《微积分 A2》学习笔记 IV —— 级数

\[% 希腊字母 \def \a {\alpha} \def \b {\beta} \def \d {\delta} \def \eps {\varepsilon} \def \g {\gamma} \def \la {\lambda} \def \o {\omega} \def \O {\Omega} \def \ph {\varphi} \def \t {\theta} \def \D {\Delta} \def \G {\Gamma} \def \s {\sigma} \def \S {\Sigma} % mathrm & mathbb \def \dd {\mathrm{d}} \def \DD {\mathrm{D}} \def \e {\mathrm{e}} \def \i {\mathrm{i}} \def \N {\mathbb{N}} \def \Z {\mathbb{Z}} \def \Q {\mathbb{Q}} \def \R {\mathbb{R}} \def \C {\mathbb{C}} % 环境 \def \bf {\mathbf} \def \rm {\mathrm} \def \sf {\mathsf} \def \tt {\texttt} \def \al {\mathcal} \def \scr {\mathscr} \def \op {\operatorname} \def \bal{\begin{aligned}} \def \eal {\end{aligned}} \def \bc {\begin{cases}} \def \ec {\end{cases}} \def \bpm {\begin{pmatrix}} \def \epm {\end{pmatrix}} \def \bvm {\begin{vmatrix}} \def \evm {\end{vmatrix}} % 数学符号 \def \l {\left} \def \r {\right} \def \fr {\frac} \def \sq {\sqrt} \def \pr {\Pr} \def \pif {{+\infty}} \def \ov {\overline} \def \ud {\underline} \def \bs {\backslash} \def \sm {\setminus} \def \mps {\mapsto} \def \str {\stackrel} \def \dash {\textendash} \def \gr {\op{grad}} \def \tr {\op{tr}} \def \na {\nabla} \def \pa {\partial} \def \fo {\forall} \def \xeq {\xlongequal} \def \szn {\sum_{i = 0} ^ n} \def \son {\sum_{i = 1} ^ n} \newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|} \newcommand{\nm}[1]{\| #1 \|} \newcommand{\an}[1]{\left \langle #1 \right\rangle} % 微积分 \def \ait {\int_{-\infty} ^ \pif} % all intergral \def \git {\int_0 ^ \pif} \def \w {\wedge} \newcommand{\infn}[1]{\| #1 \|_{\infty}} \newcommand{\p}[2]{\frac {\pa #1} {\pa #2}} \newcommand{\lan}{\langle} \newcommand{\ran}{\rangle} \newcommand{\se}[2]{\sum_{#1 = #2} ^ \infty} % 抽代 \def \F {\mathbb F} \def \aut {\operatorname{Aut}} \def \inn {\operatorname{Inn}} \def \cha {\operatorname{char}} \def \syl {\operatorname{Syl}} \def \rt {\rtimes} \def \ch {\operatorname{ch}} \newcommand{\gal}[1]{\operatorname{Gal}(#1)} % 质因数 \def \gd {\mathcal N} % Gaussian distribution \def \var {\mathrm {Var}} \def \T {\Theta} % 普物 \def \hx {\hat x} \def \hy {\hat y} \def \hz {\hat z} \def \hr {\hat r} \def \ht {\hat \t} \def \vr {\vec r} \def \vt {\vec \tau} \def \vv {\vec v} \def \vf {\vec F} \def \va {\vec a} \def \vl {\vec L} \def \vp {\vec p} \def \vo {\vec \omega} \def \dv {\op{div}} \def \cu {\op{curl}} \def \dq {\dot q} % 计算理论 \newcommand{\tm}[1]{\mathcal{O}{\l(#1\r)}} \def \lr {\leftrightarrow} \def \vd {\vdash} \def \vD {\vDash} \def \fo {\forall} \def \ex {\exists} \def \ra {\Rightarrow} \def \ras {\Rightarrow ^ *} \def \poly {\mathsf{poly}} \def \TIM {\mathsf{TIME}} \def \NTIM {\mathsf{NTIME}} \def \P {\mathsf{P}} \def \NP {\mathsf{NP}} \def \NPC {\mathsf{NPC}} \def \NPH {\mathsf{NPH}} \def \EXP {\mathsf{EXP}} \def \EXPSP {\mathsf{EXPSPACE}} \def \NEXP {\mathsf{NEXP}} \def \SP {\mathsf{SPACE}} \def \NSP {\mathsf{NSPACE}} \def \PSP {\mathsf{PSPACE}} \def \PSPC {\mathsf{PSPACEC}} \def \PSPH {\mathsf{PSPACEH}} \def \NPSP {\mathsf{NPSPACE}} \def \L {\mathsf{L}} \def \NL {\mathsf{NL}} \def \NLC {\mathsf{NLC}} \def \NLH {\mathsf{NLH}} \def \PA {\mathsf{PATH}} \def \SAT {\mathsf{SAT}} \def \TQBF {\mathsf{TQBF}} \def \UST {\mathsf{USTCON}} \def \PH {\mathsf{PH}} \def \coNP {\mathsf{coNP}} \def \ATIM {\mathsf{ATIME}} \def \ASP {\mathsf{ASPACE}} \def \AP {\mathsf{AP}} \def \APSP {\mathsf{APSPACE}} \def \AL {\mathsf{AL}} \def \EXPC {\mathsf{EXPC}} \def \EXPH {\mathsf{EXPH}} \def \APSPC {\mathsf{APSPACEC}} \def \APSPH {\mathsf{APSPACEH}} \def \BPTIM {\mathsf{BPTIME}} \def \BPP {\mathsf{BPP}} \def \RP {\mathsf{RP}} \def \coRP {\mathsf{coRP}} \def \ZPP {\mathsf{ZPP}} \def \ppt {\mathrm{p.p.t.}} \def \DIP {\mathsf{DIP}} \def \IP {\mathsf{IP}} \def \GI {\mathsf{GI}} \def \GNI {\mathsf{GNI}} \def \SSAT {\mathsf{\#SAT}} \def \QSAT {\mathsf{QSAT}} \def \AM {\mathsf{AM}} \def \MA {\mathsf{MA}} \def \SIZ {\mathsf{SIZE}} \def \PP {\mathsf{P_{/poly}}} \def \NC {\mathsf{NC}} \def \AC {\mathsf{AC}} \def \PAR {\mathsf{PARITY}} \def \ACC {\mathsf{ACC}} \]

最简单的一集。

222 级数：收敛与绝对收敛

相关概念

级数

形如 \(u_1 + u_2 + \cdots + u_n + \cdots\) 的无穷求和称为 级数，\(u_n\) 称为级数的第 \(n\) 项。

\(S_N = u_1 + \cdots + u_N\) 称为级数的 前 \(N\) 项和，\(S\) 称为级数的 部分和序列。

若 \(S = \lim_{N\to +\infty} S_N\) 存在，则称级数 收敛，极限 \(S\) 称为级数的和，记 \(\se n 1 u_n = S\)。若极限不存在，则级数 发散。

收敛

\(\se n 1 u_n = S\)：\(\forall \eps > 0\)，存在 \(N_\eps \geq 1\) 使得 \(\forall N \geq N_\eps\)，\(\|S_N - S\| < \eps\)，其中 \(u_n\) 属于线性空间 \(V\)，\(\| \cdot \|\) 是 \(V\) 上的一个范数。

数项级数

当 \(u_n\in \R\) 或 \(\C\) 时，\(\|\cdot \|\) 是绝对值，称为 数项级数。

函数项级数

当 \(u_n\) 是集合 \(I\) 上的函数时，称为 \(I\) 上的 函数项级数。

函数项级数不同类型的收敛：

• 逐点收敛：对每个 \(x\in I\)，数项级数 \(\se n 1 u_n(x)\) 收敛。
• 在范数意义下收敛：针对不同的范数，有一致收敛，平均收敛等。比逐点收敛性质更好。

数项级数类似广义积分，函数项级数类似含参广义积分。函数项级数是研究函数无穷求和的性质的重要工具。

性质与例子

以级数收敛为前提。

线性

\[\se n 1 (\la u_n + \mu v_n) = \la \se n 1 u_n + \mu \se n 1 v_n. \]

保序

\[u_n\leq v_n \implies \se n 1 u_n \leq \se n 1 v_n. \]

级数例

\[\se n 0 x ^ {n} = \fr 1 {1 - x}. \]

最经典的 几何级数。当 \(|x| < 1\) 时级数收敛，当 \(|x| \geq 1\) 时级数发散（\(x\) 可以为复数）。

\[\se n 1 \fr 1 {n(n + 1)} = 1. \]

裂项相消。

\[\zeta(2) = \se n 1 \fr 1 {n ^ 2} = \fr {\pi ^ 2} 6. \]

著名的 Basel 问题。

判别法则

正项级数收敛

正项级数 \(\se n 1 a_n\ (a_n\geq 0)\) 收敛当且仅当其部分和序列有上界。

Cauchy 准则

对部分和序列使用 Cauchy 条件。

\[\fo \eps > 0,\ \ex N_\eps \geq 1,\ \op{s.t.}\ \fo N > N_\eps,\ \fo p \geq 1, \|S_{N + p} - S_N\| < \eps. \]

优点：无需求出级数和，只需对连续的有限项使用不等式放缩控制。

收敛 \(\implies\) \(\| u_n\|\to 0\)。反之，若 \(\lim_{u\to +\infty} \| u_n\| = 0\) 不成立，则不收敛。

注意：对广义积分不成立。收敛的广义积分不一定 \(\lim_{x\to +\infty} f(x) = 0\)。

例 1

\[\se n 1 \fr 1 {n ^ x} \]

收敛当且仅当 \(x > 1\)。

证明

当 \(x\leq 0\) 时，\(\fr 1 {n ^ x}\geq 1\)，不满足 Cauchy 准则。

当 \(0 < x \leq 1\) 时，对任意正整数 \(n\)，

\[\sum_{i = 1} ^ n \fr {1} {(n + i) ^ x} \geq n\cdot \fr {1} {(2n) ^ x} \geq \fr 1 {2 ^ x}, \]

不满足 Cauchy 准则。

当 \(x > 1\) 时，对任意正整数 \(n\) 和 \(p\)，

\[\sum_{i = 1} ^ p \fr {1} {(n + i) ^ x} \leq \sum_{i = 1} ^ p \int_{n + i - 1} ^ {n + i} \fr 1 {t ^ x} \dd x = \int_{n} ^ {n + p} \fr 1 {t ^ x} \dd t < \fr {x - 1}{n ^ {x - 1}}. \]

满足 Cauchy 准则，从而收敛。

为离散的级数找收敛积分控制是一个普遍的方法。

积分判别法

设 \(f : (0, +\infty)\to \R\) 非负且单调不增，则 \(\se n 1 f(n)\) 收敛当且仅当 \(\int_{1} ^ {+\infty} f(x) \d x\) 收敛。

\[\se n 1 \fr 1 {n ^ p}, \quad \se n 2 \fr 1{n (\ln n) ^ p}, \quad \se n 3 \fr 1 {n\ln n (\ln\ln n) ^ p} \]

任何一个收敛当且仅当 \(p > 1\)。

绝对收敛

若 \(\se n 1 \| u_n\|\) 收敛，则称 \(\se n 1 u_n\) 绝对收敛。

若级数绝对收敛，则收敛。

绝对收敛的级数满足线性：两个绝对收敛的级数的线性组合绝对收敛。

例 2

当矩阵 \(A\) 满足算子范数 \(\|A \| < 1\) 时，级数 \(I + A + A ^ 2 + \cdots\) 绝对收敛。

证明

由算子范数的性质，

\[\sum_{n = N + 1} ^ {N + p} \| A ^ n\| \leq \sum_{n = N + 1} ^ {N + p} \|A \| ^ n \leq \fr {\| A\| ^ {N + 1}} {1 - \|A\|}. \]

所以 \(\se n 0 A ^ n\) 绝对收敛。

\[\|(I - A)(I + A + \cdots + A ^ N) - I\| = \|{-A ^ {N - 1}}\|\leq \|A\| ^ {N + 1}\to 0 \]

所以级数和为 \((I - A) ^ {-1}\)。

比较法

设 \(\se n 1 v_n\) 收敛。

若存在 \(M > 0\) 和 \(N > 1\) 使得 \(\fo n > N,\ \| u_n\|\leq Mv_n\)（即 \(\|u_n\| = O(v_n), \ n\to +\infty\)），则 \(\se n 1 u_n\) 绝对收敛。

例 3

若 \(\se n 0 a_n z_0 ^ n\) 收敛，\(z_0\neq 0\)，则对任意 \(|z| < |z_0|\)，\(\se n 0 a_n z ^ n\) 绝对收敛。

证明

\(|a_nz_0 ^ n|\) 有界，所以

\[|a_nz ^ n| = |a_nz_0 ^ n| \l (\fr {|z|} {|z_0|}\r) ^ m\leq M \l (\fr {|z|} {|z_0|}\r) ^ m \]

由比较法和几何级数的收敛性，\(\se n 0 a_n z ^ n\) 绝对收敛。

• 幂级数的收敛半径。

例 4

讨论敛散性：

\[\se n 0 \l(\sqrt {n + 2} - 2\sqrt {n + 1} + \sqrt n\r). \]

解

由 Taylor 展开，

\[a_n = O \l(\fr 1 {(n + 1) ^ {\fr 3 2}}\r). \]

因为 \(\se n 1\fr 1 {n ^ {\fr 3 2}}\) 收敛，所以 \(\se n 0 \l(\sqrt {n + 2} - 2\sqrt {n + 1} + \sqrt n\r)\) 收敛。

例 5

若 \(a_n \leq b_n\leq c_n\)，\(\se n 1 a_n\) 与 \(\se n 1 c_n\) 都收敛，则 \(\se n 1 b_n\) 收敛。

若进一步，\(\se n 1 a_n\) 与 \(\se n 1 c_n\) 中至少一个绝对收敛，则另外两个级数也绝对收敛。

证明

根据

\[0\leq b_n - a_n \leq c_n - a_n \]

使用比较法和绝对收敛的线性证明即可。注：非负项级数收敛则绝对收敛。

D'Alembert（达朗贝尔）比值判别法

若 \(\lim_{n\to +\infty} \fr {|a_{n + 1}|}{|a_n|} < 1\)（\(\ov\lim_{n\to +\infty} \fr {|a_{n + 1}|}{|a_n|} < 1\)），则 \(\se n 1 a_n\) 绝对收敛。

若 \(\lim_{n\to +\infty} \fr {|a_{n + 1}|}{|a_n|} > 1\)（\(\underline\lim_{n\to +\infty} \fr {|a_{n + 1}|}{|a_n|} > 1\)），则 \(\se n 1 a_n\) 发散。

本质上在和几何级数比较。在 \(\lim_{n\to +\infty} \fr {|a_{n + 1}|}{|a_n|}\) 和 \(1\) 之间选择 \(q\)，借助公比为 \(q\) 的几何级数证明收敛。根据通项不趋于 \(0\) 证明发散。

Cauchy 根式判别法

若 \(\lim_{n\to +\infty} \sqrt [n] {|a_n|} < 1\)（\(\ov\lim_{n\to +\infty} \sqrt [n] {|a_n|} < 1\)），则 \(\se n 1 a_n\) 绝对收敛。

若 \(\lim_{n\to +\infty} \sqrt [n] {|a_n|} > 1\)（\(\ov\lim_{n\to +\infty} \sqrt [n] {|a_n|} > 1\)），则 \(\se n 1 a_n\) 发散。

和 D'Alembert 差不多，但更强（需要将极限改成上下极限）。

例 6

讨论敛散性：

\[\se n 0 \fr {n!} {n ^ n},\quad \se n 0 \fr {n ^ 2} {3 ^ n}, \quad \fr 1 2 + \fr 1 3 + \fr 1 {2 ^ 2} + \fr 1 {3 ^ 2} + \cdots. \]

解

(1) 使用 D 较方便。

(2) 使用 D 和 C 均可。

(3) 使用 D 无法判断，C 可以判断。

(3) 使用线性会有问题，因为这只证明了 \(\se n 1 \l(\fr 1 {2 ^ n} + \fr 1 {3 ^ n}\r)\) 收敛，即级数的前 \(2N\) 项和收敛。推出 \(S_N\) 收敛还需检查 \(S_{2N + 1}\) 收敛至同一极限。这告诉我们处理级数不能随意打括号。

例 7

求幂级数

\[\se n 0 \fr {z ^ n} {n!} \]

的收敛域。

解

\(z = 0\) 时显然收敛。

使用 D 可知幂级数对任意 \(z\neq 0\) 收敛。若使用 C 则还需 Stolz 定理确定极限。

幂级数的收敛半径

\[R = \fr {1} {\ov{\lim}_{n\to +\infty} \sqrt [n]{|a_n|}}. \]

对任意 \(|z| < R\)，\(\se n 0 a_n z ^ n\) 绝对收敛；对任意 \(|z| > R\)，\(\se n 0 a_n z ^ n\) 发散。

\(\se n 0 \fr {z ^ n} {n!}\) 的收敛半径 \(R = +\infty\)，\(\se n 0 n! z ^ n\) 的收敛半径 \(R = 0\)。

\(\se n 0 a_nz ^ n, \se n 0 na_nz ^ n, \se n 0 \fr {a_n} nz ^ n\) 的收敛半径相等。这为幂级数的求导和积分操作提供收敛信息。

例 8

讨论敛散性：

\[\se n 1 \fr 1 {n ^ x}. \]

解

D 判别法和 C 判别法均失效。需要 R 判别法。

Raabe（拉比）判别法

设 \(a_n > 0\)。

• 若 \(\underline{\lim}_{n\to +\infty} n\l(\fr {a_n}{a_{n + 1}} - 1\r) > 1\)，则 \(\se n 1 a_n\) 收敛。
• 若 \(\ov{\lim}_{n\to +\infty} n\l(\fr {a_n}{a_{n + 1}} - 1\r) < 1\)，则 \(\se n 1 a_n\) 发散。

证明

设 \(\underline{\lim}_{n\to +\infty} n\l(\fr {a_n}{a_{n + 1}} - 1\r) > q > p > 1\)，则存在 \(N\) 使得对任意 \(n\geq N\)

\[n\l(\fr {a_n}{a_{n + 1}} - 1\r) > q > p > 1,\quad \l(1 + \fr 1 n\r) ^ p = 1 + \fr p n + o\l(\fr 1 n\r) < 1 + \fr q n. \]

此时

\[\fr {a_{n + 1}(n + 1) ^ p} {a_nn ^ p} = \l(\fr {n + 1} n\r) ^ p \fr {a_{n + 1}} {a_{n}} < \l(1 + \fr q n\r) \fr {a_{n + 1}} {a_n} < 1, \]

\[a_{n}n ^ p < a_N N ^ p \implies a_n < \fr 1 {n ^ p} a_N N ^ P < M\fr 1 {n ^ p}. \]

所以 \(\se n 1 a_n\) 收敛。

理解（辅助记忆，不严谨）：\(\se n 1 \fr 1 n\) 是收敛和发散的分界线，对应下降速度（前项比后项）\(\fr {a_n} {a_{n + 1}} = \fr {n + 1} n\)。如果下降速度大于 \(\fr {n + 1} n\)，那么收敛。如果下降速度小于 \(\fr {n + 1} n\)，那么发散。当下降速度相同时，需要借助更精细的级数进行比较。

例 9

讨论敛散性：

\[1 + \se n 1 \fr {\mu (\mu - 1) \cdots (\mu - n + 1)} {n!} x ^ n. \]

注：该级数实际上是 \((1 + x) ^ \mu\) 的展开。

解

当 \(\mu = 0\) 时，幂级数收敛半径为 \(+\infty\)。以下设 \(\mu\neq 0\)。

由 D 判别法

\[\fr {|a_{n + 1} x ^ {n + 1}|} {|a_n x ^ n|} = \fr {|\mu - n|} {n + 1} |x|\to |x|,\quad n\to +\infty \]

收敛半径为 \(1\)。

当 \(x = -1\) 时，通项 \(b_n = (-1) ^ na_n\) 最终不变号。由 R 判别法

\[n\l(\fr {b_n} {b_{n + 1}} - 1\r) = n\l(\fr {n + 1} {n - \mu} - 1\r) \to 1 + \mu, \quad n\to +\infty \]

收敛当且仅当 \(\mu > 0\)。

当 \(x = 1\) 时，若 \(\mu \leq -1\)，则 \(|a_n| \geq 1\)，级数发散。若 \(\mu > -1\)，则级数最终交替正负。设

\[c_k = a_{2k} + a_{2k + 1} = \fr {(-\mu)(1 - \mu) \cdots (2k - 1 - \mu)} {(2k + 1)!}(1 + \mu) \]

则 \(c_k\) 最终不变号，且由 R 判别法

\[n\l(\fr {c_n} {c_{n + 1}} - 1\r) \to 2 + \mu > 1,\quad k\to +\infty \]

所以 \(\se k 0 c_k\) 收敛。此时 \(\se n 0 a_n\) 收敛当且仅当 \(\lim_{n\to +\infty} a_n = 0\)。可以证明极限确实为 \(0\)（取对数，\(\ln |a_n|\) 的极限是某个级数和）。

223 级数：条件收敛

相关概念

条件收敛

收敛但不绝对收敛的级数称为 条件收敛。

对条件收敛的级数，比较法不成立。

交错级数

形如 \(\se n 1(-1) ^ {n - 1} a_n\ (a_n\geq 0)\) 的级数。

判别法则

Leibniz 判别法

设 \(a_n\geq 0\) 且 单调不增，则级数 \(\se n 1 (-1) ^ {n - 1} a_n\) 收敛当且仅当 \(\lim_{n\to +\infty} a_n = 0\)。

理解：\(S_{2n}\) 单调不减且不大于 \(a_1\)，所以部分和序列偶数项极限存在。

例 1

讨论敛散性：

\[\se n 1 \fr {x ^ n} n. \]

解

收敛半径 \(R = 1\)。

当 \(x = 1\) 时，调和级数发散。

当 \(x = -1\) 时，由 L 判别法，级数收敛。

例 2

讨论敛散性：

\[\se n 1 \fr {(-1) ^ {n - 1}} {n ^ \a + (-1) ^ {n - 1}}. \]

解

当 \(\a < 0\) 时，级数通项趋于 \(1\)，发散。

当 \(\a > 0\) 时，\(|a_n|\) 和 \(\fr 1 {n ^ \a}\) 的比值趋于 \(1\)。因此 \(\a > 1\) 时绝对收敛，\(0 < \a \leq 1\) 时不绝对收敛。

\[a_n = \fr {(-1) ^ {n - 1}} {n ^ \a} \fr 1 {1 + \fr {(-1) ^ {n - 1}} {n ^ \a}} = \fr {(-1) ^ {n - 1}} {n ^ \a} - \fr 1 {n ^ {2\a}}(1 + o(1)). \]

前一项收敛，因此 \(\se n 1 a_n\) 收敛当且仅当 \(\se n 1 \fr 1 {n ^ {2\a}}\) 收敛。可知 \(0 < \a\leq \fr 1 2\) 时发散，\(\fr 1 2 < \a \leq 1\) 时条件收敛。

Dirichlet 判别法

设 \(\se n 1 u_n\) 的部分和有界，数列 \(v_n\) 单调，\(\lim_{n\to +\infty} v_n = 0\)，则 \(\se n 1 u_nv_n\) 收敛。

交错级数的 L 判别法是 Dirichlet 判别法的特例。

证明

不妨设 \(v_n\) 单调不增。

\[\bal & \; |u_{n + 1}v_{n + 1} + \cdots + u_{n + p}v_{n + p}| \\ = & \; |(U_{n + 1} - U_n) v_{n + 1} + \cdots + (U_{n + p} - U_{n + p - 1}) v_{n + p}| \\ = & \; |U_{n + p}v_{n + p} - U_nv_{n + 1} + U_{n + 1} (v_{n + 1} - v_{n + 2}) + \cdots + U_{n + p - 1} (v_{n + p - 1} - v_{n + p})| \\ \leq & \; M|v_{n + p}| + M|v_{n + 1}| + M|v_{n + 1} - v_{n + 2}| + \cdots + M|v_{n + p - 1} - v_{n + p}| \\ \leq & \; 2Mv_{n + 1}. \eal \]

本质是分部积分的过程。

Abel 判别法

设级数 \(\se n 1 u_n\) 收敛，数列 \(v_n\) 单调有界，则 \(\se n 1 u_nv_n\) 收敛。

证明

记 \(\b\) 为 \(v_n\) 的极限，则

\[\se n 1 u_nv_n = \se n 1 u_n\b + \se n 1 u_n(v_n - \b). \]

由 Dirichlet 判别法知级数收敛。

例 3

讨论敛散性：

\[\se n 1 \fr {z ^ n} n. \]

解

已知收敛半径为 \(1\)。

对 \(z = \e ^ {\i\t}\ (0 < \t < 2\pi)\)，

\[\abs {\sum_{n = 1} ^ N \e ^ {\i n\t}} = \abs {\fr {\e ^ {\i\t} - \e ^ {\i N\t}}{1 - \e ^ {\i \t}}} \leq \fr {2} {|1 - \e ^ {\i\t}|}. \]

由 Dirichlet 判别法知级数收敛。

Riemann 重排定理

收敛级数满足线性和级数内部的结合律，但只有绝对收敛的级数满足级数内部的交换律。

结论：设实级数 \(\se n 0 a_n\) 条件收敛。则 \(\forall A\in \R\cup \{-\infty, +\infty\}\)，存在双射 \(\s : \N\to \N\) 使得 \(\se n 0 a_{\s(n)} = A\)。

证明

条件收敛的级数正项和与负项和无界。适当安排正负项的顺序，根据通项趋于 \(0\) 的性质，构造部分和在 \(A\) 附近震荡且振幅越来越小的级数。特别地，若 \(A = +\infty\)，设置不断增加的无界阈值，每次达到阈值就加入下标最小的没用过的负项。对于 \(A = -\infty\) 同理。

结论：设 \(\se n 0 v_n\) 绝对收敛，则对于所有双射 \(\s : \N\to \N\)，\(\se n 0 v_{\s(n)}\) 绝对收敛且等于 \(\se n 0 v_n\)。

推论：设 \(\se n 0 v_n\) 和 \(\se n 0 w_n\) 绝对收敛，则对任何双射 \(\s : \N \to \N\times \N\)，\(\se n 0 v_{\s_1(n)}w_{\s_2(n)}\) 绝对收敛，且

\[\se n 0 v_{\s_1(n)}w_{\s_2(n)} = \se n 0 v_n \cdot \se n 0 w_n. \]

特别地（为了处理幂级数的乘积），

\[\se n 0 \sum_{i + j = n} v_iw_j = \se n 0 v_n \cdot \se n 0 w_n. \]

等式左侧称为 Cauchy 乘积。

例 4

设矩阵 \(AB\) 满足 \(AB = BA\)，则

\[\se n 0 \fr {(A + B) ^ n} {n!} = \se n 0 \fr {A ^ n} {n!} \cdot \se n 0 \fr {B ^ n} {n!}. \]

记 \(\exp A = \se n 0 \fr {A ^ n} {n!}\)，则

\[\exp (A + B) = \exp A \cdot \exp B. \]

例 5

求

\[\se n 1 nx ^ n. \]

解

收敛半径 \(R = 1\)。当 \(|x| < 1\) 时，级数绝对收敛，此时

\[\se n 1 nx ^ n = \se n 1 x ^ n \se m 0 x ^ {m} = x\se n 0 \fr {x ^ n} {1 - x} = \fr x {(1 - x) ^ 2}. \]

224 函数项级数与一致收敛 1

类似含参广义积分的一致收敛，其中 \(x\) 是参数。和含参广义积分一样，一致收敛的函数项级数支持各种极限操作。

定义与性质

一致收敛

函数项级数 \(\se n 1 u_n(x)\) 在 \(I\) 上 一致收敛 于 \(S(x)\)，若 \(\forall\eps > 0\)，存在正整数 \(N_{\eps} \geq 1\) 使得 \(\forall N > N_{\eps}\) 以及 \(\forall x \in I\)，\(\abs {\sum_{n = 1} ^ N u_n(x) - S(x)} < \eps\)。记为 \(\se n 1 u_n(x) \overset{I}{\rightrightarrows} S(x)\)。

不一致收敛：存在 \(\eps > 0\) 使得 \(\forall N > 1\)，存在 \(M > N\) 以及 \(x_N\in I\)，\(\abs {\sum_{n = 1} ^ M u_n(x_N) - S(x_N)} \geq \eps\)。

例 1

\[\se n 0 (-1) ^ {n}x ^ {2n}. \]

收敛当且仅当 \(|x| < 1\)，和函数为 \(S(x) = \fr 1 {1 + x ^ 2}\)。

任意给定 \(0 < \d < 1\)，在 \([-1 + \d, 1 - \d]\) 上一致收敛：

\[\abs {\sum_{k = 0} ^ n (-1) ^ k x ^ {2k} - \fr 1 {1 + x ^ 2}} = \abs {\fr {1 - (-x ^ 2) ^ {n + 1}} {1 + x ^ 2} - \fr {1} {1 + x ^ 2}} = \fr {|x| ^ {2n + 2}} {1 + x ^ 2} \leq (1 - \d) ^ {2n}. \]

所以 \(\fo \eps > 0\)，当 \(n > \fr {\ln \eps} {2\ln (1 - \d)}\) 时，对任意 \(|x| \leq 1 - \d\)，\(|S_n(x) - S(x)| < \eps\)。

级数在收敛域 \(|x| < 1\) 内部的任何闭子集上一致收敛，称为 内闭一致收敛。

但级数在 \((-1, 1)\) 上不一致收敛。取 \(x_n = 1 - \fr 1 n\)，则 \(S_n(x_n) - S(x_n) \geq \fr {(1 - \fr 1 n) ^ {2(n + 1)}} 2 \to \fr 1 {2\e ^ 2}\)。对另一侧，类似取 \(y_n = -1 + \fr 1 n\)。

---

对于有界、连续、可积性，设 \(\se n 1 u_n(x)\) 在 \(I\) 上一致收敛于 \(S(x)\)。

有界性

若每个 \(u_n(x)\) 是有界函数，则 \(S(x)\) 是有界函数，\(u_n(x)\) 在 \(I\) 上一致有界。

连续性

若 \(\lim_{x\to a} u_n(x) = v_n\)，则 \(\se n 1 v_n\) 收敛，且 \(\lim_{x\to a} S(x) = \se n 1 v_n\)，即

\[\lim_{x\to a} \se n 1 u_n(x) = \se n 1 \lim_{x\to a} u_n(x). \]

若每个 \(u_n(x)\) 在 \(x_0\) 处连续，则 \(S(x)\) 在 \(x_0\) 处连续。

\(\se n 0 x ^ n\) 不一致收敛，和函数 \(S(x) = \fr 1 {1 - x}\) 在 \(x = 1\) 处不连续，在 \(x = 1\) 附近无界。

和函数在 \(x = -1\) 处连续，在 \(x = -1\) 附近有界，但级数在 \(x = -1\) 不收敛，在 \(x = -1\) 附近不一致收敛。

可积性

若 \(u_n(x)\in \scr R(I)\)，则 \(S(x)\in \scr R(I)\)，且

\[\int_I \se n 1 u_n(x) \dd x = \se n 1 \int_I u_n(x) \dd x \]

可微性

若

• \(u_n(x)\in \scr C ^ 1(I)\)；

• \(\se n 1 u'_n(x)\) 在 \(I\) 上一致收敛于 \(T(x)\)；

• 存在 \(x_0\in I\) 使得 \(\se n 1 u_n(x_0)\) 收敛，

则 \(\se n 0 u_n(x)\) 在 \(I\) 的有界闭区间上一致收敛，和函数 \(S(x)\) 满足 \(S'(x) = T(x)\)，即

\[\l(\se n 1 u_n(x)\r)' = \se n 1 u'_n(x). \]

判定

Cauchy 准则

一致收敛当且仅当一致 Cauchy：即 \(\forall \eps > 0\)，存在 \(N_{\eps} \geq 1\) 使得 \(\forall N \geq N_{\eps}\)，\(\forall p \geq 1\) 以及 \(\forall x\in I\)，都有

\[\abs {\sum_{n = N + 1} ^ {N + p} u_n(x)} < \eps. \]

Weierstrass 判别法

设 \(\se n 1 v_n(x)\) 一致收敛，且存在 \(M > 0\) 使得对足够大的 \(n\)，\(|u_n(x)| \leq M v_n(x)\)，则 \(\se n 1 u_n(x)\) 一致收敛。

一般取数项级数作为函数项级数，本质是比较法。

Dirichlet 判别法

设 \(\se n 1 u_n(x)\) 的部分和在 \(I\) 上一致有界，\(v_n(x)\) 关于 \(n\) 单调且 \(v_n\overset {I}{\rightrightarrows} 0\)，则 \(\se n 1 u_n(x)v_n(x)\) 在 \(I\) 上一致收敛。

Abel 判别法

设 \(\se n 1 u_n(x)\) 一致收敛，\(v_n(x)\) 关于 \(n\) 单调且对 \(x\in I\) 一致有界，则 \(\se n 1 u_n(x)v_n(x)\) 在 \(I\) 上一致收敛。

幂级数

幂级数 \(\se n 0 a_nx ^ n\) 在其收敛域内内闭一致收敛：\(\forall r < R\)，\(\forall |x| \leq r\)，\(|a_nx ^ n| \leq |a_nr ^ n|\)。因为 \(\se n 0 a_nr ^ n\) 绝对收敛，由 Weierstrass 判别法，\(\se n 0 a_nx ^ n\) 在 \(|x| \leq r\) 上一致绝对收敛。

幂级数逐项求导和积分不改变收敛半径（但可能改变边界上的敛散性），所以在收敛域内幂级数的和函数是 \(\scr C ^ {\infty}\) 函数，且和函数的导数和积分可以通过逐项求导和积分计算。

由 \(a_nx ^ n = a_nx_0 ^ n(\fr {x} {x_0}) ^ n\) 和 Abel 判别法，若幂级数在 \(x_0\) 处收敛，则它在 \([0, x_0]\) 上一致收敛，和函数在 \([0, x_0]\) 上连续。已知幂级数在收敛域开区间内的和函数 \(S(x)\)，若幂级数在边界 \(x = x_0\) 处收敛，则幂级数真正的和函数在 \(x_0\) 处的取值等于 \(S(x_0)\) 或当 \(S\) 在 \(x_0\) 处无定义时，\(S\) 在 \(x_0\) 处的极限。

对数函数

\[1 + x + x ^ 2 + \cdots = \fr 1 {1 - x}, \quad |x| < 1. \]

逐项求导得

\[1 + 2x + 3x ^ 2 + \cdots = \l(\fr 1 {1 - x}\r)' = \fr {1} {(1 - x) ^ 2},\quad |x| < 1. \]

逐项积分得

\[x + \fr {x ^ 2} 2 + \fr {x ^ 3} 3 + \cdots = \int_0 ^ x \fr 1 {1 - t} \dd t = -\ln(1 - x), \quad |x| < 1. \]

\[x - \fr {x ^ 2} 2 + \fr {x ^ 3} 3 + \cdots = \ln(1 + x), \quad |x| < 1. \]

级数在 \(x = 1\) 处收敛（交错级数），所以 \(x\) 的范围可以扩大至 \((-1, 1]\)。

反正切函数

\[1 - x ^ 2 + x ^ 4 - \cdots = \fr {1} {1 + x ^ 2}, \quad |x| < 1. \]

逐项积分得

\[x - \fr {x ^ 3} 3 + \fr {x ^ 5} 5 - \cdots = \int_0 ^ x \fr 1 {1 + t ^ 2} \dd t = \arctan x,\quad |x| < 1. \]

级数在 \(x = \pm 1\) 处收敛（Leibniz 判别法），所以 \(x\) 的范围可以扩大至 \([-1, 1]\)。

指数函数

\[S(x) = \se n 0 \fr {x ^ n} {n!}. \]

收敛半径 \(R = +\infty\)，满足

\[\bc S'(x) = S(x), \\ S(0) = 1. \ec \]

\(S(x) = \e ^ x\) 是唯一解。

\[1 + x + \fr {x ^ 2} 2 + \fr {x ^ 3} 3 + \cdots = \e ^ x,\quad x \in \R. \]

三角函数

\[C(x) = \se n 0 \fr {(-1) ^ n x ^ {2n}} {(2n)!},\quad S(x) = \se n 0 \fr {(-1) ^ n x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}. \]

收敛半径 \(R = +\infty\)，满足

\[\bc S'(x) = C(x), \\ C'(x) = -S(x), \\ S(0) = 0, \\ C(0) = 1. \ec \]

\(C(x) = \cos x,\ S(x) = \sin x\) 是唯一解。

\[\se n 0 \fr {(\i x) ^ n} {n!} = C(x) + \i S(x) \implies \e ^ {\i x} = \cos x + \i \sin x. \]

幂函数

\[S_{\mu}(x) = 1 + \se n 1 \fr {\mu(\mu - 1) \cdots (\mu - n + 1) x ^ n} {n!}. \]

收敛半径 \(R = 1\)，满足

\[\bc (1 + x)(S_{\mu})'(x) = \mu S_{\mu}(x), \\ S_{\mu}(0) = 1. \ec \]

\(S_{\mu}(x) = (1 + x) ^ \mu\) 是唯一解。

反正弦函数

\[(\arcsin x)' = (1 - x ^ 2) ^ {-\fr 1 2} = 1 + \se n 1 \fr {(2n - 1)!!x ^ {2n}} {2 ^ n n!}, \quad |x| < 1. \]

逐项积分得

\[\arcsin x = x + \se n 1 \fr {(2n - 1)!! x ^ {2n + 1}} {(2n)!!(2n + 1)}, \quad |x| < 1. \]

级数在 \(x = \pm 1\) 处收敛（Raabe 判别法），所以 \(x\) 的范围可以扩大至 \([-1, 1]\)。

例 2

\[S(x) = \se n 0 \fr {x ^ {2n}} {(2n)!}. \]

解

\(S''(x) = S(x)\)，\(S(0) = 1\)，\(S'(0) = 0\)，解得 \(S(x) = \cosh(x)\)。

或考虑 \(S(\i x) = \cos x = \fr {\e ^ {\i x} + \e ^ {-\i x}} 2\)，所以 \(S(x) = \fr {\e ^ x + \e ^ {-x}} 2\)。

例 3

\[\int_{0} ^ 1 x ^ x \dd x. \]

解

\[\bal I & = \int_0 ^ 1 \e ^ {x\ln x} \dd x \\ & = \int_0 ^ 1 \se n 0 \fr {(x\ln x) ^ n}{n!} \dd x \\ & = \se n 0 \fr {(-1) ^ n} {n! (n + 1) ^ {n + 1}} \int_0 ^ {+\infty} \e ^ {-t}t ^ n\dd t & (x = \e ^ {-\fr t {n + 1}}) \\ & = \se n 1 \fr {(-1) ^ {n - 1}} {n ^ n}. \eal \]

例 4

\[S(x) = \se n 1 \fr {x ^ n} {n(n + 1)}. \]

解

\[(xS(x))'' = \fr 1 {1 - x} \]

解得

\[S(x) = \bc 1 + \fr {(1 - x)\ln(1 - x)} {x}, & 0 < |x| < 1; \\ 0, & x = 0. \ec \]

幂级数的收敛域为 \([-1, 1]\)。因为 \(\lim_{x\to 1 ^ -} \fr {(1 - x)\ln(1 - x)} {x} = 0\)，所以

\[S(x) = \bc 1 + \fr {(1 - x)\ln(1 - x)} {x}, & -1\leq x < 1,\ x\neq 0; \\ 0, & x = 0; \\ 1, & x = 1. \ec \]

Maclaurin 级数

设 \(\se n 0 a_n x ^ n\) 的收敛半径 \(R > 0\)，则 \(a_n = \fr {S ^ {(n)}(0)} {n!}\)，即幂级数是和函数的 Maclaurin 级数。

注意：Maclaurin 级数的和函数不一定收敛到原函数。反例

\[\bc \e ^ {-\fr 1 {x ^ 2}}, & x\neq 0; \\ 0, & x = 0. \ec \]

解析函数

\(f : D \to \R\) 是 解析函数，若 \(f\) 在 \(D\subset \R\) 的每个点 \(x_0\) 附近可以展成收敛的幂级数

\[\se n 0 a_n(x - x_0) ^ n,\quad |x - x_0| < \d_{x_0}. \]

解析函数是 \(\scr C ^ {\infty}\) 函数，能表示为唯一的收敛幂级数：它的 Taylor 级数。

• 用幂级数求和定义的函数一定是解析函数。
• 复可微函数是解析函数。
• 解析函数是性质相当好的函数。

有些时候必须在复平面上才能看清一个函数：实函数 \(\fr 1{1 + x ^ 2}\) 在 \(\R\) 上有界，但其 Taylor 级数仅在 \((-1, 1)\) 上收敛，因为 \(\fr 1 {1 + z ^ 2}\) 在 \(\C\) 上有极点 \(\pm \i\)，幂级数收敛半径 \(R = 1\)。

225 函数项级数与一致收敛 2

WXF 特有的知识点进阶讲解。

例 1

求 Bessel 方程 \(x ^ 2y'' + xy' + (x ^ 2 - n ^ 2)y = 0\) 的幂级数形式的解。

解

设 \(y = \se k 0 a_k x ^ k\) 是方程的解，带入方程比较 \(x ^ k\) 的系数。

当 \(n\notin \Z\) 时，所有 \(a_k = 0\)。

当 \(n = 0\) 时，\(a_{2k + 1} = 0\)，\(a_{2k} = \fr {(-1) ^ ka_0} {(2k)!! ^ 2}\)。

当 \(n = 1\) 时，\(a_{2k} = 0\)，\(a_{2k + 1} = \fr {(-1) ^ k2a_1} {(2k)!!(2k + 2)!!}\)。

当 \(n\) 是其它整数时 ……

例 2

证明

\[\se n 1 \fr {\sin nx} n = \bc \fr {\pi - x} 2, & 0 < x < 2\pi; \\ 0, & x = 0, 2\pi, \ec \]

且在 \((0, 2\pi)\) 上内闭一致收敛。

证明

\[\sin nx = \fr {\e ^ {\i n x} - \e ^ {-\i n x}} {2\i}. \]

考虑幂级数 \(\se n 1 \fr {z ^ n} n\)，其收敛半径为 \(1\)。当 \(|z| = 1\) 且 \(|z - 1| \geq \delta\) 时

\[\abs{\sum_{n = 1} ^ N z ^ n} = \abs{\fr {z - z ^ {N + 1}} {1 - z}} \leq \fr 2 \delta. \]

由 Dirichlet 判别法，幂级数在 \(\{z\in \C \mid |z| = 1,\ |z - 1| \geq \delta\}\) 上一致收敛。因此 \(\se n 1 \fr {\sin nx} n\) 在 \((\delta_0, 2\pi - \delta_0)\) 上一致收敛。

\[\bal \sum_{n = 1} ^ N \fr {\sin n x} {n} & = \sum_{n = 1} ^ N \int_{\pi} ^ x \cos nt\dd t \\ & = \int_{\pi} ^ x \sum_{n = 1} ^ N \cos nt \dd t \\ & = \int_{\pi} ^ x \fr {\sin(N + \fr 1 2) t - \sin \fr t 2} {2\sin \fr t 2} \dd t \\ & = \int_\pi ^ x \fr {\sin(N + \fr 1 2)t} {2\sin \fr t 2} \dd t + \fr {\pi - x} 2 \eal \]

根据 \(\sin(N + \fr 1 2) t\dd t = \dd \fr {\cos(N + \fr 1 2) t} {N + \fr 1 2}\)（将不断变大的 \(N\) 搬到分母上）分部积分

\[\int_\pi ^ x \fr {\sin(N + \fr 1 2)t} {2\sin \fr t 2} \dd t = \l.\fr {\cos(N + \fr 1 2)t} {(2N + 1) \sin \fr t 2}\r|_{\pi} ^ x - \int_{\pi} ^ x \fr {\cos(N + \fr 1 2) t} {2N + 1} \fr {\cos \fr t 2} {2\sin ^ 2 \fr t 2} \dd t \]

当 \(N\to +\infty\) 时，上式趋于 \(0\)。因此，对 \(0 < x < 2\pi\)，\(\se n 1 \fr {\sin nx} n = \fr {\pi - x} 2\)。

一般结论：区间上的可积函数乘以震荡幅度越来越快的 \(\sin nx\) 或 \(\cos nx\)，乘积函数在区间上的积分趋于 \(0\)。

等差数列三角函数的求和技巧：

\[\sum_{n = 1} ^ N \sin n\a \cdot 2\sin \fr \a 2 = \sum_{n = 1} ^ N\l[\cos(n\a - \fr \a 2) - \cos(n\a + \fr \a 2)\r] = \cos \fr \a 2 - \cos(N\a + \fr \a 2). \]

放在复平面上就是 \(\e ^ {\i n\a}\) 等比数列求和，观察实部和虚部。

例 3

证明级数

\[\se n 1 \fr {\cos n x} {n ^ 2} \]

对任意实数 \(x\) 收敛，求和函数 \(F(x)\) 在 \([0, 2\pi]\) 上的表达式。

证明

\(\abs {\fr {\cos n x} {n ^ 2}} \leq \fr 1 {n ^ 2}\)，由 Weierstrass 判别法，级数对任意实数 \(x\) 一致收敛。

在 \((0, 2\pi)\) 上，

\[F'(x) = -\se n 1 \fr {\sin n x} n = \fr {x - \pi} 2. \]

因此

\[F(x) = F(0) + \int_0 ^ x \fr {x - \pi} 2\dd x = \fr {\pi ^ 2} 6 + \fr {x ^ 2 - 2\pi x} 4, \quad \forall 0 \leq x \leq 2\pi. \]

226 Fourier 级数：背景和计算

幂级数只能逼近解析函数，对于性质更差的函数，应该用何种方式逼近？

范数

在 \(\R ^ m\) 上，所有范数等价：

• \(\infn{\bf x} = \max_{1\leq k\leq m} |x_k|\)。
• \(\|\bf x\|_p = \l(\sum_{k = 1} ^ m |x_k| ^ p\r) ^ {\fr 1 p}\)。
• \(\|\bf x\|_2 = \sqrt{\sum_{k = 1} ^ m x_k ^ 2}\)。
• \(\an{\bf x, \bf y} = \sum_{k = 1} ^ m x_ky_k\)（若在 \(\C ^ m\) 上则需对其中一项取共轭）。

在函数空间上，不同的范数不一定等价：

• \(\infn{f(x)} = \sup_{x\in I} |f(x)|\)，对应函数项级数的一致收敛。
• \(\|f(x)\|_p = \l(\int_I |f(x)| ^ p\dd x\r) ^ {\fr 1 p}\)。
• \(\|f(x)\|_2 = \sqrt{\int_I |f(x)| ^ 2\dd x}\)，对应函数项级数的平均收敛。
• \(\an{f, g} = \int_I f(x)g(x)\dd x\)。

在函数空间上谈收敛必须明确范数。

内积

定义

\[\scr L ^ \infty(I) = \{f\mid \infn{f} < +\infty\}, \]

\[\scr L ^ p(I) = \{f\mid \| f\|_p < +\infty\}, \]

其中 \(\scr L ^ 2(I)\) 是内积空间

\[\an{f, g} = \int_I f(x)g(x) \dd x. \]

在积分意义下，仅在零测集上不等的两个函数是相同的。此时内积满足正定性。

三角函数族的正交性

\[1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \cdots. \]

不同频率的正弦函数和余弦函数在 \(\scr L ^ 2[-\pi, \pi]\) 上正交（三角函数的周期性，积化和差）。

设 \(f(x) = \fr {a_0} 2 + \se n 1(a_n \cos nx + b_n\sin nx)\) 是 \(2\pi\) 周期的可积函数，则对应系数可由

\[\bf v \cdot \bf e_i = \l(\sum a_i\bf e_i\r)\cdot \bf e_i = a_i\bf e_i \cdot \bf e_i \]

确定。具体地，

\[\int_{-\pi} ^ \pi f(x)\cos nx \dd x = \pi a_n, \quad \int_{-\pi} ^ \pi f(x) \sin nx\dd x = \pi b_n, \quad \int_{-\pi} ^ \pi f(x)\dd x = \pi a_0. \]

• 是否所有以 \(2\pi\) 为周期的可积函数都能写成以上形式？

Fourier 级数

对任意 \(2\pi\) 周期的可积函数 \(f(x)\)，记

\[a_n = \fr 1 \pi \int_{-\pi} ^ \pi f(x)\cos nx \dd x, \]

\[b_n = \fr 1\pi \int_{-\pi} ^ \pi f(x)\sin nx \dd x, \]

称为 \(f\) 在 \([-\pi, \pi]\) 上的 Euler-Fourier 系数。

\[f(x) \sim \fr {a_0} 2 + \se n 1 (a_n\cos nx + b_n\sin nx), \]

后者称为 \(f\) 在 \([-\pi, \pi]\) 的 Fourier 级数。

• Fourier 级数是否收敛？级数和是否等于 \(f(x)\)？展开成 Fourier 级数并不意味着它们一定相等，所以不写等号而是 \(\sim\)。

若 \(f\) 是 \(2\pi\) 周期的偶函数，则 \(b_n = 0\)，此时 \(f(x)\sim \fr {a_0} 2 + \se n 1 a_n\cos n x\) 称为 余弦级数。类似有正弦级数。

例 1

\(2\pi\) 周期函数在 \([-\pi, \pi]\) 上为 \(x ^ 2\)，求它的 Fourier 级数。

解

\(f(x)\) 是偶函数，没有正弦项。

\[a_0 = \fr 1 \pi \int_{-\pi} ^ \pi x ^ 2\dd x = \fr {2\pi ^ 2} 3. \]

\[a_n = \fr {2} {\pi} \int_{0} ^ \pi x ^ 2 \cos nx\dd x = \fr {4(-1) ^ n}{n ^ 2}. \]

在 \([0, \pi]\) 上展开为余弦级数：偶延拓到 \([-\pi, \pi]\) 上，再 Fourier 展开。

例 2

将 \(x ^ 2\) 在 \([0, \pi]\) 上展开为正弦级数。

解

\[b_n = \fr 2\pi \int_0 ^ \pi x ^ 2\sin nx\dd x = -\fr {4} {n ^ 3\pi} + 2(-1) ^ n\fr {2 - n ^ 2 \pi ^ 2} {n ^ 3\pi}. \]

例 3（方波）

将 \(2\pi\) 周期函数 \(f(x) = \bc 1, & 0\leq x \leq L;\\ 0, & L < x < 2\pi \ec\) 展开为 Fourier 级数。

解

\[a_n = \fr 1 \pi \int_0 ^ L \cos nx\dd x = \bc \fr {\sin nL} {n\pi}, & n\geq 1; \\ \fr L \pi, & n = 0.\ec \]

\[b_n = \fr 1 \pi\int_0 ^ L \sin n x\dd x = \fr {1 - \cos n L} {n\pi}. \]

所以 \(f\) 的 Fourier 级数为

\[\bal & \fr L {2\pi} + \se n 1 \fr{\sin nL \cos nx + (1 - \cos nL)\sin nx} {n\pi} \\ = \; & \fr L {2\pi} + \se n 1 \fr {\sin n(L - x) + \sin nx} {n\pi} \\ = \; & \fr L {2\pi} + \fr {g(L - x) + g(x)} {\pi} \\ = \; & \bc 1, & 0 < x < L; \\ 0, & L < x < 2\pi; \\ \fr 1 2, & x = L.\ec \eal \]

其中 \(g(x) = \se n 1 \fr {\sin nx} {n}\) 是上一节的例 \(2\)。

Gibbs 现象：在跳跃间断点的任何邻域附近 Fourier 级数不一致收敛。和函数会有逐渐偏向跳跃间断点的一定程度的峰起。

一般周期函数

设 \(f(t)\) 是 \(T\) 周期的可积函数，则 \(f(\fr {Tx} {2\pi})\) 是 \(2\pi\) 周期函数。

\[f\l(\fr {Tx} {2\pi}\r)\sim \fr {a_0} 2 + \se n 1 (a_n\cos nx + b_n\sin nx). \]

\[f(t) \sim \fr {a_0} {2} + \se n 1\l(a_n \cos \fr {2\pi n t} {T} + b_n\sin \fr {2\pi nt} {T}\r). \]

\[a_n = \fr 1\pi \int_0 ^ {2\pi} f\l(\fr {Tx} {2\pi}\r)\cos nx\dd x = \fr {2}{T} \int_0 ^ {T} f(t) \cos \fr {2\pi nt}{T}\dd t. \]

\[b_n = \fr 2 T\int_0 ^ T f(t)\sin \fr {2\pi n t} {T}\dd t. \]

227 Fourier 级数：收敛

平均收敛

正交投影、最小二乘

将线性空间的任意向量投影至一组正交向量形成的子空间。

在函数空间中，设 \(\bf e_1, \bf e_2, \cdots\) 是一组正交向量，若 \(\bf v = a_1\bf e_1 + a_2\bf e_2 + \cdots\)，则 \(a_n = \fr {\bf v\cdot \bf e_n} {\bf e_n\cdot \bf e_n}\) 称为 \(\bf v\) 关于 \(\bf e_1, \bf e_2, \cdots\) 的 Euler-Fourier 系数。

对任意 \(\bf v\)（不需要能够写成 \(\bf e_i\) 的线性组合），记 \(\bf v_N = \sum_{i = 1} ^ N \fr {\bf v\cdot \bf e_n} {\bf e_n\cdot \bf e_n}\bf e_n\)，则 \((\bf v - \bf v_N) \cdot \bf e_n = 0\)，\(\bf v_N\) 是 \(\bf v\) 在 \(\bf e_1, \cdots, \bf e_N\) 张成的有限维线性空间 \(W_N\) 上的正交投影，满足

\[\| \bf v- \bf v_N \| = \min_{\bf w\in W_N} \| \bf v - \bf w \|. \]

于是

\[\| \bf v\| ^ 2 = \| \bf v - \bf v_N \| ^ 2 + \| \bf v_N \| ^ 2 \geq \| \bf v_N \| ^ 2. \]

即

\[\| \bf v_N \| ^ 2 = \sum_{n = 1} ^ N \fr {(\bf v \cdot \bf e_n) ^ 2} {\bf e_n \cdot \bf e_n} \leq \| \bf v \| ^ 2. \]

于是正项级数

\[\se n 1 \fr {(\bf v \cdot \bf e_n) ^ 2} {\bf e_n \cdot \bf e_n} \]

收敛，且

\[\se n 1\fr {(\bf v \cdot \bf e_n) ^ 2} {\bf e_n \cdot \bf e_n} \leq \|\bf v\| ^ 2. \]

称为 Bessel 不等式。

Parseval 等式

由

\[\| \bf v\| ^ 2 = \| \bf v - \bf v_N \| ^ 2 + \| \bf v_N \| ^ 2 \]

可知 \(\bf v_N\to \bf v\) 当且仅当 \(\lim_{N\to +\infty} \| \bf v - \bf v_N \| ^ 2 = 0\)，当且仅当 \(\lim_{N\to +\infty} \| \bf v_N\| ^ 2 = \|\bf v \| ^ 2\)，即

\[\se n 1\fr {(\bf v \cdot \bf e_n) ^ 2} {\bf e_n \cdot \bf e_n} = \|\bf v\| ^ 2, \]

称为 Parseval 等式。

证明一个函数的 Fourier 级数收敛至自身，只需证明对应 Bessel 不等式的等号成立，即 Parseval 等式。

对平方可积函数 \(f\in \scr L ^ 2[0, 2\pi]\) 和正交三角函数族，对应的 Bessel 不等式为

\[\fr {a_0 ^ 2} 2 + \se k 1 (a_k ^ 2 + b_k ^ 2) \leq \fr 1 \pi\int_0 ^ {2\pi} f(x) ^ 2 \dd x. \]

需要证明其 Parseval 等式成立。

Parseval 等式和条件 (Q) 等价：

\[\fr {a_0\a_0}{2} + \se k 1(a_k\a_k + b_k\b_k) = \fr 1 \pi \int_0 ^ {2\pi} f(x)g(x)\dd x. \]

即范数的 Parseval 等式等价于内积的 Parseval 等式，这个转化独立了 \(f, g\)，将等式变成双线性的。这样，对于 Riemann 可积函数，可以用阶梯函数逼近的方法证明其满足 Parseval 等式（平方可积函数涉及广义积分，证明很复杂）。

\(\scr L ^ 2[0, 2\pi]\) 上的所有函数都满足 Parseval 等式。实际上，任何 Riemann 可积函数都满足 Parseval 等式。

逐点收敛、一致收敛

Weierstrass 判别法

若 \(2\pi\) 周期函数 \(f\) 的 Fourier 级数满足 \(\se n 1 a_n, \se n 1 b_n\) 绝对收敛，则 \(f\) 的 Fourier 级数一致收敛（但不一定收敛至自身），和函数是连续函数。

Dirichlet 判别法

若 \(2\pi\) 周期函数 \(f\) 在区间 \([0, 2\pi]\) 上的 Fourier 系数满足 \(a_n, b_n\) 单调趋于零，则 \(f\) 的 Fourier 级数在 \((0, 2\pi)\) 的任何闭子区间上一致收敛，和函数在 \((0, 2\pi)\) 内连续。

定理

若 \(2\pi\) 周期函数 \(f\) 分段 \(\scr C ^ 1\)，则 \(f\) 的 Fourier 级数一致收敛至 \(f\)。

定理

若 \(2\pi\) 周期连续函数 \(f\) 在 \([0, 2\pi]\) 上的 Fourier 级数一致收敛，则一致收敛至 \(f\)。

定理

若 \(2\pi\) 周期函数 \(f\) 在 \([0, 2\pi]\) 上分段 \(\scr C ^ 1\)，且间断点都是跳跃间断点，则 \(f\) 的 Fourier 级数逐点收敛，且和函数在非间断点处等于 \(f\)，在间断点处等于 \(f\) 左右两侧极限的平均值。即

定理（Dirichlet）

设 \(2\pi\) 周期函数 \(f : [0, 2\pi]\) 有界，分段单调连续，满足

\[f(x) = \fr {f(x ^ +) + f(x ^ -)}2 \]

则

\[\lim_{N\to +\infty} S_N(f, x) = f(x) \]

由方波在间断点处等于高度一半得到。

注意：

• 存在连续函数的 Fourier 级数至少在一点发散。
• 存在可积函数的 Fourier 级数处处发散。
• 对 \(\scr L ^ p(p > 1)\) 的函数 \(f\)，其 Fourier 级数几乎处处收敛于 \(f\)。

逐项求导、积分

设 \(p\geq 1\) 是正整数。若 \(2\pi\) 周期函数 \(f\) 在区间 \([0, 2\pi]\) 上的 Fourier 系数满足

\[\se n 0 n ^ p(|a_n| + |b_n|) \]

收敛，则 \(f\) 的 Fourier 级数的和函数在区间 \([0, 2\pi]\) 上 \(\scr C ^ p\)，且可以逐项求导。

若 \(f\) 在 \([-\pi, \pi]\) 上分段连续，则 \(f\) 的积分可由它的 Fourier 级数逐项积分得到。结论无需 \(f\) 的 Fourier 级数收敛。

总结

数项级数

收敛

Cauchy 准则。

线性。

绝对收敛

比较法。

积分判别法：

\[\int_{1} ^ {+\infty} f(x)\dd x. \]

\(f(x)\) 单调不增且 \(f(n) = a_n\)。

和几何级数比较：D'Alembert 比值判别法，Cauchy 根式判别法：

\[\fr {a_{n + 1}} {a_n}, \sqrt [n] {a_n}. \]

大于 \(1\) 发散，小于 \(1\) 收敛。

和调和函数比较：Raabe 判别法：

\[n\l(\fr {a_n} {a_{n + 1}} - 1\r). \]

大于 \(1\) 收敛，小于 \(1\) 发散，

条件收敛

交错项级数的 Leibniz 判别法：

\[(-1) ^ nu_n. \]

\(u_n\) 单调递减且极限为 \(0\)。

Dirichlet 判别法：\(u_n\) 部分和有界，\(v_n\) 单调趋于 \(0\)。

Abel 判别法：\(u_n\) 部分和收敛，\(v_n\) 单调有界。

结合律

收敛级数任意添加括号，所得级数收敛至同一极限。

交换律

绝对收敛级数项可任意交换。

Riemann 重排定理：条件收敛级数项不可交换。

函数项级数

离散含参广义积分。

一致收敛

判定：

• 一致 Cauchy。
• Weierstrass 比较法：一般和非负数项级数比较。
• Dirichlet 判别法：\(u_n(x)\) 部分和一致有界，\(v_n(x)\) 单调且一致趋于 \(0\)。
• Abel 判别法：\(u_n(x)\) 部分和一致收敛，\(v_n(x)\) 单调且一致有界。

性质：

• 有界：若一致收敛且 \(u_n(x)\) 有界，则 \(S(x)\) 有界，\(u_n(x)\) 一致有界。
• 连续：若一致收敛，则 \(\lim_{x\to a}\se n 1 u_n(x) = \se n 1 \lim_{x\to a} u_n(x)\)。
• 可积：若一致收敛且 \(u_n(x)\) 可积，则 \(S(x)\) 可积，且 \(\int_I \se n 1 u_n(x)\dd x = \se n 1 \int_I u_n(x) \dd x\)。
• 可微：若 \(u_n(x)\) 连续可微，\(\se n 1 u'_n(x)\) 一致收敛至 \(T(x)\)，且存在 \(x_0\in I\) 使得 \(\se n 1 u_n(x_0)\) 收敛，则 \(\se n 1 u_n(x)\) 在 \(I\) 的有界闭区间上一致收敛，且 \(S'(x) = T(x)\)​。

幂级数

幂级数在其收敛域的开区间上绝对收敛，在收敛域上内闭一致收敛。

Abel 定理：若幂级数在 \(x = R\) 处收敛，则在 \([0, R]\) 上一致收敛。于是和函数在 \(x = R\) 处连续。

积分：逐项积分的幂级数和原幂级数收敛半径相同。

求导：逐项求导的幂级数和原幂级数收敛半径相同。

求幂级数的和函数：逐项求导、逐项积分、写成微分方程。

Maclaurin 级数

对 \(\scr C ^ \infty\) 函数，考虑其在 \(x = 0\) 处的 Taylor 展开，得到 Maclaurin 级数

\[\se n 0 \fr {f ^ {(n)}(0)} {n!} x ^ n. \]

若存在 \(M > 0\) 使得对任意 \(x\in (x_0 - R, x_0 + R)\) 和充分大的 \(n\)，\(\abs {f ^ {(n)}(x)} \leq M\)，则

\[f(x) = \se n 0 \fr {f ^ {(n)}(x_0)} {n!} (x - x_0) ^ n. \]

由 Largange 余项得到。

Fourier 级数

形式 Fourier 级数

对 \(f(x)\in \scr R[-\pi, \pi]\)：

\[f(x)\sim \fr {a_0} 2 + \se n 1 (a_n\cos nx + b_n\sin nx), \]

其中

\[a_n = \fr 1 \pi \int_{-\pi} ^ \pi f(x)\cos nx\dd x, \]

\[b_n = \fr 1 \pi \int_{-\pi} ^ \pi f(x)\sin nx\dd x, \]

\(2\pi\) 周期的奇函数可以展成正弦级数，\(2\pi\) 周期的偶函数可以展成余弦级数。

对 \(2L\) 周期函数，将 \(\pi\) 换成 \(L\)，\(x\) 换成 \(\fr {\pi x} L\)。

平均收敛

任何平方可积函数（Riemann 可积函数）的形式 Fourier 级数平均收敛至其该函数。

对应 Parseval 等式

\[\fr {a_0 ^ 2} 2 + \se k 1 (a_k ^ 2 + b_k ^ 2) = \fr 1 \pi\int_0 ^ {2\pi} f(x) ^ 2 \dd x. \]

很好用。

两个连续函数等于零当且仅当它们的 \(\scr L ^ 2\) 内积等于 \(0\)。

一致收敛、逐点收敛

Weierstrass 判别法：若 \(\se n 1 a_n, \se n 1 b_n\) 绝对收敛，则 Fourier 级数一致收敛（但不一定收敛至自身）。

若连续且分段连续可微，则 Fourier 级数一致收敛至 \(f\)。

若分段连续可微，且间断点都是跳跃间断点，则 Fourier 级数逐点收敛，且和函数在非间断点处等于 \(f\)，在间断点处等于左右两侧极限的平均值。