《微积分 A2》学习笔记 III —— 多元函数积分学
215 重积分的概念与计算
重积分的计算最终回归一元函数的积分：将其它所有变量当成参数，对剩下来的自变量进行积分。Fubini 定理使得我们可以任意选择参数顺序。
定义
\(m\) 维矩形
体积
直径
分割
其中任意两个矩形没有共同内点。
重积分
其中 \(\{I_k\}\) 是 \(I\) 的分割。
- 类似一元 无向 积分的定义。
对于向量值函数，积分结果的每个分量等于每个分量的积分。
二重积分、三重积分特殊记为
其中 \(\dd x \dd y\) 和 \(\dd x\dd y\dd z\) 表示小体积。
Lebesgue 准则
以下三个命题相互等价：
- \(f\) 在 \(I\) 上 Riemann 可积；
- \(f\) 在 \(I\) 上有界，且 Darboux 可积；
- \(f\) 在 \(I\) 上有界，且几乎处处连续（间断点集合体积为零）。
记 \(f\in \scr R(I)\) 表示 \(f\) 在 \(I\) 上 Riemann 可积。
\(A\subset \R ^ m\) 体积为零，若 \(\forall \eps > 0\)，存在可数多个 \(m\) 维矩形 \(I_1, \cdots, I_n, \cdots\) 使得
- 空间里坐标为有理数的点的点集的体积为零。
计算
线性不必多言。
Fubini 定理
交换积分顺序的基础。
\(I = [a, b]\times [\a, \b]\)，\(f : I\to \R\) 连续，则
同时取极限转化为先对一维取极限，再对另一维取极限，以含参积分对参数的连续性为基础。
若 \(f\) 在 \(I\) 上 Riemann 可积，定理依然成立，但累次积分可能不存在。实际上，对几乎处处的 \(x\in [a, b]\)，\(f(x, y)\in \scr R[\a, \b]\)。对其余 \(x\)，使用 Darboux 上积分代替 \(\int_\a ^ \b f(x, y) \dd y\)。
定理对任意高维成立。
例 1
计算
\[\iint_{[0, 1]\times [0, 1]} \e ^ {-y ^ 2}I_{0\leq x\leq y\leq 1} \dd x \dd y. \]解
对于非矩形区域上的积分，添加 示性函数 转化为矩形区域上的积分。
因为 \(f(x, y)\) 有界且仅在 \(x = 0\)，\(x = y\)，\(y = 1\) 三条直线上间断，由 Lebesgue 定理，\(f(x, y)\in \scr R([0, 1]\times [0, 1])\)。
由 Fubini 定理，
\[\int_{0} ^ 1 \dd y\int_0 ^ 1\e ^ {-y ^ 2}I_{0\leq x\leq y\leq 1} \dd x = \int_0 ^ {1} \e ^ {-y ^ 2}y\dd y = \fr {1 - \e ^ {-1}} 2. \]另一个顺序的累次积分不好算。选择累次积分的计算顺序很重要。
一般有界集合上的积分
设 \(A\subset \R ^ m\) 是非空有界集合，\(f : A\to \R\)，定义
任取矩形 \(I\subset \R ^ m\) 使得 \(A\subset I\)，定义
要求：\(f\) 有界，\(f\) 在 \(A\) 上几乎处处连续，\(A\) 的边界集 \(\operatorname{bd}(A)\) 是零测集。
- 边界集是闭集。
因为积分与 \(I\) 的选择无关，甚至可以定义
对于边界集是零测集的非空有界闭集 \(A\)，常值函数在 \(A\) 上可积。定义
为 \(A\) 的 \(m\) 维体积。
Jordan 可测集
边界可被有限多个矩形覆盖，且矩形面积和小于 \(\eps\)。
- 有界闭集的任何开覆盖都有有限子覆盖。
曲边梯形积分
有界闭集上的连续函数图像是零测集。
推论：若 \(A\subset \R ^ m\) 是有界闭的 Jordan 可测集，\(f, g: A\to \R\) 是连续函数，满足 \(f\leq g\)，则
是 Jordan 可测的有界闭集。
由形如
的不等式组确定的区域称为 曲边梯形区域，其中 \(a ^ k, b ^ k\ (2\leq k\leq m)\) 是连续函数。记 \(D\) 为不等式确定的区域，则 \(D\) 上的积分可以写成累次积分
换元后可以变成 \([0, 1] ^ m\) 上的积分。
例 2
求
\[\iiint_{x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 \leq 1,\ x, y, z \geq 0} xyz\dd x \dd y \dd z. \]解
将区域 \(D\) 改写为曲边梯形区域
\[\bc 0\leq x \leq 1, \\ 0\leq y \leq \sqrt {1 - x ^ 2}, \\ 0\leq z \leq \sqrt {1 - x ^ 2 - y ^ 2}. \ec \]原式为
\[\bal & \; \int_0 ^ 1 x\dd x \int_{0} ^ {\sqrt {1 - x ^ 2}} y\dd y\int_0 ^ {\sqrt {1 - x ^ 2 - y ^ 2}} z\dd z \\ = & \; \fr 1 2\int_0 ^ 1 x\dd x \int_0 ^ {\sqrt {1 - x ^ 2}} y (1 - x ^ 2 - y ^ 2)\dd y \\ = & \; \fr 1 2\int_0 ^ 1 x\l(\fr 1 2(1 - x ^ 2) ^ 2 - \fr 1 4 (1 - x ^ 2) ^ 2\r)\dd x \\ = & \; -\fr 1 {16}\int_0 ^ 1 (1 - x ^ 2) ^ 2\dd (-x ^ 2) \\ = & \; -\fr 1 {48} \l.(1 - x ^ 2) ^ 3\r|_0 ^ 1 \\ = & \; \fr 1 {48}. \eal \]
换元 \(y = s\sqrt {1 - x ^ 2}\) 和 \(z = t\sqrt {1 - x ^ 2 - y ^ 2} = t\sqrt {1 - x ^ 2}\sqrt {1 - s ^ 2}\)，则
\[\bal & \; \int_0 ^ 1 x\dd x \int_0 ^ 1 s\sqrt {1 - x ^ 2} \dd_s(s\sqrt {1 - x ^ 2}) \int_0 ^ 1 t\sqrt {1 - x ^ 2}\sqrt {1 - s ^ 2} \dd_t(t\sqrt {1 - x ^ 2}\sqrt {1 - s ^ 2}) \\ = & \; \int_0 ^ 1 x(1 - x ^ 2) ^ 2\dd x \int_0 ^ 1 s(1 - s ^ 2) \dd s \int_0 ^ 1 t\dd t \\ = & \; \fr 1 6 \cdot \fr 1 4 \cdot \fr 1 2 \\ = & \; \fr 1 {48}. \eal \]
216 重积分换元
一元积分换元的目的是简化被积函数，多元积分换元的最主要目的是简化积分区域：找一个更合适的坐标系表达函数。
换元公式
一元积分换元
回忆一元积分换元公式。
有向积分：
\(\ph\) 是 \(\scr C ^ 1\) 函数，不需要可逆。
无向积分：
\(\ph\) 是 可逆 \(\scr C ^ 1\) 函数。导数加绝对值避免方向改变带来的负号。
重积分是无向积分。这是重积分定义的结果：小矩形的面积乘以矩形内任意函数值的和的极限，其中小矩形的面积总是正数。
曲边梯形积分换元
对 \(f(x)\leq y\leq g(x)\)，凸组合换元 \(y = (1 - t) f(x) + t g(x)\)，则 \(0\leq t\leq 1\)。
变换系数 \(g(x) - f(x)\) 是新坐标系关于老坐标系的 Jacobi 矩阵的行列式。
一般区域重积分换元
设 \(U\subset \R ^ m\) 是有界闭集，\(\mathrm{bd}(U)\) 是零测集，\(\Phi : U\to \Phi(U)\) 是 \(\scr C ^ 1\) 微分同胚，则对任意 \(f\in \scr R(\Phi(U))\)，都有
其中 \(J\Phi(\bf x) = \fr {\pa(y ^ 1, \cdots, y ^ m)} {\pa(x ^ 1, \cdots, x ^ m)}\) 是 Jacobi 矩阵的行列式。\(\Phi\) 是 \(U\) 到 \(\Phi(U)\) 的坐标变换，新坐标系使积分更容易计算。
积分与笛卡尔坐标系的选取无关。积分在保体积变换下不变。
- \(\Phi\) 保体积：\(\abs {\det J \Phi(\bf x)} = 1,\ \forall \bf x\)。
- 公式理解：\(\det J(\Phi(\bf x))\) 是参数空间的 \(\bf x\) 附近的小矩形在坐标变换后体积的近似缩放倍数，由 Jacobi 矩阵（坐标变换的局部线性近似）和行列式的几何意义得到。加绝对值是为了避免坐标变换改变空间定向导致的负号，因为重积分是无向积分。
常见坐标系变换
平面极坐标变换
所以
平面椭圆坐标变换
是平面椭圆坐标变换，其对应 Jacobi 矩阵的行列式为 \(abt\)。所以
平面双曲坐标变换
则
所以
\(\R ^ 3\) 的球极坐标变换
\(\R ^ 3\) 的柱坐标变换
例 1
求平面封闭曲线 \((x ^ 2 + y ^ 2) ^ 3 = x ^ 4 + y ^ 4\ (x ^ 2 + y ^ 2 > 0)\) 所围区域的面积。
解
在极坐标下的曲线方程为
\[r ^ 6 = r ^ 4\l[(\cos ^ 2\t + \sin ^ 2\t) ^ 2 - \fr 1 2 \sin ^ 2 2\t\r] = r ^ 4 \cdot\fr {3 + \cos 4\t} 4. \]即 \(r = \fr {\sqrt {3 + \cos 4\t}} 2\)。其围成的有界区域为
\[0\leq r\leq \fr {\sqrt {3 + \cos 4\t}} 2,\quad 0\leq \t \leq 2\pi. \]
- 对任意 \(0\leq \t\leq 2\pi\)，\(r\) 的上界都不小于 \(\fr {\sqrt 2} 2\)。需要考虑 \(r\) 的上界不小于 \(0\) 的限制。
其面积为
\[\int_0 ^ {2\pi} \dd \t\int_0 ^ {\fr {\sqrt {3 +\cos 4\t}} 2} r\dd r = \int_0 ^ {2\pi} \fr {3 + \cos 4\t} 8 \dd \t = \fr {3\pi} 4. \]
例 2
求
\[\iint_D \fr {1} {(x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2} \dd x \dd y, \]其中 \(D\) 为圆心在 \((1, 1)\) 且经过原点的圆盘。
解
\[D : (x - 1) ^ 2 + (y - 1) ^ 2\leq 2\iff x ^ 2 + y ^ 2\leq 2xy. \]在极坐标下
\[r ^ 2\leq 2r(\cos \t + \sin \t), \]即
\[0\leq r \leq 2(\cos \t + \sin \t) = 2\sqrt 2\cos \l(\t - \fr \pi 4\r). \]等号右侧不小于 \(0\)，解得 \(\t\) 的范围
\[-\fr \pi 4\leq \t \leq \fr {3\pi} 4. \]于是
\[I = \int_{-\fr \pi 4} ^ {\fr {3\pi} 4} \dd \t \int_0 ^ {2\sqrt 2\cos (\t - \fr \pi 4)} \fr {1} {(r ^ 2 + 1) ^ 2} r\dd r. \]算出 \(I = \fr \pi 3\)。
若换元
\[\bc x = 1 + r\cos \t, \\ y = 1 + r\sin \t. \\ \ec \]则被积函数会相当复杂。
- 积分换元要兼顾积分区域和被积函数。
例 3
通过柱坐标换元的方式可以验证上学期的连续函数 \(f(x)\) 绕 \(x\) 轴形成的旋转体体积公式。
\[\Omega : a\leq x\leq b,\ y = r\cos \ph,\ z = r\sin\ph,\ 0\leq r\leq f(x). \]\[V = \iiint_{\Omega} \dd x \dd y \dd z = \int_a ^ b \dd x \int_0 ^ {2\pi} \dd \ph \int_0 ^ {f(x)} r\dd r = \int_a ^ b \dd x \cdot 2\pi \cdot \fr 1 2 f(x) ^ 2 = \int_a ^ b \pi f(x) ^ 2 \dd x. \]
例 4
\[\int_{[0, 1] ^ m} \min \{x ^ 1, \cdots, x ^ m\} \dd x ^ 1 \cdots \dd x ^ m. \]解
对 \(1, \cdots, m\) 的任意排列 \(\s\)，考虑区域
\[D_{\s} : 0\leq x ^ {\s(1)}\leq \cdots \leq x ^ {\s(m)} \leq 1, \]则 \([0, 1] ^ m = \bigcup_{\s} D_{\s}\) 且没有共同内点。
通过坐标换元公式可知所有 \(D_{\s}\) 上的积分 \(\int_{D_{\s}} x ^ {\s(1)} \dd x ^ 1 \cdots \dd x ^ m\) 相同，均为
\[\bal I = & \; \int_{\D_m} y ^ 1\dd y ^ 1 \cdots \dd y ^ m \\ = & \; \int_0 ^ 1 y ^ 1 \dd y ^ 1 \int_{y ^ 1 \leq y ^ 2 \leq \cdots \leq y ^ m \leq 1} \dd y ^ 2 \cdots \dd y ^ m \\ = & \; \int_0 ^ 1 y ^ 1 \dd y ^ 1 \fr {1} {(m - 1)!} \int_{y ^ 2, \cdots, y ^ m \in [y ^ 1, 1]} \dd y ^ 2 \cdots \dd y ^ m \\ = & \; \int_0 ^ 1 y ^ 1 \fr {1} {(m - 1)!} (1 - y ^ 1) ^ {m - 1} \dd y ^ 1 \\ = & \; \fr {1} {(m - 1)!} \int_0 ^ 1 (1 - t) t ^ {m - 1} \dd t \\ = & \; \fr {1} {(m + 1)!}. \eal \]因此原积分为
\[m! \cdot I = \fr 1 {m + 1}. \]
- 在线段 \([0, 1]\) 上随机撒 \(m\) 个点，最左侧点的期望位置为 \(\fr 1 {m + 1}\)。
Wallis 公式
在一元微积分的时候提到过。重积分换元将很多积分转化为三角函数的幂在 \([0, \fr \pi 2]\) 上的积分，Wallis 公式在这个情况下非常好用。
于是 \(I_n = \fr {n - 1}{n} I_{n - 2}\)。
当 \(n\) 是偶数时，\(I_0 = \fr \pi 2\)，\(I_n = \fr {(n - 1)!!} {n!!}\fr \pi 2\)。
当 \(n\) 是奇数时，\(I_1 = 1\)，\(I_n = \fr{(n - 1)!!}{n!!}\)。
217 第一型曲线曲面积分
第一型曲线曲面积分是函数在曲线或曲面上的无向积分。所有曲面积分最终归为重积分计算。
物理背景
质量计算
在曲线 \(\g\) 或曲面 \(\Sigma\) 上存在质量分布。已知各点密度 \(\rho(\bf x)\)，计算整体质量。
取一小段曲线或一小片曲面做局部近似，将长度或面积与 \(\rho(\bf x)\) 相乘得到质量。分割加细后质量之和 \(\sum \rho(\bf x_k)\D l_k,\ \sum \rho(\bf x_k) \D S_k\) 的极限。
定义与计算
曲线弧长
设 \(\g\) 是 \(\R ^ m\) 中的曲线，\(\bf x(t)\ (a\leq t\leq b)\) 是 \(\g\) 的 \(\scr C ^ 1\) 正则参数表示，\(\bf x'(t)\neq \bf 0\)，且 \(\bf x\) 和 \(t\) 一一对应，则 \(\g\) 的 弧长 为
实际含义：\(\dd l\) 表示微弧长，\(\|\bf x'(t)\|\) 表示速率，\(\|\bf x'(t)\| \dd t\) 表示微路程。
对连续函数 \(f : \g \to \R ^ m\)，定义
采用不同的参数表达或在不同的坐标系下积分得到的结果是一样的，但积分值与范数有关。
- 上学期介绍了弧长的纯几何定义（钉木桩法），但不便计算。最终使用 Lagrange 中值定理转化为以上公式。
二维曲面面积
曲面 \(\Sigma\subset \R ^ N\) 的正则参数表达 \(\bf x(t, s),\ (t, s)\in D\subset \R ^ 2\)。正则即 Jacobi 矩阵行列式不为 \(0\)，因此 \(\bf x_t, \bf x_s\) 线性无关。
小平行四边形面积
定义 \(\Sigma\) 的面积为
曲面面积与参数表达和坐标系无关。
在传统微分几何中，记
则
高维曲面面积
曲面 \(\Sigma\subset \R ^ N\) 的正则参数表达 \(\bf x(t ^ 1, \cdots, t ^ k),\ (t ^ 1, \cdots, t ^ k)\in D\subset \R ^ k\)，\(\bf x_{t ^ i}\) 线性无关。
\(k\) 维小平行多面体体积
根据行列式的性质，使用数学归纳法，对新加入的维度做正交分解可证。
于是
\(k = 1\) 是曲线弧长，\(k = N\) 是重积分换元公式。
- 以上曲面面积计算公式是 “内蕴” 的，与曲面所处的空间无关。
- 在高维空间度量低维对象不能仅靠距离逼近。
- 扩展：豪斯多夫测度。
例 1
设 \(f\) 是有界闭区域 \(D\subset \R ^ m\) 上的 \(\scr C ^ 1\) 函数，计算图像 \(y = f(x ^ 1, \cdots, x ^ m)\) 的面积。
解
图像所在空间的维度为 \(m + 1\)，其本身维度为 \(m\)，因此共有 \(m\) 个 \(m + 1\) 维列向量 \(\bf u_i\)。
\(\bf u_i\) 的第 \(i\) 个位置为 \(1\)，第 \(m + 1\) 个位置为 \(\p y {x ^ i}\)。矩阵
\[G = I + \l(\p y {x ^ i} \p y {x ^ j}\r)_{m \times m} = I + \na f(x)(\na f(x)) ^ T. \]对于和 \(\na f(x)\) 正交的非零向量 \(\bf v\)，\(G\bf v = \bf v\)。此外，\(G\na f(x) = (1 + \|\na f(x)\| ^ 2) \na f(x)\)。因此 \(G\) 的特征值为 \(1\)（\(m - 1\) 重）和 \(1 + \|\na f(x)\| ^ 2\)。于是 \(\det G = 1 + \|\na f(x)\| ^ 2\)，
\[S = \int_D \dd S = \int_D \sqrt {1 + \| \na f(x)\| ^ 2} \dd x ^ 1 \cdots \dd x ^ m. \]可以从勾股定理的角度理解上式。
例 2
通过第一型曲线曲面积分可以验证上学期的 \(xy\) 上半平面内的简单封闭曲线绕 \(x\) 轴旋转形成的旋转体表面积公式。
曲面参数方程
\[x = x(t),\ y = y(t)\cos \t,\ z = y(t)\sin \t,\quad x\in [a, b],\ \t\in [0, 2\pi). \]分别对 \(t\) 和 \(\t\) 求导，得到切向量
\[\bf v = (x'(t), y'(t)\cos \t, y'(t)\sin \t) ^ T,\quad \bf w = (0, -y(t)\sin \t, y(t)\cos \t) ^ T, \]则
\[E = |x'(t)| ^ 2 + |y'(t)| ^ 2,\quad F = \bf v\cdot \bf w = 0,\quad G = |y(t)| ^ 2. \]于是
\[A = \int_{0} ^ {2\pi} \dd \t \int_{a} ^ b y(t)\sqrt {|x'(t)| ^ 2 + |y'(t)| ^ 2} \dd t = \int_{\g} 2\pi y\dd l. \]
例 3
环面由曲线 \(x = r\cos \t,\ y = R + r\cos \t,\ \t\in [0, 2\pi]\) 绕 \(x\) 轴旋转一周得到，面积为
\[2\pi \int_0 ^ {2\pi} (R + r\cos \t) \sqrt {(-r\sin \t) ^ 2 + (r\cos \t) ^ 2}\dd \t = 4\pi ^ 2Rr = 2\pi R \cdot 2\pi r. \]回忆环面内体积为 \(2\pi R \cdot r ^ 2\)。两个独立的分量分别相乘，且面积是对体积求导。
218 第二型曲线积分
第二型曲线积分是向量场（一阶微分形式）在有向曲线上的积分，其中向量场和一阶微分形式的对应关系为：\(\bf V\cdot \bf v = \o(\bf v)\)。
物理背景
力的做功
存在力场（向量场）\(F(\bf x)\)，对运动 \(\bf x(t)\ (a\leq t\leq b)\)，计算力场的做功。
速度 \(\bf x'(t)\)，无穷小位移 \(\bf x'(t)\dd t\)，于是
流速向量场的环量
存在流速场（向量场）\(\bf v(\bf x)\)。
流速向量场的 环量：单位时间沿 有向 简单闭曲线 \(\g\) 切方向的流量。\(\g\) 一般为自然定向。
虽然是第一型曲线积分，但曲线定向决定了 单位切向量 \(\bf T(\bf x)\) 的方向。曲线反向，则单位切向量反向，积分改变符号。因此是有向积分。
考虑符合曲线定向的正则参数表示 \(\bf x(t)\ (a\leq t\leq b)\)，则 \(\bf T(\bf x) = \fr {\bf x'(t)} {\| \bf x'(t)\|}\)（若参数增加的方向与定向相反，则需添加负号），而 \(\dd l = \|\bf x'(t)\|\dd t\)，于是
流速向量场的通量
存在流速场（向量场）\(\bf v(\bf x)\)。
考虑简单 平面 闭曲线 \(\g\) 的单位外法向量场 \(\bf n(\bf x)\)，在 \(\bf x\) 处与曲线正交且指向无界区域。要求平面是为了保证法方向唯一。
流速向量场的 通量：单位时间流体从区域内部到外部的净流出量。
将 \(\bf v(\bf x)\) 和 \(\bf n(\bf x)\) 逆时针旋转 \(\fr \pi 2\)，分别得到向量场 \(\bf u(\bf x)\) 和曲线自然定向的单位切向量 \(\bf T(\bf x)\)，则 \(\bf v(\bf x) \cdot \bf n(\bf x) = \bf u(\bf x) \cdot \bf T(\bf x)\)。
定义与计算
内积形式（物理）
上述物理背景共同提出了以下问题：给定向量场 \(\bf v(\bf x)\) 和有向曲线 \(\g\)，计算第一型曲面积分
其本质为 向量场在有向曲线上的积分。
根据分析，若 \(\g\) 存在正则参数表示 \(\bf x(t)\)，则第一型曲面积分可转化为有向积分
其中正负号由参数增加的方向是否符合曲线定向决定。
一阶微分形式（数学）
在笛卡尔坐标系 \(\bf x = (x ^ 1, \cdots,x ^ n)\) 下，内积等于对应坐标相乘求和。
设 \(\bf F(\bf x) = (F ^ 1(\bf x), F ^ 2(\bf x), \cdots, F ^ n(\bf x))\)，则
可根据积分的线性性拆成 \(n\) 个积分分别计算。
是 一阶微分形式。它在每个点 \(\bf x\) 处提供了一个线性函数 \(\sum_{i = 1} ^ n a_i \dd x ^ i\)，其中 \(a_i = F_i(x ^ 1, \cdots, x ^ n)\)，\(\dd x ^ i\) 是作用于向量的线性函数（函数的作用对象是点，线性函数的作用对象是向量），它表示向量在当前坐标系下的第 \(i\) 个坐标分量。这个线性函数将 \(\bf x\) 处的向量 \(\bf v\) 变为实数
在不同点提供的线性函数可能不同。一阶微分形式是一个 线性函数场。
现在考虑一阶微分形式
作用于向量场 \(\bf v(\bf x)\) 得到关于 \(\bf x\) 的函数
令 \(\o\) 作用于光滑有向曲线 \(\g\) 的正向切向量场并积分，得到
一阶微分形式沿着有向曲线的积分称为 第二型曲线积分。
一阶微分形式避免了将向量坐标的线性组合解释为向量内积，是比向量场更好的语言。一阶微分形式在坐标系变换下的变换方式比向量场简单：坐标系的变换会改变内积的计算方式。
一阶微分形式不一定是全微分，下文将详细说明这一点。
性质
参数无关性
第二型曲线积分是有向积分，和曲线的保向正则参数表达的选取无关。沿曲线的相反方向，积分值为相反数。
线性
一阶微分形式：
内积形式：
可加性
从曲线的一端出发到另一端再原路返回，积分值为 \(0\)。反向曲线的积分为相反数。
特殊向量场
计算第二型曲线积分的一般方法是写出曲线的正则参数表示，通常比较麻烦。以下讨论在特殊情况下的计算。
梯度向量场的势函数（物理）
若向量场 \(\bf F(\bf x)\) 是函数 \(u(\bf x)\) 的 梯度向量场 \(\bf F(\bf x) = \na u(\bf x)\)，则称 \(u(\bf x)\) 为梯度向量场的 势函数。
对任何从 \(A\) 到 \(B\) 的有向曲线 \(\g : \bf x(t),\ t\in [a, b]\) 满足 \(\bf x(a) = A\) 且 \(\bf x(b) = B\)，有
梯度向量场沿曲线的积分与路径无关。
- 有势力场的做功与运动路径无关，只与运动起止点有关。
保守向量场
曲线积分只与曲线端点有关，与路径无关的向量场称为保守向量场。梯度向量场是保守向量场。
连续的保守向量场是梯度向量场：以任意一点为基准，设 \(f\) 为基准点到每个点的曲线积分，则 \(f\) 为该向量场的势函数。
全微分的原函数（数学）
若 \(\o = \dd u\)，则 \(u\) 是 \(\o\) 的原函数。
根据 N-L 公式，全微分沿任何曲线的积分等于曲线起点和终点处原函数的函数值的差。
例 1
\[\int_\g (\e ^ y + \sin x) \dd x + (x \e ^ y - \cos y) \dd y. \]其中 \(\g\) 在圆弧 \((x - \pi) ^ 2 + y ^ 2 = \pi ^ 2\) 沿顺时针方向从 \((0, 0)\) 到 \((\pi, \pi)\)。
解
观察得
\[\o = \dd (x\e ^ y - \cos x - \sin y). \]所以
\[\int_\g \o = \l.(x\e ^ y - \cos x - \sin y)\r|_{(0, 0)} ^ {(\pi, \pi)} = \pi\e ^ \pi + 2. \]
例 2
\[\int_{\g} (x ^ 2 - yz) \dd x + (y ^ 2 - zx) \dd y + (z ^ 2 - xy) \dd z. \]其中 \(\g\) 为螺旋线 \(x = a\cos t,\ y = a\sin t,\ z = bt\ (0\leq t\leq 2\pi)\)。
解
\[\o = \dd\l(\fr {x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3} 3 + xyz\r). \]所以
\[\int_\g \o = \l.\l(\fr {x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3} {3} + xyz\r)\r|_{(a, 0, 0)} ^ {(a, 0, 2b\pi)} = \fr {8b ^ 3\pi ^ 3} 3. \]
对于有原函数的一阶微分形式的积分，转化为原函数在曲线两端的差。
例 3
\[\int_{\g} \fr {x\dd x + y\dd y} {\sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 - 1}}. \]\(\g\) 是任意从 \(A(2, 0)\) 到 \(B(0, 3)\) 的不经过区域 \(x ^ 2 + y ^ 2\leq 1\) 的路径。
解
\[\o = \dd \sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 - 1}. \]因此
\[\int_\g \o = \sqrt 8 - \sqrt 3. \]
和路径无关的积分一定有原函数。看不出原函数可以沿平行于坐标轴的方向积分。
例 4
\[\int_{\g} (1 + y\e ^ x)\dd x + (x + \e ^ x)\dd y. \]\(\g\) 是沿上半椭圆 \(\fr {x ^ 2} {a ^ 2} + \fr {y ^ 2} {b ^ 2} = 1\) 从 \(A(a, 0)\) 到 \(B(-a, 0)\) 的路径。
解
\[\o = \dd(x + y\e ^ x) + x\dd y. \]因此
\[\int_\g \o = -2a + \int_\g x\dd y = -2a + \int_0 ^ \pi a\cos t \ \dd b\sin t = \fr {ab\pi} 2 - 2a. \]
尽可能地将一阶微分形式写成全微分，简化计算。
例 5
设
\[\g : \bc x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = R ^ 2, \\ x + y + z = 0. \ec \]它在 \(xy\) 坐标平面的正交投影为逆时针旋转。求
\[\int_{\g} z\dd x + x\dd y + y \dd z. \]解
\(\omega\) 一定不是原函数，因为 \(\dd x\) 前的系数对 \(z\) 求导为 \(1\)，但 \(\dd z\) 前的系数对 \(x\) 求导为 \(0\)。
将 \(z = -x - y\) 带入，得
\[\l(x + \fr y 2\r) ^ 2 + \fr 3 4y ^ 2 = \fr {R ^ 2} 2. \]写成参数方程形式
\[\bc x = \fr {R} {\sqrt 2} \cos t - \fr {R} {\sqrt 6}\sin t, \\ y = \fr {R} {\sqrt 2} \fr 2 {\sqrt 3} \sin t = \fr {2R} {\sqrt 6} \sin t. \ec \]则
\[\bal \int_{\g} \o & = \int_\g (-x - y)\dd x + x \dd y + y\dd(-x - y) \\ & = \int_\g \dd\l(-\fr {x ^ 2} 2 - \fr {y ^ 2} 2 - 2xy\r) + 3x\dd y \\ & = 3\int_\g x\dd y \\ & = 3\int_0 ^ {2\pi} \l(\fr {R} {\sqrt 2} \cos t - \fr {R} {\sqrt 6}\sin t\r) \dd \fr {2R} {\sqrt 6} \sin t \\ & = \sqrt 3 \pi R ^ 2. \eal \]
对于闭合曲线，全微分的路径积分为 \(0\)。简化后再将参数方程代入。
例 6
沿圆周 \(x ^ 2 + y ^ 2 = R ^ 2\) 逆时针旋转，求
\[\int_\g x\dd y,\quad \int_\g -y\dd x,\quad \fr 1 2\int_\g x\dd y - y \dd x. \]解
取 \(x = R\cos \t,\ y = R\sin \t\ (0\leq \t\leq 2\pi)\)，则
\[\fr 1 2 \int_\g \o = \fr 1 2\int_\g -R\sin\t\dd R\cos \t + R\cos \t \dd\sin\t = \pi R ^ 2. \]因为 \(\g\) 是封闭曲线，所以
\[\int_\g x\dd y - \int_\g -y\dd x = \int_\g \dd(xy) = 0. \]因此
\[\int_\g x\dd y = \int_\g -y\dd x = \fr 1 2 \int_\g x\dd y - y\dd x = \pi R ^ 2. \]
平面封闭曲线所围面积公式，是 Green 公式的特例。
并非所有第二型曲线积分都必须写成参数方程形式。特殊情况下，可以回到最初的向量场内积形式计算。如例 6 曲线的单位切向量 \(\bf T = (\fr {-y} R, \fr x R) ^ T\)，所以
对第二型曲线积分要慎用对称性：平面变换可能改变定向。
例 7
设 \(\Gamma\) 是 \(\R ^ 3\) 上的一条光滑封闭曲线，且不与 \(z\) 轴相交。求
\[\int_{\Gamma} \fr {x\dd y - y\dd x} {x ^ 2 + y ^ 2}. \]解
积分和 \(z\) 无关，考虑柱坐标系
\[x(t) = r(t)\cos \t(t),\quad y(t) = r(t)\sin \t(t), \quad z(t) = z(t). \]因为 \(\Gamma\) 封闭，所以 \(\t(T) = \t(0) + 2n\pi\)。
\[\int_\Gamma \o = \int_0 ^ T\fr {r(t)\cos \t(t) \dd (r(t)\sin \t(t)) - r(t)\sin \t(t) \dd(r(t)\cos \t(t))} {r(t) ^ 2} = \int_0 ^ T \t'(t)\dd t = 2n\pi. \]
这个积分反映了空间封闭曲线的平面投影的旋转情况。
坐标系变换
在坐标系变换下，只需根据变换关系将原坐标系的变量用新坐标系的变量替换即可。
证明较复杂。
无旋场
由微积分基本定理，对任何连续函数 \(f(x)\)，\(f(x)\dd x\) 是全微分。但多元的连续一阶微分形式不一定是全微分，如
若 \(\o\) 是全微分 \(\dd u\)，则由 Clairaut 定理
对可微函数 \(M(x, y), N(x, y)\)，若 \(\dd f = M(x, y)\dd x + N(x, y)\dd y\)，则 \(\p f x = M(x, y)\)，\(\p f y = N(x, y)\)。于是 \(\p M y = \p N x\)。
一般地，若 \(F_1 \dd x ^ 1 + \cdots + F_m \dd x ^ m\) 是全微分，则
满足以上条件的向量场 \(\bf F\) 称为 无旋场（和下一节的旋度密切相关），满足以上条件的一阶微分形式称为 恰当微分形式。
有势场 \(\iff\) 保守场 \(\implies\) 无旋场，全微分 \(\implies\) 恰当微分。特别地，若向量场在单连通区域上无旋，则该向量场是保守向量场。
219 Green 公式
Green 公式是向量场在封闭曲线上的第二型曲线积分和曲线内部区域的二重积分的关系，是 N-L 公式的推广。包括三维情况下的 Gauss-Stokes 公式，都是广义 N-L 公式的特例。
直观理解：边界上的函数积分是区域内部的导函数积分。导函数线性组合的方式则是本小节讨论的内容。
环量-旋度公式
旋度
设平面向量场 \(\bf V = (X, Y) ^ T\)，其中 \(X, Y\) 是可微函数。
考虑以 \((x_0, y_0)\) 为中心的边长为 \(2\D x, 2\D y\) 的小矩形，其环量为
因为 \(X, Y\) 可微，所以小范围内 \(X, Y\) 近似为线性函数，于是环量为
由拉格朗日中值定理，即
记
称为向量场 \(\bf V\) 的 旋度。
\(\cu \bf V = 0\) 的向量场称为 无旋场。
环量-旋度公式
对于线性向量场，\(\cu \bf V\) 为 定值。此时
即
其中 \(S_\O\) 表示面积，\(\pa \O\) 表示自然正向的边界曲线。对非线性向量场，该等式同样成立。
证明
分割整个区域，直到所有小区域均为曲边梯形。
考虑 \(\o = \{(x, y)\mid a\leq x\leq b,\ f(x)\leq y\leq g(x)\}\)。
\[\bal \int_{\pa \O} X\dd x & = \int_a ^ b X(x, f(x))\dd x - \int_a ^ b X(x, g(x)) \dd x \\ & = \int_a ^ b \int_{g(x)} ^ {f(x)} X_y(x, y)\dd y\dd x \\ & = -\iint_{\O} X_y(x, y)\dd x\dd y \eal \]\[\int_{\pa \O} Y\dd y = \int_{f(b)} ^ {g(b)} Y(b, y)\dd y - \int_{f(a)} ^ {g(a)} Y(a, y)\dd y + \int_a ^ b(Y(x, f(x))f'(x) - Y(x, g(x))g'(x))\dd x. \]对于前两项，将 \(a, b\) 当成参数，可知其等于
\[\int_a ^ b \fr {\dd} {\dd x}\l(\int_{f(x)} ^ {g(x)}Y(x, y) \dd y\r)\dd x. \]将内部的含参积分对 \(x\) 求导，则对上下限的求导刚好和第三项消去，只剩 \(\int_{f(x)} ^ {g(x)} Y_x(x, y)\dd y\)。于是
\[\int_{\pa \O} Y\dd y = \iint_{\O} Y_x(x, y)\dd x\dd y. \]
称为 环量-旋度公式。
对非线性向量场，
验证面积公式
散度
以 \((x_0, y_0)\) 为中心的边长为 \(2\D x, 2\D y\) 的小矩形的通量约为
记
为向量场 \(\bf V\) 的 散度。
\(\dv \bf V = 0\) 的向量场称为 无源场，即没有 “源头”，有进必有出。
- 不可压缩的流体的流速场一定是无源场。
通量-散度公式
根据通量的一阶微分形式，使用环量-旋度公式得到 通量-散度公式
理解：对于每个小矩形，其下边界产生的贡献和它下方的小矩形的上边界的贡献相互抵消，于是边界上的通量差不多是其分割的每个小矩形的通量之和。随着分割加细，每个小矩形的通量之和最终趋于散度在整个区域上的积分。
对于任意一阶微分形式都有类似的理解方式，即 Green 公式。需要引入外微分和二阶微分形式的概念。
Green 公式
楔积、二阶微分形式
设 \(\o, \eta\) 是两个一阶微分形式，对向量场 \(\bf V, \bf W\)，定义
为 \(\o, \eta\) 的 楔积。其关于 \(\o, \eta\) 双线性，反对称；关于 \(\bf V, \bf W\) 双线性，反对称。
二阶微分形式
是计算 \(\bf x, \bf y\) 形成的平行四边形的有向面积。回忆 \(\dd x\) 和 \(\dd y\) 分别是取向量的 \(x\) 坐标和 \(y\) 坐标。\(\dd x \w \dd y = -\dd y\w \dd x\)。
外微分
对可微函数 \(f\)，定义 \(f\) 的外微分为一阶微分 \(\dd f\)。
对一阶微分形式 \(\o = \sum F_i\dd x ^ i\)，定义 \(\o\) 的 外微分 为
称微分形式是 恰当 的，若 \(\dd \o = 0\)。
Green 公式
对一阶微分形式 \(\o = X\dd x + Y\dd y\)，
由环量-旋度公式，
解释：\(\dd x\w \dd y\) 作用于 \(xy\) 平面的标准正向的面积元上，得到面积元的正面积，\(\dd x \w \dd y = \dd x \dd y\)（仅在二维成立）。
- Newton-Leibniz 公式的推广：线段的 “边界” 为其两端。
例 1
求曲线 \(x ^ 3 + y ^ 3 = 3xy\) 在第一象限内所围有界区域的面积。
解
设 \(y = tx\)，则 \(x = \fr {3t} {1 + t ^ 3},\ y = \fr {3t ^ 2} {1 + t ^ 3}\ (0\leq t < +\infty)\)。
\[\iint_{\O} \dd x\dd y = \int_{\g} -y\dd x = -\int_0 ^ {+\infty} \fr {3t ^ 2} {1 + t ^ 3} \dd \fr {3t} {1 + t ^ 3} = \fr 3 2. \]第一个等号是最经典的面积积分公式，可以不用 Green 公式。注意积分方向要符合曲线的自然正向。
例 2
沿上半椭圆周 \(\fr {x ^ 2} {a ^ 2} + \fr {y ^ 2} {b ^ 2} = 1\) 从右到左求
\[\int_\g (1 + y\e ^ x) \dd x + (x + \e ^ x) \dd y. \]解
考虑单位上半椭圆 \(\o\)，则
\[\int_{\pa \O}(1 + y\e ^ x)\dd x + (x + \e ^ x)\dd y = \iint_{\O} ((1 + \e ^ x) - \e ^ x) \dd x \dd y = \fr {ab\pi} 2. \]沿椭圆长轴从左到右 \(y = \dd y = 0\)，可知
\[\int_\g \o = \fr {ab\pi} 2 - \int_{-a} ^ a \dd x = \fr {ab\pi} 2 - 2a. \]
应用
无旋向量场
对无旋场 \(\bf F\)，若 \(\O\) 单连通，则任取起点终点相同的两条有向曲线 \(\g_1, \g_2\)，由无旋条件和 Green 公式知
从而 \(\bf F\) 是保守场。
- 单连通：任何封闭曲线在区域内可连续形变为一个点（没有洞）。
如果 \(\O\) 不是单连通，但向量场沿着洞的边界积分为 \(0\)，则向量场是保守场。
例 1
\(\bf V = \fr {(-y, x)} {x ^ 2 + y ^ 2}\) 是无旋向量场，但不是保守向量场。
解
根本原因是定义域有洞 \((0, 0)\)。
一阶微分形式方程
若
则 \(P(x, y)\dd x + Q(x, y) \dd y = 0\) 称为 全微分方程。
若
则 \(P(x, y)\dd x + Q(x, y) \dd y = 0\) 称为 恰当方程。
全微分方程是恰当方程。根据 Green 公式，在单连通区域中，恰当方程是全微分方程。
例 2
解方程
\[\l(\ln y - \fr y x\r)\dd x + \l(\fr x y - \ln x\r) \dd y = 0 \]解
定义域 \(D = \{(x, y)\mid x, y > 0\}\) 是单连通区域，且满足无旋条件。于是 \(\o\) 是全微分，存在原函数。
通过直接观察或路径积分法，\(\o = \dd(x\ln y - y\ln x)\)，所以原方程的通解为
\[x\ln y - y\ln x = C. \]
若非零函数 \(\mu(x, y)\) 使得
是恰当方程，则称 \(\mu(x, y)\) 为该微分方程的一个 积分因子。它保持原微分方程的解不变，但积分因子一般不好求。
例 3
解方程
\[(x + y)\dd x + (y - x) \dd y = 0. \]解
方程不是恰当方程。
因为方程齐次，所以在极坐标下考虑方程，得
\[r\dd r - r ^ 2\dd \t = 0. \]考虑到
\[\fr 1 {r ^ 2} (r\dd r - r ^ 2\dd \t) = \dd (\ln r - \t). \]因此 \(\ln r - \t = C\) 即 \(r = C_1\e ^ \t\) 是原方程的通解，即
\[x = C_1\e ^ \t\cos \t,\ y = C_1\e ^ \t\sin \t. \]是原方程的积分曲线。
齐次方程均有形如 \(\mu = \mu(r)\) 的积分因子。
根据无旋条件，有
这是关于 \(\mu\) 的一阶偏微分方程，通常更难解。但在特殊情况下可以转化为常微分方程。如令 \(\mu\) 和 \(x\) 无关，此时
只要 \(\fr {Q_x(x, y) - P_y(x, y)}{P(x, y)}\) 和 \(x\) 无关，就得到了 \(\mu\) 关于 \(y\) 的线性常微分方程。
220 第二型曲面积分
曲面积分相较于曲线积分的难点（更难理解的点）在于实际空间和参数空间面积元的转换。因为最终曲线曲面积分的计算都会归结为关于参数的重积分，所以对曲线和曲面的参数化，以及计算实际空间面积元和参数空间面积元的比例都是必要的。对于曲线积分，这个比例就是切向量模长 \(\|\bf x'(t)\|\)。但对于二维曲面积分，其涉及到在三维（或任意高维）空间中计算两个切向量所围平行四边形的面积。
- 对于第一型曲面积分，曲面可以落在任意高维，计算方法是切向量配对内积所组成矩阵的行列式开根 \(\sqrt {EG - F ^ 2}\)。这对缺少线性代数知识的学生（如笔者）是反直觉的。其优点在于可以推广至 \(n\) 维空间中 \(m\) 维曲面的积分。
- 对于第二型曲面积分，因为空间是三维的，所以有另外一种计算方法。这是本小节讨论的内容。
有向曲面
超曲面、定向曲面
对于 \(\R ^ N\) 中 \(N - 1\) 维曲面 \(\S\) 称为 超曲面。对可微超曲面，其上的每个点有唯一法方向。
超曲面称为 可定向，若存在连续的单位法向量场 \(\bf n : \S\to \R ^ N\)。称 \((\S, \bf n)\) 是有向曲面。
可定向曲面例
平面 \(\sum a_ix ^ i = 0\) 是可定向曲面，常向量场 \(\bf n = \fr {(a_1, \cdots, a_N) ^ T} {\sqrt {a_1 ^ 2 + \cdots + a_N ^ 2}}\) 是单位法向量。
可微函数等值集 \(F(x ^ 1, \cdots, x ^ N) = 0\)，若 \(0\) 是 \(F\) 的正则值，则 \(\S = F ^ {-1}(0)\) 是可定向曲面，\(\bf n(\bf x) = \fr {\gr F(\bf x)} {\| \gr F(\bf x) \|}\) 是连续的单位法向量场。
可微函数图像 是可定向曲面，\(\bf n = \fr {1} {\sqrt {1 + \|\na f(\bf x)\| ^ 2}}(-\na f(\bf x), 1) ^ T\)。
正则参数曲面 是可定向曲面。设 \(t ^ i\) 为参数，则 \(\p {(x ^ 1, \cdots, x ^ {m + 1})} {(t ^ 1, \cdots, t^ m)}\) 满列秩。线性函数
在曲面的切空间上为零（将任意基底切向量 \((x ^ 1_{t ^ j}, \cdots, x ^ {m + 1}_{t ^ j}) ^ T\) 带入 \(\bf v\)，矩阵存在两列相同），其梯度为曲面 \(\S\) 的法向量。设 \(v ^ i\) 的系数为 \(A_i\)，即去掉矩阵第一列第 \(i\) 行所得代数余子式。
例如，\(m = 1\) 时
其梯度 \((y'(t), -x'(t))\) 由曲线切向量顺时针旋转 \(\fr \pi 2\) 得到，为曲线法向量。
当 \(m = 2\) 时，所得法向量即对两个参数求导得到的切向量的叉积。
Mobius 带
有参数表达的不可定向曲面。
定义与计算
通量
向量场 \(\bf V(\bf x)\) 在有向曲面 \((\S, \bf n)\) 上的 通量 为
对曲面上的每个小面积 \(\dd S\)，计算 \(\bf V(\bf x)\) 在单位法方向上流过多少体积。
现在我们想知道 \(\dd S\) 和参数之间的转换关系。设 \(\bf n = \fr {\bf A} {\| \bf A \|}\)，其中 \(A_i\) 的定义在之前给出了。
设对第 \(i\) 个参数求导得到向量 \(\bf v_i\)，则
其中第一个等号由 \(\bf n = \fr {\bf A} {\| \bf A\|}\) 和 \(A_i\) 的定义结合行列式的代数余子式定义可知。于是 \(\bf n\) 和 \(\bf v_i\) 所围成 \(m + 1\) 维平行多面体的体积为 \(\| \bf A\|\)。又因为 \(\|\bf n\| = 1\) 且 \(\bf n\) 和所有 \(\bf v_i\) 垂直，所以所有 \(\bf v_i\) 围成的 \(m\) 维超曲面面积为 \(\|\bf A\|\)。在局部，参数空间的单位面积在当前空间下的面积为 \(\| \bf A\|\)。
因此，通量为
以上推导统统可以忘掉，只理解最终形式：\(\det (\bf V, \p {(x ^ 1, \cdots, x ^ {m + 1})} {(t ^ 1, \cdots, t ^ m)})\) 的第 \(i + 1\) 列是 \(\bf x\) 关于第 \(i\) 个参数求导得到的切向量，其本质描述了 “参数空间中对每个参数进行单位扰动得到的无向面积” 在实际空间中对应的有向面积与 \(\bf V\) 在当前点提供的向量所围成的有向体积。从无向面积到有向面积的转换可能产生负号。不变号当且仅当参数顺序和曲面定向一致，因为 \(\bf n\) 是通过给定参数顺序算出的，实际定向可能相反（改变参数顺序可能改变 \(\bf n\) 的方向）。在三维空间中，正确的方向是 \(\bf v_1\) 和 \(\bf v_2\) 的叉积方向（右手四指从 \(\bf v_1\) 绕向 \(\bf v_2\)，大拇指的方向）和曲面定向一致。
当 \(m = 2\) 时，通量为（若 \(u, v\) 的参数顺序产生的 \(\bf n\) 和实际曲面定向一致，否则有负号）
这给出了三维空间中第二型曲面积分的计算公式。
二阶微分形式
三维空间中的通量公式可以写为
\(\dd y \w \dd z(\bf v, \bf w) = \bvm v_2 & w_2 \\ v_3 & w_3 \evm\) 是 \(\bf v, \bf w\) 在空间中形成的有向平行四边形在 \(yz\) 平面上的投影（也是有向平行四边形）的有向面积。这个有向面积乘以 \(X\) 就是通量在 \(x\) 轴方向上的分量。类似计算 \(y\) 轴方向上和 \(z\) 轴方向上的部分。
形如
的对象称为 \(\R ^ 3\) 中的 二阶微分形式。
三维空间中向量场的通量即二阶微分形式在曲面上的积分。这样，我们将向量场和内积的语言写成微分形式的语言，后者在坐标系转换下更方便计算。
第二型曲面积分和曲面的保向参数表示的选择无关。
例 1
设有向曲面 \(\S\) 为函数 \(z = x ^ 2 + y ^ 2\) 图像在 \(x ^ 2 + y ^ 2\leq 1\) 的部分，方向朝 \(z\) 轴负半轴。求
\[\iint_{\S} x \dd y \w \dd z. \]解
曲面参数方程 \(x = x\)，\(y = y\)，\(z = x ^ 2 + y ^ 2\)。
\(y\)-切线方向，\(x\)-切线方向和给定的曲面法向构成右手系：考虑 \((0, 0, 0)\)，右手四指从 \(y\)-切线方向（\(y\) 轴正向）绕向 \(x\)-切线方向（\(x\) 轴正向），大拇指指向 \(z\) 轴反向，和曲面定向一致。因此 \(\dd y \w \dd x = \dd x \dd y\)。
\[\iint_{\S} x\dd y \w \dd(x ^ 2 + y ^ 2) = \iint_{x ^ 2 + y ^ 2\leq 1} 2x ^ 2 \dd y\w \dd x = \iint_{x ^ 2 + y ^ 2\leq 1}(x ^ 2 + y ^ 2) \dd x\dd y = \fr \pi 2. \]第二个等号使用了对称性。
例 2
设 \(\O\) 为由平面 \(x + y + z = 1\) 与三个坐标平面围成的有界区域，\(\pa \O\) 为外法向，求向量场 \(\bf v = (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ T\) 在 \(\pa \O\) 上产生的通量。
解
易知 \(\bf v\) 在坐标平面上的通量为 \(0\)。在斜面 \(\S\) 上，\(\dd x \w \dd y = \dd x\dd y\)。
\[\bal \iint_{\pa \O} \o & = \iint_{\S} x ^ 2 \dd y \w \dd z + y ^ 2 \dd z \w \dd x + z ^ 2 \dd x \w \dd y \\ & = \iint_{\S} x ^ 2 \dd y \w (1 - x - y) + y ^ 2 \dd(1 - x - y) \w \dd x + (1 - x - y) ^ 2 + \dd x \w \dd y. \eal \]最终结果为 \(\fr 1 4\)。
例 3
沿椭球面 \(\S : \fr {x ^ 2} {a ^ 2} + \fr {y ^ 2} {b ^ 2} + \fr {z ^ 2} {c ^ 2} = 1\) 朝外方向计算
\[\iint_\S x\dd y\w \dd z + y\dd z\w \dd x + z\dd x \w \dd y. \]解
换元 \(\Phi(X, Y, Z) = (aX, bY, cZ) = (x, y, z)\)，则
\[\bal \iint_\S \o & = abc \iint_{X ^ 2 + Y ^ 2 + Z ^ 2 = 1} X\dd Y \w\dd Z + Y\dd Z \w \dd X + Z \dd X \w \dd Y \\ & = abc \iint_{X ^ 2 + Y ^ 2 + Z ^ 2 = 1} \bf n\cdot \bf n\dd S \\ & = 4\pi abc. \eal \]
221 Gauss-Stokes 公式
三维空间中边界和区域内部积分的关系。广义 Stokes 公式是最终推广。
微分形式
一阶微分形式的楔积
对一阶微分形式 \(\o_1, \o_2 \cdots, \o_k\) 和向量场 \(\bf V_1, \bf V_2, \cdots, \bf V_k\)，定义 \(\o_1, \o_2, \cdots, \o_k\) 的 楔积 为
关于微分形式和向量场多线性，反对称。
高阶微分形式
\(\R ^ m\) 上的 \(k\) 阶微分形式形如
\(\dd x ^ {i_1} \w \cdots \w \dd x ^ {i_k}\) 作用于 \(k\) 个向量场上相当于计算这些向量场在一点处对应的 \(k\) 个向量形成的平行多面体在 \(x ^ {i_1}, \cdots, x ^ {i_k}\) 这 \(k\) 个维度上的有向投影面积。
外微分
定义 \(\o\) 的 外微分 为
- 注意 \(F_{i_1, \cdots, i_k}\) 的下标的含义不是求偏导数，仅是一个用于区分的记号。对下面的 \(F_i\) 同理。
易证 \(\dd (\dd \o) = 0\)。
\(\R ^ m\) 上的 \(m - 1\) 阶微分形式
其中 \(\widehat {\dd x ^ i}\) 表示没有出现 \(\dd x ^ i\)。它的外微分是 \(m\) 阶微分形式
Gauss-Stokes 公式
三维空间的散度
在笛卡尔坐标系下，定义向量场 \(\bf V = (X, Y, Z) ^ T\) 的散度 \(\dv \bf V = (X_x, Y_y, Z_z) ^ T\)，形式化地写为
Gauss 公式
设 \(\o \subset \R ^ m\) 是有界闭区域，\(\bf V\) 是 \(\o\) 上的光滑向量场，\(\pa \o\) 是 \(\o\) 的边界，由有限多 \(m - 1\) 维光滑曲面组成。
在笛卡尔坐标系下，
和散度的定义相匹配。
Gauss 公式是三维空间中的散度-通量公式。
散度的另一种定义：
例 1
\(p(x, y, z)\) 为椭球面 \(\S : \fr {x ^ 2} {a ^ 2} + \fr {y ^ 2} {b ^ 2} + \fr {z ^ 2} {c ^ 2} = 1\) 在 \((x, y, z)\) 处的切平面到原点的距离。求
\[\iint_{\S} \fr {1} {p(x, y, z)} \dd S. \]解
设 \(g(x, y, z) = \fr {x ^ 2} {a ^ 2} + \fr {y ^ 2} {b ^ 2} + \fr {z ^ 2} {c ^ 2} - 1\)，则 \(\na g(\bf x) = (\fr {2x} {a ^ 2}, \fr {2y} {b ^ 2}, \fr {2z} {c ^ 2}) ^ T\)。
因为 \(p(\bf x) = \|\bf x\| = \bf x \cdot \bf n\)，\(\bf n = \fr {\na g(\bf x)} {\|\na g(\bf x)\|}\)，所以
\[\fr 1 {p(x)} = \fr {\| \na g(\bf x)\|} {\bf x\cdot \na g(\bf x)} = \fr 1 2 \|\na g(\bf x)\| = \fr 1 2 \na g(\bf x) \cdot \bf n. \]由 Gauss 公式
\[I = \fr 1 2\iint_\S \na g(\bf x)\cdot \bf n\dd S = \iiint_{\O} \l(\fr 1 {a ^ 2} + \fr 1 {b ^ 2} + \fr {1} {c ^ 2}\r) \dd x \dd y \dd z = \fr {4\pi abc} {3}\l(\fr 1 {a ^ 2} + \fr 1 {b ^ 2} + \fr {1} {c ^ 2}\r). \]
例 2
阿基米德浮力定律。
解
设液体密度为常数。规定水平面 \(z = 0\)。
\[\bal F & = \iint_{\pa \O} \rho g(-z) \bf n \dd S \\ & = -\bf i \iint_{\pa \O} \rho gz \dd y \w \dd z - \bf j \iint_{\pa \O} \rho g z \dd z \w \dd x -\bf k\iint_{\pa \O} \rho g z \dd x \w \dd y \\ & = \bf k\iiint_{\O} \rho g\dd x \dd y \dd z \\ & = Mg\bf k. \eal \]对于变密度的情况，当液体密度仅与深度 \(z\) 有关时，压强 \(P(z) = \int_z ^ 0 \rho(t)g\dd t\)。由 Gauss 公式和含参积分求导，得
\[-\bf k\iint_{\pa \O} \l(\int_z ^ 0 \rho(t) g\dd t\r) \dd x \w \dd y = \bf k\iiint_{\O} \rho(z)g\dd x \dd y \dd z = Mg\bf k. \]
三维空间的旋度
在笛卡尔坐标系下，定义向量场 \(\bf V = (X, Y, Z) ^ T\) 的旋度 \(\cu\bf V = (Z_y - Y_z, X_z - Z_x, Y_x - X_y) ^ T\)，形式化地写为
Stokes 公式
设 \(\S\) 是三维空间中的二维曲面。
在笛卡尔坐标系下，
和旋度的定义相匹配。
Stokes 公式是三维空间的曲面上的 Green 公式（环量-旋度公式）。仅和曲面边界有关，而和曲面形状无关。
例 3
求
\[\int_\g y\dd x + z\dd y + x\dd z, \]其中 \(\g\) 是直角坐标系沿 \(A_1(a, 0, 0)\) 经 \(A_2(0, a, 0)\) 到 \(A_3(0, 0, a)\) 最终回到 \(A_1\)。
解
由 Stokes 公式
\[\int_{\g} y\dd x + z\dd y + x\dd z = \iint_{\S} \dd \o = \iint_{\S} -\dd x \w \dd y - \dd y \w \dd z - \dd z \w \dd x. \]考虑 \(\g\) 和坐标轴围成的三个墙面，沿着墙面分别积分。
在 \(\S_{x = 0}\) 上 \(x = \dd x = 0\)，曲线正向对应的法方向和 \(y\) 轴绕向 \(z\) 轴形成的法方向一致，所以 \(\dd y\w \dd z = \dd y\dd z\)。
\[\iint_{\S_{x = 0}} \dd \o = -\iint_{\S_{x = 0}} \dd y \w \dd z = -\fr {a ^ 2} 2. \]由对称性，
\[I = -\fr {3a ^ 2} 2. \]
向量场的微分运算
在笛卡尔坐标系下
$\na, \na \cdot, \na \times $（梯度，散度，旋度）都是线性运算，且满足 Leibniz 公式
- \(\na (fg) = f\na g + g\na f\)。
- \(\na \times (\mu \bf F) = \mu \na\times \bf F + \na \mu\times \bf F\)。
- \(\na \cdot (\mu \bf F) = \mu \na \cdot\bf F + \na \mu \cdot \bf F\)。
- \(\na \cdot (\bf F\times \bf G) = \bf G \cdot (\na \times \bf F) - \bf F \cdot (\na \times \bf G)\)。
数学家发明的微分形式的符号和外微分运算统一了对向量场的微分运算。
梯度场是无旋场：\(\na \times \na = 0\)，旋度场是无源场：\(\na \cdot (\na \times) = 0\)。
总结
重积分
平面矩形域
从简单情况入手。在平面矩形域 \(I\) 上定义矩形分割，得到 \(I\) 上的二重积分
当直径趋于 \(0\) 时，若极限存在（极限和分割，取点的任意性无关），则 Riemann 可积。
可积性：Lebesgue 准则。最常用：间断点面积为 \(0\)。
性质：线性，保序性。
一般平面有界集
将矩形域推广至有界集。方法是放在更大的矩形域上积分。
对一般平面有界集 \(D\)，记
若 \(f_D(x, y)\in \scr R(I)\)，其中 \(I\supseteq D\) 是矩形域，则 \(f(x, y)\in\scr R(D)\)。
可积性：间断点面积为 \(0\) 且边界 \(\pa D\) 面积为 \(0\)。
性质：线性，保序性，关于积分区域的可加性。
二重积分的积分中值定理。条件：区域连通，边界为零面积集，函数连续，留在积分内的函数不变号。
集合面积：\(1\) 在集合上的积分。若可积，则称集合有面积。
计算 —— 累次积分法
Fubini 定理：对 Riemann 可积函数 \(f\) 和矩形域 \(I\)：
一般平面区域写成 \(D = \{(x, y)\mid y_1(x) \leq y\leq y_2(x),\ a\leq x\leq b\}\) 再化成累次积分。
计算 —— 重积分换元
简化被积区域，面积微元乘以 \(\abs {\det J \Phi (\bf x)}\)。需要保证 \(\det J \Phi(\bf x) \neq 0\)。
平面极坐标：\(\dd x\dd y = r\dd r\dd \t\)。
球坐标：\(\dd x\dd y\dd z = r ^ 2 \sin \t \dd r\dd \t \dd \ph\)。
灵活使用积分区域的对称性简化重积分计算。
曲面积分
第一型曲线积分
写成正则参数表示计算。
对平面 \(\scr C^ 1\) 曲线 \(\g\) 的正则参数表示 \(x(t), y(t)\)，\(\dd l = \sqrt {x'(t) ^ 2 + y'(t) ^ 2} \dd t\)。
第一型曲面积分
写成正则参数表示计算。
对空间 \(\scr C ^ 1\) 曲面 \(S\) 的正则参数表示 \(x(u, v), y(u, v), z(u, v)\)，\(\dd S = \sqrt {EG - F ^ 2} \dd u\dd v\)，其中
结果关于参数 \(u, v\) 对称。
本质是 \(\bf x_u\) 和 \(\bf x_v\) 所围平行四边形的面积，即 \(\|\bf x_u \times \bf x_v\| = \sqrt {A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2}\)，其中 \((A, B, C) = \bf x_u\times \bf x_v\)。
第二型曲线积分
向量场 \(\bf v(\bf x)\) 在有向曲线 \(\g\) 上的积分
其中 \(\bf T(\bf x)\) 和曲线定向一致，\(\o\) 是一阶微分形式。有原函数的部分可以化简，其余部分写成参数计算。
Green 公式
楔积 \(\dd x\w \dd y\) 双线性，反对称。
第二型曲面积分
向量场 \(\bf v(\bf x)\) 在有向曲面 \(\S\) 上的积分（\(A, B, C\) 是另外两个维度对参数求导的行列式）
考虑 \(\bf v(\bf x)\) 和单位法向量的点积，再乘以面积元。单位法向量乘以面积元恰为 \(\bf x_u\times \bf x_v\)（若 \(u, v\) 正向和曲面定向一致，否则要加上负号），而 \(\bf a\cdot (\bf b\times \bf c) = \det(\bf a, \bf b, \bf c)\)。
写成二阶微分形式即
Gauss 公式
Stokes 公式
对有向曲面 \(\S\)：
\(\S\) 的定向与 \(\pa \S\) 的定向需满足右手定则。
广义 Stokes 公式
Green-Gauss-Stokes 公式大一统。
保守向量场
无旋条件：
代入旋度定义验证旋度为 \(0\)。
- 满足无旋条件的向量场称为 无旋场，满足无旋条件的一阶微分形式称为 恰当微分形式。
- 存在势能函数的向量场称为 保守场，存在原函数的一阶微分形式称为 全微分。
在 单连通区域 上无旋的向量场是保守场，积分和路径无关。如果不是单连通区域，则要求绕着所有洞的积分为 \(0\)（计算机应用数学！！！）。
全微分方程
太难了，没法直接看出积分因子就放弃。
浙公网安备 33010602011771号