《普通物理 1》学习笔记 I —— 经典力学 (mid)

\[% 希腊字母 \def \a {\alpha} \def \b {\beta} \def \d {\delta} \def \eps {\varepsilon} \def \g {\gamma} \def \la {\lambda} \def \o {\omega} \def \ph {\varphi} \def \t {\theta} \def \D {\Delta} \def \G {\Gamma} \def \s {\sigma} \def \S {\Sigma} % mathrm & mathbb \def \dd {\mathrm{d}} \def \DD {\mathrm{D}} \def \e {\mathrm{e}} \def \i {\mathrm{i}} \def \N {\mathbb{N}} \def \Z {\mathbb{Z}} \def \Q {\mathbb{Q}} \def \R {\mathbb{R}} \def \C {\mathbb{C}} % 环境 \def \bf {\mathbf} \def \rm {\mathrm} \def \al {\mathcal} \def \scr {\mathscr} \def \op {\operatorname} \def \bal{\begin{aligned}} \def \eal {\end{aligned}} \def \bc {\begin{cases}} \def \ec {\end{cases}} \def \bpm {\begin{pmatrix}} \def \epm {\end{pmatrix}} \def \bvm {\begin{vmatrix}} \def \evm {\end{vmatrix}} % 数学符号 \def \l {\left} \def \r {\right} \def \fr {\frac} \def \sq {\sqrt} \def \pr {\Pr} \def \pif {{+\infty}} \def \ov {\overline} \def \ud {\underline} \def \bs {\backslash} \def \sm {\setminus} \def \mps {\mapsto} \def \str {\stackrel} \def \tr {\op{tr}} \def \gr {\op{grad}} \def \na {\nabla} \def \pa {\partial} \def \fo {\forall} \def \xeq {\xlongequal} \def \szn {\sum_{i = 0} ^ n} \def \son {\sum_{i = 1} ^ n} \newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|} \newcommand{\an}[1]{\left \langle #1 \right\rangle} \newcommand{\p}[2]{\fr {\pa #1} {\pa #2}} % 微积分 \def \ait {\int_{-\infty} ^ \pif} \def \git {\int_0 ^ \pif} % 时间复杂度 \newcommand{\tm}[1]{\mathcal{O}{\l(#1\r)}} % 质因数 \def \gd {\mathcal N} % 普物 \def \hx {\hat x} \def \hy {\hat y} \def \hz {\hat z} \def \hr {\hat r} \def \ht {\hat \t} \def \vr {\vec r} \def \vt {\vec \tau} \def \vv {\vec v} \def \vf {\vec F} \def \va {\vec a} \def \vl {\vec L} \def \vp {\vec p} \def \vo {\vec \omega} \def \dv {\op{div}} \def \cu {\op{curl}} \]

1. Intruduction

课程基本介绍。

作业 25，期中 35，期末 40。

向量运算 vector operation

点积 dot product：\(\vec A \cdot \vec B = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z = |A||B|\cos \t\)。垂直向量的点积为 \(0\)。

叉积 cross product：\(|\vec A\times \vec B| = |A||B|\sin \t\)。共线向量的叉积为 \(0\)。

\[\vec A\times \vec B = \begin{vmatrix}\hx & \hy & \hz \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}. \]

关于叉积的一些性质：

反交换 anti-commutative：\(\vec A\times \vec B = -\vec B\times \vec A\)。
标量三重积 triple scalar product：\(\vec A, \vec B, \vec C\) 张成的平行六面体的有向面积。

\[\vec A\cdot (\vec B\times \vec C) = \begin{vmatrix} A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \\ C_x & C_y & C_z \end{vmatrix} = \vec B\cdot (\vec C\times \vec A) = \vec C \cdot (\vec A\times \vec B) = -\vec A\cdot (\vec C\times \vec B). \]
向量三重积 triple vector product：\(\vec A\times (\vec B \times \vec C) = (\vec A\cdot \vec C) \vec B - (\vec A\cdot \vec B)\vec C\)。

向量微积分 vector calculus

\[\vec A(t) = A_x(t)\hx + A_y(t)\hy + A_z(t)\hz. \]

当单位向量不是常向量时，求导会比较复杂。

向量微分算子 nabla operator：

\[\nabla \equiv \fr {\pa} {\pa x} \hx + \fr {\pa} {\pa y} \hy + \fr {\pa} {\pa z} \hz. \]

可微函数的梯度 gradient：

\[\gr\phi \equiv \nabla \phi = \fr {\pa \phi} {\pa x} \hx + \fr {\pa \phi} {\pa y} \hy + \fr {\pa \phi} {\pa z} \hz. \]

向量场的散度 divergence：

\[\dv \bf V \equiv \nabla \cdot \bf V = \fr{\pa V_x} {\pa x} + \fr{\pa V_y} {\pa y} + \fr{\pa V_z} {\pa z}. \]

向量场的旋度 curl：

\[\cu \bf V\equiv \nabla \times \bf V. \]

维度和单位 dimension and unit

国际单位制 the international system of units (SI)：

长度 \(\op m\)。
质量 \(\op {kg}\)。
时间 \(\op s\)。
电流 \(\op A\)。
温度 \(\op K\)。
物质的量 \(\op {mol}\)。
光度 \(\op {cd}\)。

一个物理量的维度 dimension 可以表示为基本物理量的幂次的乘积，例如

\[\dim(\op{velocity}) = (\op{length}) / (\op{time}) = L \cdot T ^ {-1}. \]

\[\dim(\op{force}) = \fr {(\op {mass}) (\op {length})} {(\op{time}) ^ 2} = M \cdot L \cdot T ^ {-2}. \]

在物理学中，需要考虑不同数值带来的物理情况的差异：\(10 \op{m / s}\) 是经典 Newton 力学，但 \(10 ^ 8 \op{m / s}\) 需要考虑相对论效应。

2. Kinematics

运动学。

坐标系 coordinate system 和 参考系 reference frame：略。

质点 point particle：

平移运动。
物体大小相对于运动空间可以忽略。

运动的向量表示 vector description of motion

位置 position：

\[\vec r(t) = x(t)\hx + y(t)\hy + z(t)\hz. \]

速度 velocity：

\[\vec v(t) = \fr {\dd x(t)} {\dd t} \hx + \fr {\dd y(t)} {\dd t} \hy + \fr {\dd z(t)} {\dd t} \hz. \]

加速度 acceleration：

\[\vec a(t) = \fr {\dd v_x(t)} {\dd t} \hx + \fr {\dd v_y(t)} {\dd t} \hy + \fr {\dd v_z(t)} {\dd t} \hz. \]

Exp. 1

求初速度为 \(v\) 且高度为 \(h\) 的斜抛运动的最远水平距离。

Sol.

设角度为 \(\t\)，则竖直方向上有 \(h + (v\sin \t) t - gt ^ 2 / 2 = 0\)，解得

\[t = \fr v g\left(\sin \t + \sqrt {\sin ^ 2\t + \b}\right), \]
其中 \(\b = 2gh / v ^ 2\)。那么水平距离为

\[d = t\cos \t = \fr {v ^ 2} g\cos \t \left(\sin \t + \sqrt {\sin ^ 2\t + \b}\right). \]
求导得

\[d_\t = -\sin\t \left(\sin \t + \sqrt {\sin ^ 2\t + \b}\right) + \cos \t \left(\cos \t + \fr {\sin \t \cos \t} {\sqrt {\sin ^ 2\t + \b}}\right). \]
令 \(d_\t = 0\)，得

\[(\cos ^ 2\t - \sin ^ 2\t)\sqrt {\sin ^ 2\t + \b} = \sin ^ 3 \t + \sin \t\cdot \b - \sin \t\cos ^ 2\t, \]
即

\[(1 - 2\sin ^ 2\t) \sqrt {\sin ^ 2\t + \b} = \sin \t \cdot \b - \sin \t(1 - 2\sin ^ 2\t). \]
平方，得

\[(1 - 4\sin ^ 2\t + 4\sin ^ 4\t) (\sin ^ 2\t + \b) = \sin ^ 2\t (4\sin ^ 4\t + 4\sin ^ 2\t(\b - 1) + (\b - 1) ^ 2), \]
即

\[\b = (\b ^ 2 + 2\b)\sin ^ 2\t. \]
于是

\[\sin \t_{\max} = \fr 1 {\sqrt {2 + \b}}. \]
带入，得

\[d_{\max} = \fr {v ^ 2} g\sqrt {1 + \fr {2gh} {v ^ 2}}. \]

重要思想：分别处理每个分量的运动。

二维圆周运动 circular two-dimensional motion

极坐标系 polar coordinate system：用长度和极角表示一个点。

极坐标系下，每个点的单位向量 \(\hr\) 和 \(\ht\) 都是不同的。\(\hr\) 是指向 \(\t\) 方向的单位向量，\(\ht\) 是指向 \(\t + \fr \pi 2\) 方向的单位向量。

坐标变换 coordinate transformation：

\[\begin{cases} x = r\cos \t, \\ y = r\sin \t; \end{cases} \qquad \begin{cases} r = \sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}, \\ \t = \tan ^ {-1}\fr y x. \end{cases} \]

单位向量变换 unit coordinate transformation：

\[\begin{cases} \hr = \cos \t \hx + \sin \t \hy, \\ \ht = -\sin \t \hx + \cos \t \hy; \end{cases} \qquad \begin{cases} \hx = \cos \t \hr - \sin \t \ht, \\ \hy = \sin \t \hr + \cos \t \ht. \end{cases} \]

画图理解即可。

位置

\[\vec r(t) = r(t) \hr. \]

速度

注意 \(\hr\) 不是常向量。

\[\vec v = \fr {\dd \vec r} {\dd t} = \dot r\hr + r \dot \hr, \]

其中

\[\dot \hr = \fr {\dd} {\dd t} (\cos \t \hx + \sin \t \hy) = \dot \t \ht. \]

于是

\[\vec v = \dot r\hr + r\dot \t \ht \equiv \vec v_r + \vec v_\t. \]

其中 \(v_r\) 称为径向速度，\(v_\t\) 称为切向速度。

加速度

根据 Leibniz 公式可知

\[\vec a = \fr {\dd \vec v} {\dd t} = (\ddot r \hat r + \dot r\dot \hr) + (\dot r\dot \t \ht + r \ddot \t \ht + r\dot \t \dot \ht). \]

而

\[\dot \ht = \fr {\dd} {\dd t}(-\sin \t \hx + \cos \t \hy) = -\dot \t\hr, \]

所以

\[\vec a = (\ddot r - r\dot \t ^ 2)\hr + (2\dot r\dot \t + r\ddot \t)\ht \equiv \vec a_r + \vec a_\t. \]

这个结果不平凡，而且不太容易理解。

圆周运动 circular motion：在圆周上的运动。

角速度 angular velocity：\(\o = \fr v r\)，单位是 \(\op{s} ^ {-1}\)。角速度是向量（现在只对圆周运动定义角速度）\(\vec \o = \o \hz\)（非常神奇），于是 \(\vec v = \fr {r\dd \t} {\dd t} \ht = \vec \o \times \vec r\)。

角位移 angular displacement 不是向量，因为一般而言 \(\vec \t_1 + \vec \t_2 \neq \vec \t_2 + \vec \t_1\)（三维空间中的旋转是相当复杂的）。不过 \(\vec{\dd \t_1} + \vec{\dd \t_2} = \vec{\dd \t_2} + \vec{\dd \t_1} + o(\vec{\dd \t_1}, \vec{\dd \t_2})\)，于是 \(\vec {\dd \t}\) 存在交换律，是向量。这使得 \(\vec \o = \fr {\dd \vec \t} {\dd t}\) 是向量。

使用极坐标系描述圆周运动时，

\[\vec a = a_r\hr + a_\t\ht = a_n\hat e_n + a_t\hat e_t, \]

其中 \(\hat e_n = -\hr\) 表示向心单位向量，\(a_n = -a_r\)，\(\hat e_t = \ht\) 表示切向单位向量。此时根据极坐标下的加速度公式，有

\[a_n = r\o ^ 2,\quad a_t = \fr {\dd \o} {\dd t} = r\alpha. \]

相对运动 relative motion

伽利略变换 Galilean transformation：

\[\vec r' = \vec r - \vec r_0,\quad \vec v' = \vec v - \vec v_0, \quad \vec a' = \vec a - \vec a_0. \]

3. Newton's Law

动力学：力不是物体运动的原因，而是改变物体运动的原因。

力 force

基本力 fundamental forces：

强力 strong force
电磁力 electromagnetic force（生活中最常见）
弱力 weak force
引力 gravitation force

胡克定律 Hooke's law：

\[F_x = -k\D x, \]

其中 \(k\) 是弹簧常数（劲度系数）。

胡克定律是由实验得出的经验法则。它是关于弹簧伸长量的一阶近似（当 \(\Delta\) 远小于弹簧长度）。

并联 \(k = k_1 + k_2\)，串联 \(\fr 1 k = \fr 1 {k_1} + \fr 1 {k_2}\)。

万有引力公式 law of universal gravitation：

\[\vec F_{1, 2} ^ G = -G\fr {m_1 m_2} {r_{1, 2} ^ 2} \hat {r_{1, 2}}. \]

在地球附近是 \(mg\)。

库仑定律 Coulomb's law：

\[\vec F_{1, 2} ^ E = -k_e\fr {q_1 q_2} {r_{1, 2} ^ 2} \hat {r_{1, 2}} \]

接触力 contact force \(\vec C\)：由垂直的 法向力 normal force \(\vec N\) 和水平的 摩擦力 frictional force \(\vec f\) 共同作用得到。

动摩擦力 kinetic frictional force：\(f_k = \mu_k N\)，其中 \(\mu_k\) 是动摩擦系数。

静摩擦力 static frictional force：\(0\leq f_s \leq \mu_s N\)，其中 \(\mu_s\) 是静摩擦系数。一般 \(\mu_s\) 略大于 \(\mu_k\)。

牛顿运动定律 Newton's laws of motion

并非可以证明。

牛顿第一定律：惯性定律 Newton's first law: the law of inertia：物体保持静止或匀速直线运动，除非有外力迫使其改变运动状态。

惯性参考系 inertial reference frame：使得牛顿第一定律成立的参考系。

所有惯性参考系都是等价的。

（非常重要）牛顿第二定律 Newton's second law：

\[\vec F = m\vec a. \]

牛顿第二定律是经验法则。由此定义力（若认为质量是基本量）或质量（若认为力是基本量）。

Exp. 1 (Newtonian damping)

在直线上运动的物体所受的阻力等于 \(\g m v ^ 2\)。初始速度 \(v(0) = v_0\)，求 \(v(t)\)。

Sol.

\[-\g v ^ 2 = \fr {\dd v} {\dd t}. \]
解得

\[v = \fr {v_0} {1 + v_0\g t}. \]

牛顿第三定律 Newton's third law：力的作用是相互的。

非惯性系和惯性力 non-inertial frame and effective force

在非惯性系中，牛顿第二定律不成立。我们希望根据物体在非惯性系下的运动状态和非惯性系相对于惯性系的运动状态，推出物体在非惯性系下的运动公式。

平移非惯性系 translational non-inertial reference frame

设非惯性系 \(S'\) 相对于惯性系 \(S\) 的加速度为 \(\vec a_0\)，那么 \(\vec a = \vec a' + \vec a_0\)。在 \(S\) 中使用牛顿第二定律，

\[\vec F = m \vec a = m(\vec a' + \vec a_0) \implies m\vec a' = \vec F + \vec F_a, \]

其中 \(\vec F_a = -m\vec a_0\) 称为 惯性力 effective force 或 假想力 fictitious force。

旋转非惯性系 rotational non-inertial reference frame

设非惯性系 \(S'\) 相对于惯性系 \(S\) 有均匀的角速度 \(\o\)。在极坐标下考虑，

\[\begin{aligned} r & = r', \\ \t & = \t' + \o t, \\ \dot r & = \dot r', \\ \dot \t & = \dot \t' + \o, \\ \ddot r & = \ddot r', \\ \ddot \t & = \ddot \t'. \end{aligned} \]

原点位置不变，所以单位坐标是相等的。

\[\begin{aligned} \hr = \hr',\\ \ht = \ht'. \end{aligned} \]

虽然 \(\vec r = \vec r’\)，但它们关于时间的导数不同。由定义，

\[\vec r = \vec r' = x\hx + y\hy = x'\hx' + y'\hy'. \]

其中

\[\begin{aligned} \hx' & = \hx \cos \o t + \hy \sin \o t, \\ \hy' & = -\hx \sin \o t + \hy \cos \o t. \end{aligned} \]

于是，对 \(\vec r = x'\hx' + y'\hy'\) 关于时间求导，得

\[\vec v = \dot x' \hx' + x' \dot \hx' + \dot y'\hy' + y' \dot \hy' = \vec v' + x'(\o \hy') + y'(-\o \hx') = \vec v' + \vec \o \times \vec r'. \]

另一种推导方式是使用速度在极坐标系下的公式。注意到 \(\o r\ht\) 的方向是 \(\vec r\) 逆时针旋转 \(\fr \pi 2\)，所以其等于 \(\vec \o \times \vec r\)。

\[\vec v = \dot r\hr + r\dot \t \hat \t = \dot r'\hr' + r'(\dot \t' + \o)\ht' = \vec v' + \o r'\ht' = \vec v' + \vec \o\times \vec r'. \]

带入极坐标系下的加速度公式

\[\begin{aligned} & \vec a_r = (\ddot r - r\dot \t ^ 2)\hr = \vec a_{r'} - 2 \vec v_{\t'} \times \vec \o - \o ^ 2\vec r', \\ & \vec a_\t = (r\ddot \t + 2\dot r\dot \t) \ht = \vec a_{\t'} - 2\vec v_{r'} \times \vec \o. \end{aligned} \]

可知

\[\vec F_{S'} = \vec F_{S} + (\vec F_{c} = m\o ^ 2\vec r') + (\vec F_{cor} = 2m\vec v'\times \vec \o'), \]

其中 \(\vec F_{c}\) 是 离心力 centrifugal force，\(\vec F_{cor}\) 是 科里奥利力 Coriolis force。北半球的科里奥利力指向速度的右侧，南半球则指向左侧。

当旋转不是匀速时，设角加速度向量 \(\vec \b\)（注意 \(\o\) 不是常数，所以 \(\t = \t' + \o t\) 的性质不满足，但不影响结果），则

\[\vec a_\t = \vec a_{\t'} - 2\vec v_{r'} \times \vec \o - \vec r'\times \vec \b'. \]

于是引入 切向力 tangential force

\[\vec F_t = m\vec r'\times \vec \b. \]

惯性力不是真实的，但是我们无法区分惯性力和真实的力：一个宇航员不知道他是在自由落体还是在宇宙空间中漂浮。另一个例子是在另一个宇宙中，地球是静止的，整个天空绕着地球以一天为周期旋转，此时依然能看到科里奥利力。

4. Momentum

动量，没上过高中的人的知识盲区。

动量和冲量 momentum and impulse

动量 momentum 是质量和速度的乘积：

\[\vec p = m\vec v \]

设 \(m\) 是常量，等式对 \(t\) 求导：

\[\fr {\dd} {\dd t} \vec p = m \fr {\dd} {\dd t} \vec v = m\vec a = \vec F. \]

冲量 impulse 是 动量的变化量：

\[\vec I = \D \vec p = \vec p(t_2) - \vec p(t_1) = \int_{t_1} ^ {t_2} \vec F\dd t. \]

类似热量是内能的变化量。称为 单个粒子的动量定理 theorem of momemtum for single point particle。

平均力 average force：

\[\bar {\vec F} = \fr {\vec I} {\D t} = \fr {\D \vec p} {\D t} \]

Exp. 1

一辆赛车以 \(30 ^ \circ\) 的夹角和 \(v_i = 70\op{m/s}\) 的速度撞墙，随后以 \(10 ^ \circ\) 的夹角和 \(v_f = 50\op{m / s}\) 的速度离开。人的质量是 \(80\op{kg}\)。

(a) 求人的冲量。

(b) 碰撞持续了 \(14\op{ms}\)，求平均力的大小。

Sol.

由定义，

\[\vec J = \vec p_f - \vec p_i = m(\vec v_f - \vec v_i). \]
对两个方向分别计算冲量

\[\begin{aligned} J_x & = m(v_{fx} - v_{ix}) = -910 \op{kg \cdot m / s}. \\ J_y & = m(v_{fy} - v_{iy}) = -3495\op{kg \cdot m / s}. \end{aligned} \]
于是

\[\begin{align} J & = \sqrt {J_x ^ 2 + J_y ^ 2} = 3612 \op{kg\cdot m / s}, \\ \ov F & = \fr {J} {\D t} = 2.58 \times 10 ^ 5\op N. \implies \ov a = 329g. \end{align} \]

粒子系统 particle system

在一个有 \(N\) 个粒子的系统当中，第 \(i\) 个粒子受到外力

\[\vec F_i = \vec F_i ^ {ext} + \sum_{j \neq i} \vec F_{j, i}. \]

根据 Newton 第三定律，将这些力全部加起来得到

\[\vec F = \vec F ^ {ext}. \]

定义 系统的动量 momentum of system：

\[\vec p_{sys} = \sum_{i = 1} ^ N \vec p_i. \]

于是

\[\fr {\dd \vec p_{sys}} {\dd t} = \vec F ^ {ext}. \]

称为 粒子系统的动量定理 theorem of momentum for particle system。

内部力不会影响系统的总动量。

动量守恒定律 conservation law of momentum：当 \(\vec F ^ {ext} = 0\) 时，\(\vec p_{sys}\) 是常量。比牛顿第二定律的范围更广泛。

如果动量不守恒，就引入新的概念让其守恒。例如在电磁学中引入场。

火箭动力学 Rocket Dynamics (Aerospace 101)

在 \(x\) 轴上考虑问题。

速度 \(\vec v(t) = v\hx\)。

相对燃料速度 \(\vec u = -u\hat x\) 是常数。

质量 \(m_r(t)\)。

\(t\) 时刻损失的质量 \(\dd m_f\)。

外部力 \(\vec F ^ {ext} = F ^ {ext}\hat x\)。

\(t\) 时刻系统的动量：

\[p_{sys} = m_r(t) v(t). \]
\(t + \dd t\) 时刻系统的动量：

\[p_{sys} = m_r(t + \dd t) v(t + \dd t) + \dd m_f(v(t) - u). \]
而

\[m_r(t + \dd t) = m_r(t) + \dd m_r = m_r(t) - \dd m_f, \]
所以

\[\begin{aligned} F ^ {ext} & = \fr {\dd p_{sys}} {\dd t} \\ & = (m_r(t) - \dd m_f) v(t + \dd t) + \dd m_f(v(t) - u) - m_r(t) v(t) \\ & = m_r(t)(v(t + \dd t) - v(t)) - \dd m_f (v(t + \dd t) - v(t)) - u\dd m_f v(t) \\ & = m_r(t) \fr {\dd v(t)} {\dd t} + u \fr {\dd m_r} {\dd t}. \end{aligned} \]
以上方程称为 火箭方程 rocket equation。注意二阶项 \(\dd m_f (v(t + \dd t) - v(t))\) 被忽略了。

当 \(F ^ {ext} = 0\) 时，

\[\begin{aligned} & \; -u\fr {\dd m_r} {\dd t} = m_r \fr {\dd v} {\dd t} \\ \implies & \; \int -\fr {\dd m} {m} = \fr 1 u \int \dd v \\ \implies & \; \ln \fr {m_i} {m_f} = \fr {v_f - v_i} u \\ \implies & \; v_f = v_i + u\ln \fr {m_i} {m_f} = v_i + u\ln R. \\ \end{aligned} \]
其中 \(R = \fr {m_i} {m_f}\) 表示总重量和负载重量的比值。

当燃料的燃烧速度是常数

\[b = \fr {\dd m_f} {\dd t} = -\fr {\dd m_r} {\dd t} \]
时，

\[m_r(t) = m_{r, i} - b(t - t_i). \]
于是

\[v_{r, f} = v_{r, i} + u\ln (\fr {m_{r, i}} {m_{r, i} - bt}). \]
其中 \(t = t_f - t_i\) 是燃烧时间。

单级火箭 single-stage rocket

初始质量 \(m_{r, i} = 2.81 \times 10 ^ 7 \op{kg}\)。

燃料质量 \(m_{f, i} = 2.46\times 10 ^ 7 \op {kg}\)。

喷射速度 \(u = 3000 \op{m / s}\)。

燃烧时间 \(t = 510\op s\)。

最终的速度

\[v_{r, f} = 0 + 3000\op{m / s} \cdot \ln R = 6250\op{m / s}. \]
多级火箭 multi-stage rocket

第一阶段在 \(150\op s\) 内燃烧 \(2.03\times 10 ^ 7 \op{kg}\)。

第二阶段在 \(360\op s\) 内燃烧 \(1.4\times 10 ^ 6\op{kg}\)。

第一阶段得到速度

\[\D v_1 = u\ln R_1 = 3840\op{m / s}. \]
第二阶段得到速度

\[\D v_2 = u\ln R_2 = 3340\op{m / s}. \]

在常引力场 \(g\) 下，

\[v_r(t_f) = u\ln R - gt_f. \]

补充：如何获得更大的速度？

引力弹弓 gravitational slingshot

在月亮的视角下，\(v_f' = v_i'\)（火箭速度大于月球的逃逸速度）。

在太阳的视角下，\(v_i = v_i' - v_{moon}\)，\(v_f = v_f' + v_{moon}\)。因此若角度设置得当，则有 \(v_f = v_i + 2v_{moon}\)。

质心 center of mass

对于一个粒子系统，定义

\[m_{sys} = \sum_{i = 1} ^ N m_i, \]

那么

\[\vec p_{sys} = \sum_{i = 1} ^ N m_i\vec v_i = m_{sys} \fr {\sum_{i = 1} ^ N m_i\vec v_i} {m_{sys}}. \]

考虑定义

\[\vec v_c = \fr {\sum_{i = 1} ^ N m_i\vec v_i} {m_{sys}}, \]

那么根据 Newton 第二定律，

\[\vec F ^ {ext} = \fr {\dd \vec p_{sys}} {\dd t} = m_{sys} \fr {\dd \vec v_c} {\dd t} = m_{sys}\vec a_c. \]

根据求导的线性性，如果我们要

\[\vec v_c = \fr {\dd \vec r_c} {\dd t}, \]

那么 \(\vec r_c\) 应当定义为

\[\vec r_c = \fr {\sum_{i = 1} ^ N m_i \vec r_i} {m_{sys}}. \]

称为 粒子系统的质心 center of mass of the particle system。

由上述分析，质心的速度为粒子速度的加权平均，质心的加速度为粒子加速度的加权平均。质心本身就是粒子位置的加权平均。

基于 \(p_{sys} = \sum_{i = 1} ^ N m_i\vec v_i\) 的定义和 \(F ^ {ext} = \fr {\dd p_{sys}} {\dd t}\) 的动量守恒定律，质心的动量是整个系统的动量，系统受到的外力是总质量乘以质心的加速度。

Exp. 1

求圆心在原点的半径为 \(2R\) 的圆盘去掉圆心在 \((-R, 0)\) 的半径为 \(R\) 的圆盘之后的质心位置。

Sol.

根据对称性，质心在 \(x\) 轴上。设坐标为 \((x, 0)\)，那么有

\[\fr {3m \cdot x + m \cdot (-R)} {3m + m} = 0. \]
解得

\[x = \fr 1 3 R. \]

生活中怎么找质心呢？用一根线吊着，质心一定在物体平衡后的直线上面。

质心坐标系 center-of-mass (COM) reference frame

在质心坐标系下，

\[\vec r_c' = \vec v_c' = \vec a_c' = \vec p_{sys}' = 0. \]

二体问题 two-body problem

设外力 \(\vec F_{ext} = \vec F_1 + \vec F_2\)，则质心坐标系的加速度

\[\vec a_c = \fr {\vec F_1 + \vec F_2} {m_1 + m_2}. \]

根据平移非惯性系的惯性力公式，在质心坐标系中考虑时需要加入惯性力

\[\vec F_1 ^ {in} = -m_1\vec a_c,\ \vec F_2 ^ {in} = -m_2 \vec a_c. \]

于是

\[\begin{aligned} & \vec F_1' = \vec F_1 + \vec F_1 ^ {in} = \fr {m_2\vec F_1 - m_1\vec F_2} {m_1 + m_2}, \\ & \vec F_2' = \fr {m_1\vec F_2 - m_2\vec F_1} {m_1 + m_2} = -\vec F_1', \end{aligned} \]

考虑定义

\[\begin{aligned} & \vec r' = \vec r_1' - \vec r_2', \\ & \vec v' = \vec v_1' - \vec v_2', \\ & \vec a' = \vec a_1' - \vec a_2', \\ & \vec f = \vec F_1' = - F_2', \end{aligned} \]

表示 \(1\) 关于 \(2\) 的相对位置，相对速度，相对加速度和 \(2\) 对 \(1\) 的作用力，那么

\[\vec a' = \fr {\vec f}{m_1} - \fr {-\vec f} {m_2} = \left(\fr 1 {m_1} + \fr 1 {m_2}\right) \vec f. \]

外部力去哪了呢？外部力的作用体现在质心的加速度上。在质心坐标系里没有外部力，或者说，我们把惯性系的外部力当成质心坐标系的非惯性力考虑，使得质心坐标系里 \(1\) 的符合牛顿第二定律的 “受力” 是 \(\vec F_1'\)。因为能够对 \(1\) 施加力的只有 \(2\)（其它力都当成外部力考虑了），所以 \(\vec F_1'\) 就仿佛是 \(2\) 对 \(1\) 的作用力。

设 约化质量 reduced mass

\[\fr 1 \mu = \fr 1 {m_1} + \fr 1 {m_2}, \]

那么

\[\vec f = \mu \vec a. \]

此时就可以用单体问题的方法解决了。

简单地说就是把二体问题分解成质心的运动和 \(1, 2\) 的相对运动。\(1\) 和 \(2\) 的相对运动可以想象成一个质量为 \(\mu\) 的物体在 \(\vec f\) 的受力下运动（把 \(2\) 平移到质心处，位置为 \(\vec r'\)，速度为 \(\vec v'\)，加速度为 \(\vec a'\)）。一旦 \(1\) 和 \(2\) 的相对位置已知，那么根据质心和 \(m_1, m_2\) 容易算出它们关于质心的相对位置，继而算出在原惯性系下的绝对位置。
如何检查另一个人的质量？两个人分别拉着绳子的两端站在冰面上。拉动绳子使得两人会合，则移动距离的比值和质量成反比。
以上方法可以求出月球的质量。

5. Energy

能量和功 energy and work

功 work 是标量。

\[\D W = \vec F \cdot \D\vec r = F\D r\cos \t. \]

当 \(\D r\to 0\) 时

\[\bar \dd W = \vec F \cdot \dd \vec r. \]

为什么要加横线呢？\(W\) 本身不是一个状态函数（我们不能说一个物体有多少功），而是过程函数（两个状态之间的能量差）。

功的单位是 \(\op {N \cdot m = J}\)，焦耳 Joule。

功率 power：平均功率

\[\ov P = \fr {W} {\D t}. \]

瞬时功率

\[P = \fr {\bar \dd W} {\dd t} = \fr {\vec F \cdot \dd \vec r} {\dd t} = \vec F\cdot \vec v. \]

功率的单位是 \(\op{J / s} = \op W\)，瓦特 Watt。

注意到

\[\fr {\ov \dd W} {\dd t} = \vec F\cdot \vec v = m\fr {\dd \vec v} {\dd t} \cdot \vec v = \fr 1 2 m \fr {\dd (\vec v\cdot \vec v)} {\dd t}. \]

我们定义物体的动能 kinetic energy

\[K = \fr 1 2 m\vec v\cdot \vec v = \fr 1 2mv ^ 2. \]

由以上公式，

\[\fr {\dd K} {\dd t} = \fr {\ov \dd W} {\dd t}. \]

即 功是动能的改变量 \(W = \D K\)。类比冲量是动量的改变量。

对于一个粒子系统，其总动量为

\[K = \sum K_i = \sum \fr 1 2 m_i |\vec v_i| ^ 2. \]

在质心坐标系 \(C\) 下，设 \(\vec v_i = \vec v_i' + \vec u\)，\(K_C = \fr 1 2 \sum_{i} m_i|\vec v_i'| ^ 2\)，则

称为 柯尼希定理。这和动量的 \(P_C = Mu\) 不一样，因为动能不是线性的。

特别地，质心坐标系是使得总动能最小的坐标系。

势能 potential energy

若一个力沿着路径所做的功只和起点有关而和路径无关，那么这个力称为 保守力 conservative force。等价于对任意封闭路径 \(L\)，

\[\oint_L \vec F(\vec r)\cdot \dd \vec r = 0. \]

对保守力，两个位置之间的 势能差 定义为所做功的负数，即

\[\D U = -W_c = -\int_A ^ B \vec F(\vec r) \cdot \dd \vec r. \]

常力、地球表面附近的重力、万有引力和弹簧的回复力都是保守力。
摩擦力是非保守力。

当可以认为施加力的物体保持静止时，得到势能函数，其梯度就是力场。

功是力乘以位移的积分，函数的梯度是对位移求导，所以得到力。微积分的第二型曲线积分。
地球表面附近的重力的势能函数为 \(mgh\)。
弹簧的势能函数为 \(\fr 1 2 kx ^ 2\)。
积分可知万有引力的势能函数为 \(-\fr {GMm} {r}\)。使用机械能守恒可知逃逸速度为

\[\fr 1 2mv ^ 2 = \fr {GMm} {R} \implies v = \sqrt {\fr {2GM} {R}}. \]

机械能守恒 conservation of mechanical energy

考虑一个只有保守力做功的系统，则

\[K_f - K_i = W_c, \quad -W_c = \D U_{sys} = U_f - U_i. \]

定义 机械能

\[E_m = K + U, \]

那么 \(\D E_m = 0\)。当非保守力做功时，

\[\D E = \D K + \D U = (W_c + W_{nc}) - W_c = W_{nc} \]

机械能的变化量等于非保守力所做的功。

\(W_{nc}\) 并不是必须要非保守力，也可以考虑保守力。

Bernoulli 原理

流速越大，压强越小。

\[\fr p {\rho g} + \fr {v ^ 2}{2g} + h = C \]
Proof

考虑压强做的功

\[\overline \dd W = (p_1A_1v_1 - p_2A_2v_2)\dd t. \]
因为液体不可压缩，所以 \(A_1v_1 \dd t = A_2v_2 \dd t = \dd V\)。

考虑机械能

\[\dd E = \l(\fr 1 2v_2 ^ 2\dd m + gh_2\dd m\r) - \l(\fr 1 2 v_1\dd m + gh_1\dd m\r) = \rho\dd V\l[\l(\fr 1 2v_2 ^ 2 + gh_2\r) - \l(\fr 1 2v_1 ^ 2 + gh_1\r)\r]. \]
于是

\[p_1 - p_2 = \rho\l[\l(\fr 1 2v_2 ^ 2 + gh_2\r) - \l(\fr 1 2v_1 ^ 2 + gh_1\r)\r]. \]

真空吸尘器：快速甩动管子的一端，则该侧压强小，另一端的物体会被吸过来。

6. Angular Momentum

质点的角动量 angular momentum for a point particle

直升机不能只靠上方的螺旋桨旋转，因为角动量守恒使得直升机自身也会跟着旋转，所以还要加入侧边的桨。

定义关于点 \(S\) 的 角动量 angular momentum 为

\[\vec L_S = \vec r_S \times \vec p. \]

角动量的大小和参考点 \(S\) 的位置有关。就算是直线运动，角动量也不一定为零。

因为 \(\vec v = \dot r\hr + r\dot \t \ht\)，所以

\[\vec L = m\vec r \times \vec v = mr ^ 2\dot \t \hr \times\ht = mr ^ 2\dot \t \hat k. \]

于是定义 角速度 angular velocity

\[\vec \o = \fr {\vec L} {mr ^ 2} = \fr {\vec r \times \vec v} {r ^ 2} = \dot \t \hat k. \]

其中 \(O\) 是参考点。

角速度和角动量的 \(x, y, z\) 不是因为我们生活在三维空间。二维平面的角速度只有一维，四位空间的角速度有六维。

角动量守恒 conservation of angular momentum

考虑角动量关于时间的导数

\[\fr {\dd \vec L} {\dd t} = \fr {\dd \vec r} {\dd t} \times \vec p + \vec r \times \fr {\dd \vec p} {\dd t} = \vec r\times \vec F. \]

其中第一项消失是因为 \(\vec r\) 和 \(\vec p\) 同向。于是，定义力矩 torque \(\vt = \vr \times \vf\)，力矩为 \(0\) 则角动量为常数。

力矩为零的一些可能：\(\vr = 0\)，或 \(\vr\) 和 \(\vf\) 平行。因此，在 有心力场 中，角动量守恒。

Meteor flyby

陨石在垂直于速度 \(v_0\) 的方向与地球的距离为 \(h\)。找到和地球碰撞的 \(h\) 的阈值。

Sol.

初始角动量 \(mhv_0 \hat k\)，力和位置平行，力矩为 \(0\)，角动量守恒，于是

\[mv_f R = mhv_0. \]
地球的引力是保守力，机械能守恒，于是

\[\fr 1 2 mv_f ^ 2 - \fr 1 2mv_0 ^ 2 = \fr {GMm} {R}. \]
注意这里认为陨石一开始在无穷远。解得

\[h = R\sqrt{1 + \fr {2GM} {Rv_0 ^ 2}}. \]

Kepler’s second law

\[\fr {\dd A} {\dd t} = C. \]
Proof

\[\fr {\dd A} {\dd t} = \fr 1 {2\dd t} |\vr \times \dd \vr| = \fr 1 {2\dd t}|\vr \times \vv| \dd t = \fr 1 {2m}|\vl|. \]
\(\square\)

有心力场等价于力矩恒为零，角动量守恒，等价于 Kepler 第二定律。

粒子系统的角动量 angular momentum for a particle system

粒子系统的角动量定义为所有粒子的角动量之和，一般不等于 \(\vr_{com}\times \vp_{sys}\)。

当两个点之间的作用力在它们连线的方向上且大小相等时，对任意参考点 \(S\)，都有 \(\tau_{i, j} = \tau_{j, i}\)。因此，粒子系统的角动量的导数是外部力矩：

\[\fr {\dd} {\dd t} \sum_{i} (\vr_i \times \vp_i) = \sum_i \l(\fr {\dd \vr_i} {\dd t} \times \vp_i + \vr_i \times \fr {\dd \vp_i} {\dd t}\r) = \sum_{i} \vt_i \]

对于封闭系统，角动量对时间的导数为零：自然界中所有相互作用力都平行于两点之间的连线，因此角动量守恒。角动量守恒的推导并非完全数学意义上的，只是因为真实世界中没有 “坏” 的相互作用力。实际上，现代物理认为所有力都是接触力。

将参考点从 \(B\) 移动到 \(A\)，那么所有 \(r\) 同时增加了 \(\vr_{AB}\)，于是

\[\vl_A = \vl_B + \vr_{AB} \times \vp_{sys} \]

因此，如果粒子系统的总动量为 \(0\)，则角动量在任何参考点都相等。于是质心参考系的角动量 \(\vl'\) 和参考点无关。

此外，在惯性系下，

\[\vl = \sum_i m\vr_i\times \vv_i = \sum_i m_i\vr'_i\times \vv'_i + \sum_i m_i\vr_c \times \vv_c = \vl' + \vr_c \times \vp_c. \]

7. Collision

分析碰撞主要是分析动量和能量（主要是动能）在碰撞前后的变化。

一维碰撞 one dimensional collision

若碰撞前后的系统动能不变，即 \(\D K = 0\)，则称为 弹性碰撞 elastic collision。

根据动量守恒和能量守恒，列出方程

\[\begin{aligned} m_1v_{1i} + m_2v_{2i} & = m_1v_{1f} + m_2 v_{2f}, \\ \fr 1 2 m_1 v_{1i} ^ 2 + \fr 1 2 m_2 v_{2i} ^ 2 & = \fr 1 2 m_1 v_{1f} ^ 2 + \fr 1 2 m_2 v_{2f} ^ 2. \end{aligned} \]

得到

\[v_{1i} + v_{1f} = v_{2i} + v_{2f} \implies v_{1i} - v_{2i} = v_{2f} - v_{1f}, \]

即相对速度的大小不变。将 \(v_{2f} = v_{1f} + v_{1i} - v_{2i}\) 带入动量守恒方程，解得

\[v_{1f} = \fr {m_1 - m_2} {m_1 + m_2} v_{1i} + \fr {2m_2} {m_1 + m_2} v_{2i}. \]

在质心坐标系下考虑弹性碰撞，则 \(v_{1f} = -v_{1i} = (v_{2i} - v_{1i})\fr{m_2} {m_1 + m_2}\)，\(v_{2f} = -v_{2i} = (v_{1i} - v_{2i})\fr {m_1}{m_1 + m_2}\)。再考虑质心本身的运动即可。

当 \(m_1\gg m_2\) 时，\(v_{1f} \approx v_{1i}\)，\(v_{2f} \approx -v_{2i} + 2v_{1i}\)，这是引力弹弓。
当 \(m_1 = m_2\) 时，\(v_{1f} = v_{2i}\)，\(v_{2f} = v_{1i}\)，无法区分两个物体是碰撞还是相互穿过。

两个物体的最终相对速度大小和最初相对速度大小的比值称为 恢复系数 coefficient of restitution，记为 \(e = \fr {v_B} {v_h}\)。弹性碰撞的恢复系数 \(e = 1\)。

对于完全弹性碰撞，在碰撞瞬间前后，一个物体关于碰撞点的速度仅反向而大小不变。

非弹性碰撞 inelastic collision：\(\D K < 0\)，\(e < 1\)。

超弹性碰撞 superelastic collision：\(\D K > 0\)，\(e > 1\)。例：炸弹。

完全非弹性碰撞 totally inelastic collision：碰撞后相对速度为 \(0\)，\(\D K = K_i - \fr 1 2(m_1 + m_2) v_c ^ 2\)，\(e = 0\)。

考虑到 \(K_i = \fr 1 2 m_1v_{1i} ^ 2 + \fr 1 2 m_2v_{2i} ^ 2\)，且根据动量守恒，\(v_c = \fr {m_1v_1 + m_2v_2} {m_1 + v_2}\)，代入并化简得到

\[\D K = \fr 1 2 \fr {m_1m_2} {m_1 + m_2} (v_{1i} - v_{2i}) ^ 2 = \fr 1 2 \mu v_{rel} ^ 2. \]

根据动量守恒，质心的运动不变，但相对运动没了。注意到原来的相对运动等价于约化质点的运动。

超级弹跳 super bouncing

小球紧贴在大球上方落下，求小球弹起时的速度。

落地速度 \(v_h = \sqrt{2gh}\)。大球的质量远大于小球，所以看成小球以 \(2v_h\) 的相对速度撞向大球并弹回。此时大球本身有 \(v_h\) 的向上速度（只有大球撞向地面改变速度之后，小球和大球才能碰撞），所以小球弹起时的速度为 \(3v_h\)。

二维碰撞 two dimensional collision

对于完全非弹性碰撞，用动量守恒，问题变成一维。对于弹性碰撞，分离角度是不确定的，需要给定 \(\t_1\) 才能解出 \(v_{1f}, v_{2f}, \t_2\)。

台球 poolball

\(m_1 = m_2\)，于是

\[\v v_{1i} = \v v_{1f} + \v v_{2f},\ v_{1i} ^ 2 = v_{1f} ^ 2 + v_{2f} ^ 2. \]
左边平方，得到

\[\v v_{1f} \cdot \v v_{2f} = 0. \]
即碰撞后的速度方向垂直。

打台球的时候旋转很重要（大雾）。

以常速度 \(v_0\) 向上提起绳子，求所需的力 \(F\) 关于绳长的表达式。

用动量和能量算出来答案不一样，动量算出来更大。在绳子被提起的过程中，发生了完全非弹性碰撞，有能量损失。

8. Rigid body

刚体和质点一样，都是理想化模型，但是刚体本身有形状，导致它可以旋转。刚体本身的知识点并不多，更像把之前的知识全部融合在了一起。

刚体 rigid body

一个粒子系统称为刚体，若对任意 \(i, j\)，\(|\vr_i - \vr_j|\) 是常数。

如果 \(\vr_i - \vr_j\) 是常数，说明只有平移，可以看成质点。刚体比质点多出了旋转。
平移对应动量，旋转对应角动量。
刚体内部的力的传播被认为是瞬时的。
任意刚体运动可以分解为 刚体上 一点的平移运动和绕该点的旋转，通常取质心。无论取什么点，旋转的角速度相同。
绕给定的轴旋转，在轴上任取参考点，角动量不变。

刚体运动的自由度：平移有三个自由度，旋转轴有两个自由度，角速度有一个自由度。

Exp. 1 (rolling wheel)

半径为 \(R\) 的圆盘在地上滚动。边缘上一点 \(P\) 的运动可以分解为圆盘质心的运动 \(\vv_c\) 加上圆盘在质心系下的运动 \(\vv_P'\)。后者又可以表示为

\[\vv_P' = R\o_c\ht = R\o_c (\cos \t \hx + \sin \t \hy). \]
当 \(\t = \pi\) 时，\(P\) 接触地面。此时 \(\vv_P = (\vv_c - R\o_c)\hx\)。

当 \(v_c = R\o_c\) 时，称为 无滑动滚动 rolling without slipping，如正常行驶的车轮。

当 \(v_c > R\o_c\) 时，称为打滑 skidding，如急刹车的车轮。

当 \(v_c < R\o_c\) 时，称为打滑 slipping，如突然加速的车轮。

重要结论：无滑滚动的瞬时运动可以等效为接触点的纯旋转。

Exp. 2 (bead on a bicycle wheel)

一个半径为 \(R\) 的均匀轮子在地上无滑动滚动，速度为 \(\vv_{c}\)。在距离质心为 \(b\) 的位置处有一个轻质珠子。在质心坐标系和地平坐标系下求珠子的位置，速度和加速度。

Sol.

\(b\) 做圆周运动，所以

\[\vr'_b = b\hr,\ \vv'_b = b\o_c \ht,\ \va_b' = -b\o_c ^ 2 \hr. \]
轮子做无滑动滚动，所以 \(\o_c = \fr {v_c} R\)。

得到地平坐标系的答案只需将 \(\hr\) 和 \(\ht\) 写成 \(\hx\) 和 \(\hy\) 以 \(\sin \t(t)\) 和 \(\cos \t(t)\) 为系数的线性组合即可。

转动惯量 moment of inertia

描述平移的难易程度的量是质量，那么描述绕定轴旋转的难易程度的量呢？

不妨设绕 \(z\) 轴旋转，角速度为 \(\o_z\)。由定义，一个质点的角动量 \(L_z = mr ^ 2\o_z\)。因为 \(\vo_z\) 对刚体上的所有点相同，所以

\[L_z = \o_z \int_Q r_{\dd m} ^ 2 \dd m. \]

对比 \(\vp = m\vv\)，我们发现后面这个积分很像旋转时的 “质量”。

定义刚体绕定轴旋转的 转动惯量 moment of inertia

\[I = \int_Q r ^ 2 \dd m, \]

其中 \(r\) 是到旋转轴的距离。转动惯量描述了达到某个特定的角加速度所需的力矩。

于是角动量 \(L_z = I\o_z\)，力矩 \(M = I\a\)。

平行轴定理 parallel axis theorem：设刚体绕过质心的轴的转动惯量为 \(I_{cm}\)，则绕平行于该轴的另一个轴的转动惯量为 \(I = I_{cm} + md ^ 2\)。

圆环，轴过中心且垂直于平面：\(I = mr ^ 2\)。
圆环，轴过中心且平行于平面：\(I = \fr 1 2mr ^ 2\)。
圆盘，轴过中心且垂直于平面：\(I = \fr 1 2mr ^ 2\)。
圆盘，轴过中心且平行于平面：\(I = \fr 1 4mr ^ 2\)。
木棒，轴过中心且垂直于木棒：\(I = \fr 1 {12}ml ^ 2\)。
木棒，轴过一端且垂直于木棒：\(I = \fr 1 {12}ml ^ 2 + \fr 1 4ml ^ 2 = \fr 1 3ml ^ 2\)。
球壳，轴过中心：\(I = \fr 2 3 mr ^ 2\)。
球体，轴过中心：\(I = \fr 2 5 mr ^ 2\)。

刚体的角动量守恒：

\[L_f - L_i = \int M\dd t. \]

如果总力矩为 \(0\)，则 \(L_i = L_f\)。代入 \(M = I\a\)，得到

\[I_f\o_f - I_i\o_i = L_f - L_i. \]

也可以用 \(L_z = I\o_z\) 得到该结果。于是 \(I_f\o_f = I_i\o_i\)。对于刚体，\(I_f = I_i\)，所以 \(\o_f = \o_i\)。

刚体的动能：对于定轴旋转，

\[K = \fr 1 2m(\vo \times \vr)\cdot(\vo \times \vr) = \fr 1 2 m\vo \cdot (\vr \times \vv) = \fr 1 2\o_z L_z = \fr 1 2 I\o ^ 2. \]

Exp. 1

质量为 \(m\)，速度为 \(v_0\) 的小球撞向顶部固定在天花板上的质量为 \(m_r\)，长为 \(l\) 的木棒的下端。碰撞后小球方向不变，速度变成 \(\fr {v_0} 2\) 且木棒恰好能碰到天花板。

(1) 求出 \(v_0\)。

(2) 求当碰撞是完全弹性碰撞时，\(m_r\) 和 \(m\) 的比值。

Sol.

最终态的机械能为 \(0\)，所以碰撞后的机械能为 \(0\)。计算动能和势能：

\[K = \fr 1 2 I_r \o ^ 2,\ U = -m_rg\fr {l} 2, \]
得到碰撞之后的瞬时角速度。

取木棒顶端为参考点，碰撞前角动量为 \(mlv_0\)，碰撞后角动量为 \(\fr 1 2 mlv_0 + I\o\)。解出初始速度之后容易回答第二问。

Exp. 2

圆柱从斜面上滚下，求质心末速度。

Sol.

用能量守恒，初始势能加初始动能等于最终势能加最终动能。

\[mgh + 0 = 0 + \fr 1 2 mv_{c} ^ 2 + \fr 1 2 I\o ^ 2, \]
其中 \(I = \fr 1 2 mR ^ 2\)，\(\o = \fr {v_c} R\)。

Exp. 3

考虑一个带把的圆盘。一根竖直的线提起把的一端。圆盘在高速旋转时不会落下：重力提供的力矩不仅可以让圆盘绕着被提起的把的一端落向地面，也可以让带把圆盘以线为轴逆时针旋转。

Exp. 4

质量为 \(2M\)（\(B\)）和 \(M\)（\(A\)）的小球用轻质木棍连接，\(O\) 是中点，\(C\) 是质心。

给 \(A\) 大小为 \(J\) 的冲量，则

\(I_B = Md ^ 2\)，\(\o = \fr {Jd} {I_B} = \fr {J} {Md}\)。

\(I_O = M(\fr d 2) ^ 2 + 2M (\fr d 2) ^ 2 = \fr {3Md ^ 2} 4\)，\(\o_O = \fr {J\fr d 2} {3Md ^ 2 / 4} = \fr {2J} {3Md}\)。

\(I_C = M (\fr {2d} 3) ^ 2 + 2M (\fr d 3) ^ 2 = \fr {2Md ^ 2} 3\)，\(\o_C = \fr {J \fr {2d} 3} {I_C} = \fr {J} {Md}\)。

碰撞前后的瞬间 \(B\) 不移动（木棍给 \(B\) 的力在切线上），所以正确。用质心坐标系更安全。

Exp. 5

速度为 \(v_0\)，质量为 \(m\) 的棒球碰撞质量为 \(m\)，长度为 \(l\) 的木棍的一端后粘在一起（完全非弹性碰撞）。问碰撞瞬间速度不变的位置。

Sol.

使用质心坐标系，角动量守恒。\(L_i = m \fr {v_0} 2 \fr l 4 + m\fr {v_0} 2 \fr l 4 = mv_0 \fr l 4\)。因为碰撞后系统变成刚体，\(L_f = I\o\)。将运动分解成质心的定轴旋转和平移，设位置和质心之间的距离 \(d\) 之后解方程即可。

9. Oscillation

简谐运动 simple harmonic motion

相关定义

设 \(x\) 是震荡的量，满足

\[x(t) = A\cos (\o t + \phi_0). \]

振幅 amplitude \(A\)。\(x(t) \in [-A, A]\)。
角频率 angular frequency \(\o\)，和角速度本质相同。
初始相位 initial phase \(\phi_0\)。
周期 period \(T = \fr {2\pi} \o\)，即 \(x(t) = x(t + T)\) 的最小的 \(T\)。
频率 frequency \(f = \fr 1 T = \fr \o {2\pi}\)，单位是赫兹 Hertz

速度

震荡的量随着时间的变化情况：

\[v(t) = A\o \cos (\o t + \phi_0 + \fr \pi 2). \]

单位：\(A\) 是米，\(\o\) 是赫兹（秒的负一次方），\(\o t + \phi_0\) 是角度，所以 \(v\) 是米每秒。

加速度

\[a(t) = A\o ^ 2 \cos(\o t + \phi_0 + \pi) = -A\o ^ 2\cos(\o t + \phi_0). \]

于是

\[\ddot x + \o ^ 2 x = 0. \]

任何具有这个形式的动力系统都是震荡。

匀速圆周运动的向量在 \(x\) 轴上的投影。

简谐运动的动力学 dynamics of SHM

受力分析 force analysis

简谐运动满足 \(\ddot x + \o ^ 2x = 0\)，于是 \(\ddot x = -\o ^ 2 x\)。对于劲度系数为 \(k\) 的弹簧，

\[F = -kx\implies m\ddot x + kx = 0 \implies \o = \sqrt {\fr k m}. \]

劲度系数 \(k\) 和物体质量 \(m\) 决定了整个简谐运动，\(k = m\o ^ 2\)。

能量分析 energy analysis

对于劲度系数为 \(k\) 的弹簧，

\[\begin{aligned} U & = \fr 1 2 k x ^ 2 = \fr 1 2 m\o ^ 2 A ^ 2\cos ^ 2(\o t + \phi). \\ K & = \fr 1 2 mv ^ 2 = \fr 1 2 mA ^ 2 \o ^ 2 \sin ^ 2(\o t + \phi). \\ E & = \fr 1 2 mA ^ 2 \o ^ 2 = \fr 1 2 kA ^ 2. \\ E & \propto A ^ 2. \end{aligned} \]

对于波，一个很常见的结论是能量或者强度正比于 \(A ^ 2\)。

\[E = K + U = \fr 1 2 m\dot q ^ 2 + \fr 1 2 kq ^ 2 \implies \o = \sqrt {\fr k m}. \]

Exp.

劲度系数为 \(k\) 的弹簧挂着质量为 \(M\)，半径为 \(R\) 的旋转圆柱，圆柱无滑滚动。初始压缩距离为 \(x\) 且速度为 \(v\)，求周期。

\[\begin{aligned} E & = \fr 1 2 Mv ^ 2 + \fr 1 2 I\o ^ 2 + \fr 1 2 kx ^ 2 \\ & = \fr 1 2 Mv ^ 2 + \fr 1 4 MR ^ 2 \left(\fr v R\right) ^ 2 + \fr 1 2 kx ^ 2 \\ & = \fr 3 4 M\dot x ^ 2 + \fr 1 2 kx ^ 2. \end{aligned} \]
因此

\[\o = \sqrt {\fr{2k} {3M}}\implies T = \fr{2\pi} {\o} = 2\pi\sqrt {\fr {3M} {2k}}. \]

单摆 simple pendulum

质量为 \(m\) 的小球悬挂在长度为 \(L\) 的线上，与垂直方向的夹角为 \(\t\)。以 \(O\) 为参考点，力矩 \(\tau = -Lmg\sin \t\)，转动惯量 \(I = mL ^ 2\)，于是当 \(\t\) 足够小的时候，加速度

\[\a = \fr {\tau} {I} = -\fr {Lmg \sin \t} {mL ^ 2} = -\fr {g} {L} \t. \]

于是角频率 \(\o = \sqrt {\fr g L}\)，周期 \(T = \fr {2\pi} {\o} = 2\pi \sqrt {\fr L g}\)。

物理摆 physical pendulum 的周期

\[T = 2\pi \sqrt {\fr {I} {mgh}}, \]

其中 \(h\) 为质心到轴的距离，\(I\) 是关于轴的转动惯量。只在 \(\t\) 很小的时候近似成立。

简谐运动的复合 composition of SHM

同方向，相同角频率
设

\[x_1 = A_1 (\cos \o t),\ x_2 = A_2 \cos(\o t + \phi),\ x = x_1 + x_2 = A\cos(\o t + \t). \]

根据简谐运动是圆周运动在 \(x\) 轴上的投影，考虑向量加法，得到

\[\tan \t = \fr {A_2 \sin \phi} {A_1 + A_2 \cos \phi}. \]

根据余弦定理，

\[A = \sqrt {A_1 ^ 2 + A_2 ^ 2 - 2A_1A_2\cos \phi}. \]

同方向，不同角频率

设

\[x_1 = A_1 \cos (\o_1 t),\ x_2 = A_2 \cos(\o_2 t + \phi). \]

由和差化积公式，

\[x = x_1 + x_2 = 2A\cos\l(\fr {\o_1 - \o_2} 2 t - \fr \phi 2\r) \cos\l(\fr {\o_1 + \o_2} 2 t + \fr \phi 2\r). \]

当 \(\o_1 - \o_2 \ll \o_1 + \o_2\) 时，我们将 \(A'(t) = \left |2A\cos\l(\fr {\o_1 - \o_2} 2 t - \fr \phi 2\r)\right|\) 看成振幅，那么差不多是个 SHM，但是振幅会慢慢改变。这种现象称为拍 beat。

\[T_{beat} = \fr 1 2 \fr {4\pi} {|\o_1 - \o_2|} = \fr {2\pi} {|\o_1 - \o_2|}. \]

其中 \(\fr 1 2\) 是绝对值带来的。\(\fr {|\o_1 - \o_2|} {2\pi}\) 称为拍频 beat frequency。

垂直方向，相同角频率

\[x = A\cos (\o t),\ y = B\cos(\o t + \phi). \]

得到椭圆

\[\fr {x ^ 2} {A ^ 2} + \fr {y ^ 2} {B ^ 2} - \fr {2xy\cos \phi} {AB} = \sin ^ 2\phi. \]

当 \(\phi = 0\) 时，\(y = \fr B A x\)，轨迹是一条直线，且位移满足 SHM \(z = \sqrt {A ^ 2 + B ^ 2} \cos (\o t)\)。\(\phi = \pi\) 是类似的。

当 \(\phi = \fr \pi 2\) 时，轨迹是标准椭圆

\[\fr {x ^ 2} {A ^ 2} + \fr {y ^ 2} {B ^ 2} = 1. \]

垂直方向，不同角频率

\(\fr {\o_x} {\o_y}\) 决定了轨迹的形状，称为 利萨茹曲线 Lissajous curve。当比值是有理数时，轨迹封闭。

其它震荡 other oscillations

阻尼震荡 damped oscillation

微积分 W1 讲微分方程的时候讲过，神奇吧！

受到和速度方向相反的阻力 \(F_d = -bv\)，其中 \(b\) 称为 阻尼常数 damping constant。

考虑方程 \(-bv - kx = ma\)。定义 \(\o_0 ^ 2 = \fr k m\)，\(\b = \fr b {2m}\)，则

\[\ddot x + 2\b \dot x + \o_0 ^ 2 x = 0. \]

该微分方程对应特征方程

\[s ^ 2 + 2\b s + \o_0 ^ 2 = 0. \]

特征根为

\[\la_{\pm} = -\b \pm \sqrt {\b ^ 2 - \o_0 ^ 2}. \]

于是，当 \(\b ^ 2 \neq \o_0 ^ 2\) 时，有通解

\[C_+\e ^ {\la_+ t} + C_-\e ^ {\la_- t}. \]

当 \(b = 0\) 时，\(\b = 0\)，无阻尼，简谐运动。
当 \(0 < \b < \o_0\) 时，称为 欠阻尼 underdamping。设 \(\o ^ 2 = \o_0 ^ 2 - \b ^ 2\)，则 \(\la_\pm = -\b \pm \o \i\)，于是
\[x(t) = C_+\e ^ {-\b t} \e ^ {\i \o t} + C_-\e ^ {-\b t} \e ^ {-\i \o t} = A\e ^ {-\b t} \cos(\o t + \phi). \]
当 \(\b = \o_0\) 时，称为 临界阻尼 critical damping。这是最快回到平衡态的情况。
\[x(t) = \e ^ {-\b t}(c_0 + c_1t). \]
当 \(\b > \o_0\) 时，两个解为不同的负实根，称为 过阻尼 overdamping。
\[x(t) = c_+ \e ^ {\la_+ t} + c_- \e ^ {\la_- t}. \]

对于欠阻尼的情况，对应的能量衰减为

\[E(t) = \fr 1 2kA ^ 2\e ^ {-2\b t}. \]

受迫振荡 forced oscillation

物体受到外力 \(F_x(t)\)。

当外力作简谐运动 \(F_x(t) = F_0\cos(\o t)\) 时，

\[F_0\cos (\o t) - kx - b\dot x = m\ddot x \]

做变换

\[\o_0 ^ 2 = \fr k m,\ \b = \fr b {2m},\ f = \fr {F_0} m, \]

得到

\[\ddot x + 2\b \dot x + \o_0 ^ 2x = f\cos \o t. \]

解的形式为

\[x(t) = A\cos(\o t + \phi), \]

其中

\[\begin{aligned} A & = \fr {f} {\sqrt {(\o_0 ^ 2 - \o ^ 2) ^ 2 + 4\b ^ 2 \o ^ 2}}, \\ \tan \phi & = \fr {2\b\o} {\o ^ 2 - \o_0 ^ 2}. \end{aligned} \]

当 \(\o_0 = \o\) 时，\(A\) 最大，称为共振 resonance。当阻力为零时，振幅可以无穷大。

posted @ 2025-06-07 00:02 qAlex_Weiq 阅读(236) 评论(0) 收藏举报

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