《普通物理 1》学习笔记 II —— 分析力学、相对论、热力学、统计力学入门 (final)

\[% 希腊字母 \def \a {\alpha} \def \b {\beta} \def \d {\delta} \def \eps {\varepsilon} \def \g {\gamma} \def \la {\lambda} \def \o {\omega} \def \O {\Omega} \def \ph {\varphi} \def \t {\theta} \def \D {\Delta} \def \G {\Gamma} \def \s {\sigma} \def \S {\Sigma} % mathrm & mathbb \def \dd {\mathrm{d}} \def \DD {\mathrm{D}} \def \e {\mathrm{e}} \def \i {\mathrm{i}} \def \N {\mathbb{N}} \def \Z {\mathbb{Z}} \def \Q {\mathbb{Q}} \def \R {\mathbb{R}} \def \C {\mathbb{C}} % 环境 \def \bf {\mathbf} \def \rm {\mathrm} \def \sf {\mathsf} \def \tt {\texttt} \def \al {\mathcal} \def \scr {\mathscr} \def \op {\operatorname} \def \bal{\begin{aligned}} \def \eal {\end{aligned}} \def \bc {\begin{cases}} \def \ec {\end{cases}} \def \bpm {\begin{pmatrix}} \def \epm {\end{pmatrix}} \def \bvm {\begin{vmatrix}} \def \evm {\end{vmatrix}} % 数学符号 \def \l {\left} \def \r {\right} \def \fr {\frac} \def \sq {\sqrt} \def \pr {\Pr} \def \pif {{+\infty}} \def \ov {\overline} \def \ud {\underline} \def \bs {\backslash} \def \sm {\setminus} \def \mps {\mapsto} \def \str {\stackrel} \def \dash {\textendash} \def \gr {\op{grad}} \def \tr {\op{tr}} \def \na {\nabla} \def \pa {\partial} \def \fo {\forall} \def \xeq {\xlongequal} \def \szn {\sum_{i = 0} ^ n} \def \son {\sum_{i = 1} ^ n} \newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|} \newcommand{\nm}[1]{\| #1 \|} \newcommand{\an}[1]{\left \langle #1 \right\rangle} % 微积分 \def \ait {\int_{-\infty} ^ \pif} % all intergral \def \git {\int_0 ^ \pif} \def \w {\wedge} \newcommand{\infn}[1]{\| #1 \|_{\infty}} \newcommand{\p}[2]{\frac {\pa #1} {\pa #2}} \newcommand{\lan}{\langle} \newcommand{\ran}{\rangle} % 抽代 \def \F {\mathbb F} \def \aut {\operatorname{Aut}} \def \inn {\operatorname{Inn}} \def \cha {\operatorname{char}} \def \syl {\operatorname{Syl}} \def \rt {\rtimes} \def \ch {\operatorname{ch}} \newcommand{\gal}[1]{\operatorname{Gal}(#1)} % 质因数 \def \gd {\mathcal N} % Gaussian distribution \def \var {\mathrm {Var}} \def \T {\Theta} % 普物 \def \hx {\hat x} \def \hy {\hat y} \def \hz {\hat z} \def \hr {\hat r} \def \ht {\hat \t} \def \vr {\vec r} \def \vt {\vec \tau} \def \vv {\vec v} \def \vf {\vec F} \def \va {\vec a} \def \vl {\vec L} \def \vp {\vec p} \def \vo {\vec \omega} \def \dv {\op{div}} \def \cu {\op{curl}} \def \dq {\dot q} \]

11. Lagrangian & Hamiltonian

推荐观看 Veritasium 的视频

• 分析力学 & 最小作用量原理：这道简单的数学题彻底改变了物理学。
• 诺特定理：物理学中最大的误解。

最小作用量原理 principle of least action

在经典的牛顿力学中，设 \(q\) 是我们关心的量，\(\dq\) 是这个量关于时间的导数。定义 拉格朗日量 Lagrangian

\[L(q, \dot q) = T(q, \dot q) - V(q). \]

第一项 \(T(q, \dq)\) 表示 动能，第二项 \(V(q)\) 表示 势能。

对于单个粒子，动能 \(T(q, \dq) = \fr 1 2 m\dq ^ 2\)，对应拉格朗日量 \(L(q, \dq) = \fr 1 2 m\dq ^ 2 - V(q)\)。如果负号变成正号就是机械能的定义，那为什么还是负号呢？为了凑成 E-L 方程的形式。

路径 path \(q(\tau)\ (\tau\in [0, t])\) 是物理量关于时间的函数。牛顿力学研究的问题一般是在给定限制条件下（例如给出 \(q(0)\) 和 \(q(\tau)\)）求出 \(q(\tau)\) 和 \(t\)，需要解大量方程，计算较复杂。所以有了分析力学。

定义一条路径的 作用量 action 为拉氏量关于时间的积分。

\[S[q(\tau)] = \int_0 ^ t L[q(\tau), \dot q(\tau)]\dd \tau. \]

那么我们有 最小作用量原理

\[q_{actual}(\tau) = \op{argmin}_{q(\tau)} S[q(\tau)]. \]

这是一个 经验定理，是无需证明的假设。

Newton's first law

单个质点，无外力。给定 \(t\)，\(q(0)\) 和 \(q(t)\)。此时

\[L = \fr 1 2 m\dot q ^ 2, \quad S[q(\tau)] = \int_0 ^ t \fr 1 2 m\dot q ^ 2\dd \tau. \]

由 Cauchy-Schwarz 公式，

\[\l(\int_0 ^ t \dot q \dd \tau\r) ^ 2 \leq \l(\int_0 ^ t \dot q ^ 2\dd \tau\r)\l(\int_0 ^ t \dd \tau\r) \implies \int_0 ^ t \dot q ^ 2\dd \tau \geq \fr {(q(t) - q(0)) ^ 2}{t}. \]

不等式取等当且仅当 \(\dot q = 0\)。这说明物体在不受外力的情况下速度不变，即牛顿第一定律。

欧拉-拉格朗日方程 Euler-Lagrange equation

作用量 \(S\) 是泛函。考虑变分法，在作用量最小的路径附近的 \(\d S = 0\)，即

\[\int_0 ^ t \l(\fr {\pa L} {\pa q} \d q + \fr{\pa L} {\pa \dq} \d \dq\r) \dd \tau = 0. \]

用 Leibniz 公式，

\[\int_0 ^ t \l(\fr {\pa L} {\pa q} \d q - \fr {\dd} {\dd t} \l(\fr{\pa L} {\pa \dq}\r) \d q\r) \dd \tau + \l. \fr {\pa L} {\pa \dq}\d q \r|_0 ^ t = 0. \]

而端点 \(q(0)\) 和 \(q(t)\) 固定，所以 \(\d q(0) = \d q(t) = 0\)。而 \(\d q\) 几乎可以是任意的，所以积分内部的量必须为零，得到 欧拉-拉格朗日方程

\[\fr {\pa L} {\pa q} - \fr {\dd} {\dd t} \fr {\pa L} {\pa \dot q} = 0. \]

如何记忆？\(\dq = \fr {\dd q} {\dd t}\)，用消去律即可。这是变分法的基本公式。

Newton's second law

\[F = -\fr {\dd V} {\dd q} = \fr {\pa L} {\pa q} = \fr {\dd} {\dd t}\fr {\pa L} {\pa \dot q} = \fr{\dd} {\dd t}p = m\ddot q. \]

在牛顿力学中，系统的动力学由各种力描述。在拉格朗日力学中，系统的动力学由拉格朗日量描述。在考虑各种限制时，拉格朗日力学可以利用 E-L 方程和拉格朗日乘子法做到更简单地求解动力系统。

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给定约束 \(f_{\a}(q_1, \cdots, q_n) = 0\) 时，根据 Lagrange 乘子法，最小作用量原理的公式变为

\[q_{actual}(\tau) = \op {argmin}_{q(\tau)} \max_{\mu_\a} \int_0 ^ t\l(L - \sum_{\a} \mu_\a f_\a(q_1, \cdots, q_n)\r) \dd \tau. \]

• 后面的 \(\max\) 没有什么实际含义，因为当取到最小值时一定有 \(f_\a(q_1, \cdots, q_n) = 0\)。所以写成 \(\min\) 也是可以的？

代入 E-L 方程之后得到 带约束的 E-L 方程。

\[\bal \p L {q_i} - \fr {\dd} {\dd t} \l(\p L {\dot q_i}\r) - \sum_\a \mu_\a \p {f_\a} {q_i} & = 0, \\ f_\a(q_1, \cdots, q_n) & = 0. \eal \]

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定义 广义动量 generalized momentum

\[p = \fr {\pa L} {\pa \dq}, \]

那么 E-L 方程可以写为

\[\fr {\dd p} {\dd t} = \fr {\pa L} {\pa q}. \]

诺特定理 Neother's theorem

将 \(q(t)\) 嵌入一族路径 \(Q(s, t)\) 中，满足 \(q(t) = Q(0, t)\)，其中 \(s\) 是对对称性的刻画，可以是时间，空间，角度等。

称 \(s\) 描述了 \(L\) 的对称性，若 \(\fr {\dd} {\dd s}L(Q(s, t), \dot Q(s, t)) = 0\)。

诺特定理：任何一种对称性都蕴含着一个物理量的守恒定律。

Proof

首先写出

\[\l.\fr {\pa L} {\pa s}\r|_{s = 0} = \sum \l.\l(\fr {\pa L} {\pa q_i}\fr {\pa Q_i} {\pa s} + \fr {\pa L} {\pa \dot q_i} \fr {\pa \dot Q_i} {\pa s}\r)\r|_{s = 0}. \]

用 E-L 方程之后代入 \(\fr {\pa \dot Q_i} {\pa s} = \fr{\d} {\d t}(\fr {\pa Q} {\pa s})\) 并使用 Leibiniz 公式，

\[\fr {\dd}{\dd t}\l.\sum_i \fr {\pa L} {\pa \dot q_i} \fr {\pa Q_i} {\pa s}\r|_{s = 0}. \]

即

\[\l.\sum_i \fr {\pa L} {\pa \dot q_i} \fr {\pa Q_i} {\pa s}\r|_{s = 0} = C. \]

• \(s\) 是空间 -> 动量守恒。
• \(s\) 是时间 -> 能量守恒。
• \(s\) 是角度 -> 角动量守恒。

哈密顿力学 Hamiltonian mechanics

对 \(\dq\) 求偏导是令人迷惑的。注意到

\[\dd L = \p L q \dd q + \p L \dq \dd \dq = \p L q\dd q + p\dd \dq = \p L q \dd q + \dd(p\dq) - \dq \dd p, \]

于是定义 哈密顿量 Hamiltonian

\[H(p, q) = p\dq - L. \]

从拉格朗日量到哈密顿量的变换其实是 勒让德变换 Legendre transformation，微积分讲过，但是当时就没有听懂。

对于单个粒子的情况，哈密顿量就是机械能。

\[H(p, q) = p\dot q - \fr 1 2 m\dot q ^ 2 + V(q) = \fr 1 2m\dot q ^ 2 + V(q). \]

哈密顿方程 Hamilton's equation：

\[\p H p = \dq,\ \p H q = -\dot p. \]

• 这里没太看懂为什么 \(H\) 对 \(q\) 求偏导可以直接丢掉 \(p\dq\) 这一项。
• 拉格朗日量和哈密顿量的独立变量分别是什么？

12. Relativity

推荐观看视频：

• 洛伦兹变换：这是你理解相对论的另一种方法。

狭义相对论 theory of special relativity

狭义相对论研究的坐标系是 惯性系，并假设：

1. 在任何惯性系下，物理定律都是相同的。
2. 在任何惯性系和任何方向下，光的速度不变。

在本小节，除非特殊说明，否则 所有坐标系都是惯性系。

相对于经典的空间坐标系，我们加入时间维度。一个 事件 event 是时空坐标系中的一个点，由位置和时间确定。接下来介绍狭义相对论的三个经典现象。

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同时性的相对性 loss of simultaneity

在某个时空坐标系下，称两个事件同时发生，若它们的时间坐标相等。

在火车中间同时向两端发射一束光。

Alice 在火车上。在 Alice 的参考系下，光束打到两端时，经过的距离相等，所以这两个事件是同时发生的。

Bob 在地面上。在 Bob 的参考系下，光束打到前面经过的距离大于打到后面经过的距离。但光速不变，所以光束先打到后面。

只要另一个坐标系相对于当前坐标系有相对速度，那么在当前坐标系下同时发生的事件，在另一个坐标系下就一定不是同时的。

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钟慢效应 time dilation

当两个事件在坐标系下发生的位置相同时，称这两个事件的时间间隔为 本征时间 proper time。本征时间可以看成对坐标系的要求，因为需要这个事件发生在该坐标系下的相同位置。所以本征时间也对应了一个特殊的坐标系。

相对速度为 \(v\) 的坐标系的对应时间间隔为

\[\D t = \g \D t_{p}, \]

其中 洛伦兹因子 Lorentz factor

\[\g \equiv \fr 1 {\sqrt {1 - v ^ 2 / c ^ 2}}. \]

差不多可以理解成速度的比值 \(\fr {c}{\sqrt {c ^ 2 - v ^ 2}}\)，分母是勾股定理的形式。

A 认为 B 的时间变慢了，B 认为 A 的时间变慢了，这矛盾吗？

1. 在 A 的坐标系中相同位置发生的事件的时间间隔为 \(\D t_A\)，\(\D t_{B} = \g \D t_A\)。但是在 B 的坐标系中这两个事件不在相同位置发生，所以没有 \(\D t_A = \g \D t_B\)。
2. 这不矛盾，因为 “慢” 是相对概念而非绝对概念，“慢” 是相对于当前坐标系的时间流速更慢。两个相向而行的人在对方视角下都会看起来更大，但这不能推出 A 比自己更大，因为视角不同。

在狭义相对论中，因为坐标系之间的相对性，两个人相互观察到的现象的特点应该是相同的。A 看 B 更短，那么 B 看 A 也应该更短。这便是接下来的尺缩效应。

双生子佯谬：A 在地球，B 以快速度前往火星并回来。在 A 看来，B 的时钟更慢。在 B 看来，A 的时钟更慢。那么谁更年轻？这个问题当中 A 和 B 不是对称的，因为 B 经历了加速度但 A 并没有。问题在于 B 出发和回来的坐标系不是同一个 惯性系。

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尺缩效应 length contraction

当物体在坐标系下保持静止时，称其长度为 本征长度 proper length。具有相对速度 \(v\) 的参考系观察该物体的长度 / 两个事件发生的距离为

\[L = \fr {L_p} {\g}. \]

• 如果用 \(t_1 = t_2\) 定义本征长度有何区别？

可以直接用钟慢效应推导出来。

Bob 用火车头尾经过的时间间隔乘以速度 \(v\) 计算火车长度。

在 Alice 的参考系下，火车长度 \(L_0\) 是本征长度，但火车头尾经过 Bob 的时间间隔 \(\D t = \fr {L_0} v\) 不是本征时间，因为发生在 Alice 参考系的不同位置。

在 Bob 的参考系下，火车头尾经过的时间间隔 \(\D t_0\) 是本征时间。于是

\[\fr {L} {L_0} = \fr {v\D t_0} {v\D t} = \fr 1 \g. \]

在实际解决问题的时候，注意不要把在不同系下测得的结果混为一谈。

洛伦兹变换 Lorentz transformation

伽利略变换所反映的时空观是绝对的，但这和狭义相对论矛盾。所以，我们需要新的参考系变换公式。考虑 \(x\)-\(t\) 时空图，在保持光对应的直线不变的前提下，存在（唯一的？）线性变换，使得新参考系在原参考系下对应的直线在变换之后变成 \(t\) 轴（即 \(x = 0\)），且新参考系的时间和坐标轴上的刻度相对应。过程的可视化见小节一开始的视频。

直接给出结论：设 \(x\) 方向的相对速度为 \(v\)，那么

\[\bc x' = \g(x - vt), \\ t' = \g(t - vx / c ^ 2), \\ y' = y, \\ z' = z. \ec \]

以及将 \(v\) 变成 \(-v\) 之后的逆变换。

令 \(\b = \fr v c\)，则

\[\bc x = \g(x' + c\b t'), \\ ct = \g(ct' + c\b x'). \ec \]

当 \(c = 1\) 时，

\[\bc x = \g(x' + vt'), \\ t = \g(t' + vx). \ec \]

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取极限得到速度变换

\[\bc u_x' \equiv \fr {\dd x'} {\dd t'} = \fr {\g(\dd x - v\dd t)} {\g(\dd t - v\dd x / c ^ 2)} = \fr {u_x - v} {1 - vu_x / c ^ 2}, \\ u_y' \equiv \fr {\dd y'} {\dd t'} = \fr {u_y} {\g(1 - vu_x / c ^ 2)}, \\ u_z' \equiv \fr {\dd z'} {\dd t'} = \fr {u_z} {\g(1 - vu_x / c ^ 2)}. \ec \]

• 当 \(v\ll c\) 时，是经典伽利略变换。
• 当 \(u_x = c\) 时，\(u'_x = c\)。

例如，在（相对于地面）\(0.5c\) 的物体上看（相对于地面）\(0.8c\) 的物体，速度为

\[\fr {0.8c - 0.5c} {1 - 0.8 \times 0.5} = 0.5c. \]

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改变参考系会改变事件之间的距离 \(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2\)，但是有不变量 时空间隔 space-time interval

\[x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 - c ^ 2t ^ 2 = -s ^ 2, \]

在洛伦兹变换下为不变量。

• 四维时空的坐标是 \((x, y, z, ct)\)，乘以 \(c\) 是为了让单位变成长度。

\(s ^ 2 > 0\) 称为 timelike separation。此时存在参考系让两个事件在相同位置发生，对应时间间隔称为本征时间。不存在参考系使得它们发生在同一时间。

\(s ^ 2 = 0\) 称为 lightlike separation。可以恰好被光联系在一起。如果不允许参考系以光速运动，那么这两个事件既不可能发生在同一时间，也不可能发生在同一空间。

\(s ^ 2 < 0\) 称为 spacelike separation。此时存在参考系让两个事件同时发生，对应空间间隔称为本征长度。两个事件在空间上被隔开，不存在参考系使得它们发生在同一空间，不存在因果关系（信息不能以超光速传递）。

狭义相对论的动力学 dynamics of special relativity

在相对论中，动量 和质量与速度的关系为

\[\vp = \g m_0 \vv, \]

其中 \(m_0\) 是物体的静止质量。这里 \(\g\) 的系数乘在 \(m_0\) 上，得到物体在速度 \(v\) 时的质量 \(m(v) = \g v_0\)。考察两个静止质量相同的小球的完全非弹性碰撞并使用动量守恒即可。

在相对论中，动能

\[K = \g m_0 c ^ 2 - m_0c ^ 2. \]

低速状态下，对上式进行泰勒展开可得牛顿力学的动能 \(K = \fr 1 2 mv ^ 2\)。

一个物体的总能量为其 静止能量 rest energy \(E_0 = m_0c ^ 2\) 加上动量 \(K\)：

\[E = E_0 + K = mc ^ 2. \]

即 质能方程 mass-energy equation。

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在经典力学中，消除速度项，得到动量和动能的关系 \(p ^ 2 = 2Km_0\)。

类似地，在相对论中，

\[p ^ 2 = \fr {c ^ 2} {c ^ 2 - v ^ 2} m_0 ^ 2 v ^ 2 = (\g ^ 2 - 1)m_0 ^ 2c ^ 2 \]

于是

\[E ^ 2 = \g ^ 2 m_0 ^ 2c ^ 4 = (\g ^ 2 - 1)m_0 ^ 2c ^ 2 \cdot c ^ 2 + E_0 ^ 2 = (pc) ^ 2 + E_0 ^ 2. \]

以及另一种形式

\[(pc) ^ 2 = (E - E_0 + 2E_0)(E - E_0) = K(K + 2m_0c ^ 2) = K ^ 2 + 2Km_0c ^ 2. \]

还可以得到类似时空间隔的式子

\[p_x ^ 2c ^ 2 + p_y ^ 2c ^ 2 + p_z ^ 2c ^ 2 - E ^ 2 = -m_0 ^ 2c ^ 4, \]

在洛伦兹变换下为不变量。

13. Temperature

终于不用再学动力学了！

热力学就是研究由大量粒子组成的系统所表现出的单个粒子不具有的特性。听起来和概率统计很有关联。

系统和状态 systems and states

粒子的平均运动决定了一个系统的各种属性。

• 孤立系统 isolated system：无任何相互作用。
• 封闭系统 closed system：无物质交换，有能量交换。
• 开放系统 open system：有物质交换和能量交换。

孤立系统和封闭系统是简化问题考虑的近似，现实生活中并不存在。

系统的状态可以用各种宏观的物理量描述。

• 内涵性质 intensive property：零次齐次，如温度 \(T\)，压强 \(P\)，密度 \(\rho\)，摩尔体积 \(\ov V = V / n\) 等。
• 外延性质 extensive property：一次齐次，如体积 \(V\)，质量 \(m\)，熵 \(S\)，粒子数量，物质的量等。

温度 temperature

热力学第零定律 zeroth law of thermodynamics

如果 \(A, B\) 和 \(T\) 处于热平衡，那么 \(A\) 和 \(B\) 也处于热平衡。这使得我们可以真正地定义温度（和 …… 处于热平衡的物体的温度为 ……），并使用温度计（利用物体的某个物理量在不同温度下不同的性质）测量温度。

水的 三相点 triple point 的温度 \(T_3 = 273.16 \op K\)。在标准大气压下，冰点为 \(273.15\op K\)，水的沸点为 \(373.15 \op K\)。

热力学第零定律是 经验定律。通俗地说，该定律表明任何物体都有温度，且当两个物体处于热平衡时，它们的温度相等。

定容气体温度计 constant-volume gas thermometer

保持气体体积不变，利用气体的压强测出温度 \(T = Cp\)，其中 \(C\) 是常数，\(p\) 是液体带来的压强 \(p_0 - \rho g h\)，其中 \(p_0\) 是大气压，\(h\) 是液面两端的高度差。

校准 calibration：将球泡置于水的三相点中，\(T_3 = Cp_3\)，那么 \(T = T_3\fr p {p_3}\)，这是测量温度的核心公式。

使用不同种类和不同量的气体，测出的温度也有所不同。但当气体的量趋于零时，测量结果收敛到同一个值。这个值称为 理想气体温度 ideal gas temperature。这给出测量方法：逐渐减少气体量，直到可以大致估算 \(\fr p {p_3}\) 的极限。

摄氏温度 Celsius temperature \(T_C = T - 273.15\)，华氏度 Fahrenheit \(T_F = \fr 9 5T_C + 32\)。

热膨胀 thermal expansion

初始长度为 \(L\) 的物质的温度升高 \(\D T\)，长度增加

\[\D L = L\a\D T, \]

其中 \(\a\) 称为 线膨胀系数 coefficient of linear expansion。

如果物质的每个维度都膨胀了，那么它的体积也会膨胀

\[\D V = V\b \D T, \]

其中 \(\b\) 称为 体积膨胀系数 coefficient of volume expansion，近似为 \(\b = 3\a\)。

热量 heat

如果系统的温度和环境不同，那么它和环境之间存在能量交换。交换的能量称为 热量 heat。功和热量都是在描述变化量，而不是一个物理量本身。

• 卡路里 calorie 是将 1 克的水从 14.5 摄氏度加热到 15.5 摄氏度所需要的能量。大卡是一千卡路里。

热容 heat capacity \(C\) 是热量和温度变化的比值。

\[Q = C\D T. \]

两个相同种类的物质的热容和它们的质量成正比，定义 比热容 specific heat \(c\) 为单位物质的热量和温度变化的比值。

\[Q = cm\D T. \]

用摩尔表示物质的量得到的比热容称为 摩尔比热容 molar specific heat。

\[Q = c_m n \D T. \]

• 对于液体和固体，一般认为传热在常压条件下进行。实验证明常压条件和等容条件的比热容相差较小。但对于气体，这个差值可能很大。会在下一章详细介绍。

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物体在不改变温度的相变时，依然会吸收或放出热量。定义 潜热 latent heat \(L\) 为单位质量的物体完全经过相变的热量（包含做功）。具体地，有 蒸发热 heat of vaporization \(L_V\) 和 熔化热 heat of fusion \(L_F\)。

\[Q = L m. \]

水的潜热为 \(333\op {KJ / kg}\)。将 \(-10 ^ \circ \rm C\) 的水加热到 \(15 ^ \circ \rm C\)，大部分能量都用于融化冰。

热传递 heat transfer

三种热传递方式。

热传导 conduction：物体接触，分子动能传递。

厚度为 \(L\)，接触面积为 \(A\)，两端温度为 \(T_H\) 和 \(T_C\) 的隔板的热传导功率

\[P_{cond} = \fr Q t = \kappa A\fr {T_H - T_C} L, \]

其中 导热系数 thermal conductivity \(\kappa\) 和隔板的材料有关。

一般地，对于温度分布不均匀的物体，其 热通量 heat flux 和温度的梯度场成比例：

\[\vec j = \fr {\ov \dd Q} {\dd A\dd t}\hat i = -\kappa \na T. \]

一个物体的 热阻 heat resistance 定义为

\[R = \fr L {\kappa A}. \]

热阻和电阻很像。它们有相同的串联和并联公式。

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热辐射 radiation：分子热运动辐射电磁波。无需介质。

热辐射公式：

\[P_{rad} = \s \eps A T ^ 4, \]

其中 \(\s = 5.6704\times 10 ^ 8\op{W / m ^ 2 \cdot K ^ 4}\) 称为 斯特藩-玻尔兹曼常数 Stefan-Boltzmann constant，\(\eps\) 是物体的 比辐射率 emissivity，在 \(0\sim 1\) 之间。\(\eps = 1\) 的物体称为 黑体辐射源 blackbody radiator。

类似有吸收热辐射能量的公式 \(P_{abs} = \s \eps A T_{env} ^ 4\)，其中 \(T_{env}\) 是环境温度。黑体辐射源会吸收所有它受到的辐射能量。

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热对流 convention 是流体内部因为温度差导致的宏观质量流动。

热力学第一定律 first law of thermodynamics

微功 \(\ov \dd W = F\dd s = (pA)\dd s = p \dd V\)，所以气体做功

\[W = \int p\dd V. \]

\(Q - W\) 和具体的热力学过程无关，仅和初始状态、结束状态有关。

定义物体的 内能 internal energy \(E_{int}\)，

\[\D E_{int} = Q - W \]

称为 热力学第一定律。

绝热过程 adiabatic process：\(Q = 0\)，\(\D E_{int} = -W\)。

等容过程 isochoric process：系统体积不变，\(W = 0\)，\(\D E_{int} = Q\)。

循环过程 cyclical process：系统回到初始状态，\(\D E_{int} = 0\)，\(W = Q\)。

自由膨胀 free expansion：\(Q = W = 0\)，所以 \(\D E_{int} = 0\)。

14. Gas Dynamics

气体动力学将气体的宏观状态（体积，压强，温度）和微观状态（分子运动）联系在了一起。

理想气体 ideal gas

阿伏伽德罗 Avogadro 常数：\(6.02 \times 10 ^ {23} \op{mol} ^ {-1}\)。

理想气体 是满足 理想气体状态方程 ideal gas law \(pV = nRT\) 的气体（\(pV\) 的单位是焦耳）。气体常数 gas constant \(R = 8.31 \op {J / mol \cdot K}\)。

微观上，理想气体状态方程可以写为 \(pV = NkT\)，其中 \(k = R / N_A = 1.38 \times 10 ^ {-23} \op{J / K}\) 称为 波尔兹曼常数 Boltzmann constant。

为什么称为理想气体呢？因为我们略了气体分子的体积，使得理想气体的表现和气体种类无关。

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等温膨胀 isothermal expansion

保持气体温度不变，体积从 \(V_i\) 膨胀到 \(V_f\)，所做的功为

\[p = nRT \fr 1 V \implies W = nRT \ln \fr {V_f} {V_i}. \]

等容膨胀 isochronic expansion 的 \(V\) 是常数，\(\dd V = 0\)，所以 \(W = 0\)。

等圧膨胀 isobaric expansion 的 \(p\) 是常数，所以 \(W = \int p\dd V = p\D V\)。

分子速度 speed of molecules

均方根速度 root-mean-square speed

先考虑最简单的模型：边长为 \(L\) 的立方体。

考虑该立方体的右边界受到的压力和粒子速度的关系。对于质量为 \(m\)，\(x\)-分量速度为 \(v_x\) 的例子，其在撞击右边界之后速度反向，对应动量改变量为 \(\D p_x = -2mv_x\)。这个粒子再次撞击右边界的时间间隔为 \(\D t = \fr {2L} {v_x}\)，所以

\[\fr {\D p_x} {\D t} = \fr {-2mv_x} {2L / v_x} = -\fr {mv_x ^ 2} {L}. \]

由 \(F = \fr {\dd p} {\dd t}\) 可知上式给出了粒子对右边界的 “平均压力”。由 \(p = \fr {F} {S}\)（注意区分压强和动量的 \(p\)）可知

\[p = \fr {\sum_{i = 1} ^ N F_{xi}} {L ^ 2} = \fr {m} {L ^ 3}\sum_{i = 1} ^ N v_{xi} ^ 2 = \fr {mN} {V} (v_x ^ 2)_{avg} = \fr {nMv_{rms} ^ 2} {3V}, \]

其中 \(v_{rms} = \sqrt {\sum v_i ^ 2 / n}\) 是 均方根速度。最后一个等式用到了勾股定理 \(v ^ 2 = v_x ^ 2 + v_y ^ 2 + v_z ^ 2\) 以及宏观上三个分量的平均值差不多的近似 \((v ^ 2)_{avg} = 3(v_x ^ 2)_{avg}\)。

将理想气体状态方程代入，得到

\[v_{rms} = \sqrt {\fr {3RT} M} = \sqrt {\fr {3kT} {m}}. \]

以上得到的所有结论对任意形状的容器都是成立的。

空气的均方根速度为 \(517 \op{m / s}\)，略高于声速。实际上任何气体都满足这个性质。

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平均平动动能 average translational kinetic energy

由平动动能公式 \(K = \fr 1 2 mv ^ 2\)，一个气体系统中所有粒子的平均平动动能为

\[K_{avg} = \fr 1 2 m (v ^ 2)_{avg} = \fr 1 2 mv_{rms} ^ 2 = \fr {3mkT} {2m} = \fr 3 2 kT = \fr {3RT} {2N_A}. \]

这反映了气体温度和平均平动动能的 线性 关系。动能有下界但没有上界，类似地，温度有下界但没有上界。

以上公式里的 3 表示三个方向。

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平均自由程 mean free path \(\la\) 是气体粒子在两次撞击之间的平均移动距离。

考虑一个粒子的运动。直观地，\(\la\) 和粒子密度成反比（粒子密度越小越不容易撞击），且和粒子直径的平方成反比（粒子越小越不容易撞击）。实际上，我们有

\[\la = \fr 1 {\sqrt 2 \pi d ^ 2 N / V}, \]

其中 \(N / V\) 表示粒子密度。代入理想气体状态方程，

\[\la = \fr {kT} {\sqrt 2 \pi d ^ 2 p}. \]

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麦克斯韦速率分布律 Maxwell's speed distribution law

粒子的速度分布为

\[P(v) = 4\pi\l(\fr {M}{2\pi RT}\r) ^ {3 / 2} v ^ 2\e ^ {-Mv ^ 2/2RT}. \]

从中可以推出 平均速率

\[v_{avg} = \sqrt {\fr {8RT} {\pi M}}, \]

最概然速率

\[v_P = \sqrt {\fr {2RT} {M}} \]

和 均方根速率

\[v_{rms} = \sqrt {\fr {3RT} {M}}. \]

如果将 \(M\) 换成 \(N_Am\)，则有

\[P(v) = 4\pi\l(\fr {m} {2\pi kT}\r) ^ {3 / 2} v ^ 2 \e ^ {-mv ^ 2 / 2kT}, \]

这里 \(\fr {mv ^ 2} 2\) 是单个粒子的动能。在有势能的情况下，可以推广到 \(\e ^ {-E / kT}\)，其中 \(E\) 是机械能，但是比例系数会变。

麦克斯韦-玻尔兹曼分布 Maxwell-Boltzmann distribution：粒子的概率分布正比于 \(\e ^ {-E / kT}\)，其中 \(E\) 是粒子能量。

绝热过程 adiabatic process

定容摩尔比热 molar specific heats at constant volume

单原子理想气体的内能是其所有粒子的平动动能总和

\[E_{int} = NK_{avg} = \fr 3 2 NkT = \fr 3 2 nRT. \quad(\text{monatomic ideal gas}) \]

其内能 只和温度线性相关。

实验证明，在固定体积时，有

\[Q = nC_V\D T, \quad (\text{constant volume}) \]

其中 \(C_V\) 称为 定容摩尔比热。

代入热力学第一定律，得到

\[\D E_{int} = nC_V\D T - W = nC_V\D T. \quad (\text {constant volume}) \]

上式说明

\[C_V = \fr 3 2R = 12.5\op{J / mol\cdot K}. \quad (\text{monatomic ideal gas}) \]

我们知道单原子理想气体的内能只和温度线性相关（对任意热力学过程都是这样），而分析定容过程告诉我们这个比例系数为 \(nC_V\)。所以，对单原子理想气体的任意过程，有

\[E_{int} = nC_V T = \fr 3 2 nRT. \quad (\text{monatomic ideal gas}) \]

这个等式可以推广到 任意理想气体。这说明

\[\D E_{int} = nC_V \D T. \quad (\text{ideal gas, any process}) \]

任意理想气体的内能只和其温度有关。

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定压摩尔比热 molar specific heat at constant pressure

实验证明，在固定压强时，有

\[Q = nC_p\D T. \quad (\text{constant pressure}) \]

其中 \(C_p\) 称为 常压摩尔比热。\(C_p\) 比 \(C_V\) 大，因为物体在温度升高的同时体积增大，需要吸收更多热量。

在常压状态下，\(W = p\D V = nR\D T\)。于是

\[nC_V\D T = \D E_{int} = Q - W = nC_p\D T - nR\D T. \]

可知 \(C_p = C_V + R\)。

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自由度 degree of freedom

能量均分定理 equipartition theorem：任何种类的分子有 自由度 \(f\)，表示独立的储存能量的方法数，每个自由度平均带来 \(\fr 1 2kT\) 能量。

单原子分子 \(f = 3\)，双原子分子 \(f = 5\)（沿着垂直于轴的方向旋转）。

由 \(E_{int} = \fr f 2 NkT = nC_V T\)，

\[C_V = \fr f 2 R. \]

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绝热过程 adiabatic process

\(Q = 0\) 的过程称为 绝热过程，可能是过程太快导致热量无法传播，或者在良好的绝热容器内。

可以证明绝热过程满足

\[pV ^ \g = \text{constant}, \quad (\text{adiabatic process}) \]

其中 \(\g = C_p / C_V > 1\)。

• 如何理解？考虑绝热膨胀。因为 \(Q = 0\)，所以气体向外做功时内能减小。内能减少导致气体温度降低，而 \(p \propto \fr T V\)，所以 \(p\) 受到 \(V\) 的影响要大于 \(V\) 本身的变化，体现为 \(V\) 的指数比 \(1\) 更大。

代入理想气体状态方程，得到

\[TV ^ {\g - 1} = \text{constant}. \quad (\text{adiabatic process}) \]

Proof

\[\dd E_{int} = \dd Q - p\dd V. \]

代入 \(\dd E_{int} = nC_V\dd T\)，得

\[n\dd T = -\l(\fr p {C_V}\r) \dd V. \]

由理想气体状态方程 \(p\dd V + V\dd p = nR\dd T\) 和 \(R = C_p - C_V\)，有 \(n\dd T = \fr {p\dd V + V\dd p} {C_p - C_V}\)，于是

\[\fr {p\dd V + V\dd p} {C_p - C_V} + \fr {p\dd V} {C_V} = 0 \implies C_p p\dd V + C_V V\dd p = 0 \implies \fr {\dd p} p + \g\fr {\dd V} V = 0. \]

两边同时积分即得 \(\ln p + \g \ln V = C\)。\(\square\)

总结：

• 对于所有过程都有 \(\D E_{int} = Q - W\) 以及 \(\D E_{int} = nC_V \D T\)。

• 等温过程 isothermal 的常量是 \(T\)，对应 p-V 图上的一条双曲线。\(\D E_{int} = 0\)，\(Q = W = nRT\ln(V_f / V_i)\)。

• 等容过程 isochronic 的常量是 \(V\)，对应 p-V 图上的一条竖线。\(W = 0\)，\(\D E_{int} = Q = nC_V\D T\)。

• 等压过程 isobaric 的常量是 \(p\)，对应 p-V 图上的一条横线，\(W = p\D V\)，\(Q = nC_p\D T\)。

• 绝热过程 adiabatic 的常量是 \(pV ^ \g\) 和 \(TV ^ {\g - 1}\)，对应 p-V 图上比双曲线更陡峭的一条曲线。\(Q = 0\)，\(\D E_{int} = -W\)。

范德华方程 van der Waals equation

范德华在考虑了分子体积和分子间吸引力之后，得到了 范德华方程

\[p = \fr {RT} {V_m - b} - \fr a {V_m ^ 2}, \]

其中 \(a, b\) 是气体参数。\(-b\) 表示粒子可以自由移动的体积的一部分被粒子本身占据了，需要扣除。\(-\fr a {V_m ^ 2}\) 表示接近表面的粒子会受到另一侧粒子的吸引力，而接近表面的粒子数量正比于密度，另一侧粒子的吸引力的大小也正比于密度，所以分母是平方。

\(k_BT_C = \fr {8a} {27b}\) 是临界温度，当 \(T < T_C\) 时，气体在 p-V 图上会有一段摆动，对应气体液化的过程。

15. Second Law of Thermodynamics

概率论与数理统计和热力学的交集。

熵 entropy

生活中有很多过程都是 不可逆 irreversible 的，例如打碎鸡蛋，车辆撞向电线杆等。为了理解为什么这些过程不可逆，物理学家们提出了熵的概念。

熵描述了一个系统的混乱程度，是状态函数（和过程无关）。在一个封闭系统中，熵几乎总是不减少，但并不是不会发生，而是发生的概率太低。

这里需要明确一些概念（热力学过程）的定义。

如果一个热力学过程变化非常缓慢，使得系统总能保持内部平衡，那么这个过程称为 准静态过程 quasi-static process。只有在准静态过程中，我们才能定义系统的热力学性质。

如果一个热力学过程可以通过环境和系统的微小变化被完全逆转，使系统按照相同的路径回到初始状态，那么这个过程称为 可逆过程 reversible process，反之则称为 不可逆过程 irreversible process。

准静态过程和可逆过程都是理想化的，在实际生活中并不存在。可逆过程一定是准静态过程，因为系统不会自发地离开平衡态。但准静态过程不一定可逆，如活塞缓慢移动，但摩擦产生了耗散性的熵。产生（而不是 转移）熵的过程一定不是可逆过程。

定义一个过程的 熵变 change in entropy 为

\[\D S = S_f - S_i = \int_i ^ f \fr {\dd Q} T. \]

在等温过程中，\(T\) 是常数，所以 \(\D S = \fr Q T\)。

当 \(\D T\) 相对于 \(T\) 很小时，熵变可以近似为 \(\D S = \fr {Q} {T_{avg}}\)。

理想气体的可逆过程的熵变

热力学第一定律

\[\dd E_{int} = \dd Q - \dd W. \]

我们想要凑出 \(\fr {\dd Q} T\) 的形式。首先代入 \(\dd W = p\dd V\) 和 \(\dd E_{int} = nC_V\dd T\)，

\[\dd Q = nC_V\dd T + p\dd V. \]

代入理想气体状态方程，两侧同时除以 \(T\)，

\[\fr {\dd Q} T = nC_V\fr {\dd T} T + nR \fr{\dd V} V. \]

积分，得

\[\D S = nC_V \ln \fr {T_f} {T_i} + nR \ln \fr {V_f} {V_i}. \]

只与初态和终态有关。

这证明了理想气体的熵是状态函数。

Example

计算 1mol 理想气体从 1 体积自由膨胀至 2 体积的不可逆过程（速度非常快）的熵变。

Solution

自由膨胀不改变气体内能，所以不改变气体温度。于是

\[\D S = nR \ln 2 = 5.76\op{J / K}. \]

热力学第二定律 second law of thermodynamics

在孤立系统中，熵不会减少，\(\D S \geq 0\)。对于可逆过程，熵不增加。对于不可逆过程，熵增加。

考虑拉伸橡皮筋。温度和内能变化很小，所以

\[\dd E = \dd Q - \dd W = T\dd S + F\dd x \implies F = -T \fr {\dd S} {\dd x}. \]

\(F\) 和小拉伸 \(\dd x\) 引发的熵变 \(\dd S\) 的对应比率成正比。拉伸让橡皮筋的熵减少了，对应的熵增的方向（分子回到原状）产生了力。

热机 heat engine

将热能转化为功的机器称为 热机，其中的介质称为 工质 working substance，例如水或油气混合物。如果热机持续做功，那么它必须进行 循环 cycle。

卡诺热机 Carnot engine

卡诺热机是 理想热机 ideal engine，即工质为理想气体，所有过程均可逆，且没有任何能量损耗的热机。

卡诺热机的一个循环一共有四步：

• 吸热等温膨胀，吸收热量 \(|Q_H|\)，保持温度 \(T_H\) 不变，体积从 \(V_a\) 膨胀为 \(V_b\)。这个过程的熵变为 \(\fr {|Q_H|} {T_H}\)。
• 绝热膨胀，温度从 \(T_H\) 下降至 \(T_L\)，体积从 \(V_b\) 膨胀为 \(V_c\)。
• 放热等温压缩，释放热量 \(|Q_L|\)，保持温度 \(T_L\) 不变，体积从 \(V_c\) 收缩至 \(V_d\)。这个过程的熵变为 \(-\fr {|Q_L|}{T_L}\)。
• 绝热压缩，温度从 \(T_L\) 上升至 \(T_H\)，体积从 \(V_d\) 收缩至 \(V_a\)。

因为 \(\D E_{int} = 0\)，所以做功 \(W = |Q_H| - |Q_L|\)。

因为 \(\D S = 0\)，所以 \(\fr {|Q_H|} {T_H} = \fr {|Q_L|} {T_L}\)，可知 \(W > 0\)。

定义 热效率 thermal efficiency

\[\eps = \fr {|W|} {|Q_H|}, \]

其中 \(|W|\) 表示做的功，\(|Q_H|\) 表示提供的能量。

• 释放的热量 \(|Q_L|\) 被浪费了，无法利用。

对于卡诺热机，

\[\eps_C = 1 - \fr {|Q_L|} {|Q_H|} = 1 - \fr {T_L} {T_H}. \]

这是任何热机的效率上限（就算过程是可逆的）。因为现实生活中的热机有能量损耗，过程不可逆，所以效率低于卡诺热机的效率。

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斯特林发动机 Stirling engine

斯特林发动机将卡诺热机的绝热膨胀和绝热压缩变成等容冷却和等容加热，此时这两个过程也需要和外界有热量交换。因为不做功，所以 \(\D E_{int} = Q\)，而其它两个过程不改变内能（因为温度不变），所以这两个过程的热量交换是相等的。于是 \(Q_{in} = |Q_H| + Q\)，\(Q_{out} = |Q_L| + Q\)。由糖水原理，\(\fr {Q_{out}} {Q_{in}} > \fr {|Q_L|} {|Q_H|}\)，于是 \(\eps_S < \eps_C\)。相较于卡诺热机，斯特林发动机以热量的形式损耗掉的能量占比增加了，热效率更低。

冷机 refrigerator

将卡诺热机的循环倒过来得到 卡诺冷机 Carnot refrigerator。卡诺冷机从较低温度的环境吸收 \(|Q_L|\) 热量，接受做功 \(|W|\) 之后，在较高温度的环境释放 \(|Q_H|\) 热量。

定义 制冷系数 coefficient of performance 为

\[K = \fr {|Q_L|} {|W|} = \fr {T_L} {T_H - T_L}, \]

其中第一个等号对任何冷机成立，第二个等号只对卡诺热机成立。

假设存在完美的冷机，那么一个循环的熵变为 \(-\fr {|Q|} {T_L} + \fr {|Q|} {T_H} < 0\)，和热二矛盾。所以热二也可以表述为：能量不会自发地从低温环境流向高温环境，即 不存在完美冷机。

于是任何热机的效率都不会超过卡诺热机，否则将热机和卡诺冷机相结合，可以得到完美冷机。

以下三个命题是等价的：

• 两个物体之间的热传导不可逆。
• 自由绝热膨胀不可逆。
• 功到热不可逆。

如果其中一个过程可逆，那么可以构造出其它两个过程的逆过程。

16. Statistic Mechanics

所有微观态的出现概率相同，系统会向对应微观态数量最多的宏观态演化。其根本是粒子数量太多导致最有可能出现的宏观态几乎一定出现。

考虑 \(N\) 个粒子，每个粒子可以出现在容器的左半部分和右半部分。那么有 \(n_1\) 个粒子在左侧，\(n_2 = N - n_1\) 个粒子在右侧的微观态数量为 \(\O = \binom N {n_1} = \fr {N!}{n_1! n_2!}\)。

由于标准差是 \(\sqrt N\) 级别，所以随着 \(N\) 增大，容器的粒子会越来越均匀：虽然粒子数量的差值也在变大，但速度是平方根级别，所以总体而言相差的比率会以平方根速度减小。

斯特林近似 Stirling approximation

\[\ln N! \approx N\ln N - N. \]

在衡量一个宏观态时，其带来的信息熵为 \(S = \ln \O\)，其中 \(\O\) 为对应微观态数量。为了在信息熵和热力熵之间建立联系，\(S = k\ln \O\)，其中 \(k\) 是玻尔兹曼常数。

理想气体自由膨胀一倍体积，从原来的 \(\ln \O_i = \ln 1 = 0\) 变成 \(\ln \O_f = \ln \binom {N} {N / 2} = Nk\ln 2 = nR\ln 2\)，和理想气体任意过程的熵变公式相符合。

可以通过数学分析证明 \(\D S = S_2 - S_1 = nR\ln \fr {V_2} {V_1} + nC_V \ln \fr {T_2} {T_1}\) 导出的熵函数

\[S(V, T) = nR\ln V + nC_V\ln T + \mathrm{C} \]

和 \(S = k\ln \O\) 是等价的，但过程较复杂。其中 \(nR\ln V\) 描述了粒子的位置，\(nC_V\ln T\) 描述了粒子的速度。