集）、DAG 支配树、一般图支配树。
• 网络流 (2025.7.7)：
  • 网络最大流：增广路、最大流最小割定理、Edmonds-Karp、Dinic。
  • 无负环的费用流：SSP、Primal-Dual。
  • 上下界网络流：无源汇可行流、有源汇可行流、有源汇最大流、有源汇最小流、无源汇费用流、有源汇费用流、有负环的费用流。
  • 常见模型：最小割点、集合划分模型、最大权闭合子图、切糕模型、区间选择模型、最大密度子图、二分图相关、DAG 最小路径覆盖。
  • 网络流 24 题。
• 同余最短路的转圈技巧 (2024.8.11)：同余最短路不再需要最短路。
• 冷门科技 —— DFS 序求 LCA (2024.8.11)：还在为欧拉序 LCA 忘记开两倍空间而烦恼？DFS 序也能求 LCA！

数据结构方向

• 线段树进阶 Part 1 (2024.8.12)：
  • 常见技巧：信息设计、抽象线段树、维护历史信息（历史最值、历史和）、动态开点、标记永久化、线段树二分。
  • 可持久化线段树：可持久化线段树及其应用（强制在线静态二维数点、静态区间第 \(k\) 小）、其它可持久化数据结构。
  • 线段树合并：线段树合并及其应用（可持久化、SAM 的 endpos 集合、整体 DP）、线段树分裂。
  • 树套树：BIT 套线段树（带修二维数点、动态逆序对、动态区间第 \(k\) 小）。

数学方向

• 同余代数 (2025.1.28)：
  • 基础知识：同余的性质、Fermat 小定理、乘法逆元（\(\mathcal{O}(1)\) 在线逆元）、Lagrange 定理、（扩展）Wilson 定理、Kummer 定理、步长和子环、（扩展）Euler 定理、同余式的除法、*循环群和直积。
  • 二元线性不定方程：Bezout 定理、扩展欧几里得算法 exgcd、特解的数值范围和通解形式。
  • 线性同余方程组：中国剩余定理 CRT、扩展中国剩余定理 exCRT、*抽象代数中的 CRT。
  • 组合数取模：Lucas 定理、exLucas 定理。
  • 离散对数问题：大步小步算法 BSGS、扩展大步小步算法 exBSGS。
  • 阶与原根：阶及其性质与求法、原根（原根判定定理、原根存在定理、原根个数定理、原根的求法、原根和单位根）、*\((\mathbb Z / n\mathbb Z) ^ \times\) 的结构、
  • N 次剩余问题：N 次剩余的定义、Legendre 符号、二次剩余的分布和判定、Euler 准则、模意义下开平方根、模意义下开 N 次根。
• OI 中的群论 (2025.8.27)：群和群作用、轨道-稳定子定理、Burnside 引理、Pólya 计数定理。