二重极限常用技巧

一.换元

1.当出现\(x^2+y^2\)项时，可以考虑极坐标换元.即令\(x=rcos\theta,y=sin\theta\),将二重极限转化为关于\(r\)的极限.

• 例1. 考察 \(\lim\limits_{\substack{(x,y) \to (0,0) }}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)是否存在，可通过极坐标变为\(\lim\limits_{\substack{r \to 0^{+}}}\frac{r^2·(cos^2\theta-sin^2\theta)}{r^2}=cos^2\theta-sin^2\theta\)，易发现和\(\theta\)有关，因此原极限不存在.

• 例2. \(\lim\limits_{\substack{(x,y) \to (0,0) }}xy\ln{(x^2+y^2)}\)可变为\(\lim\limits_{\substack{r \to 0^{+}}}2r^2\ln{r}(cos\theta·sin\theta)=0\).

• 在用极坐标代换时，一定要确保分母不会出现0.

  反例：考虑\(\lim\limits_{\substack{(x,y) \to (0,0) }}\frac{xy}{x+y}\)=\(\lim\limits_{\substack{r \to 0^{+}}}r·\frac{cos\theta ·sin\theta}{cos\theta+sin\theta}\neq 0\).当\(\theta\)取\(-\frac{\pi}{4}\)时分母为\(0\)，对应路径\(y=-x\)（虽然该路径不在定义域内，但我们可以取\(y=-x+x^3\)之类的逼近它）,此时原极限发散.

• 另一方面，由于二重极限要求是定义域内的任何路径逼近，因此用极坐标代换时不能简单的分类讨论，即“当\(\theta\) 不等于某值时”“当\(\theta\)等于某值时”.事实上，极有可能在\(\theta\)逼近某值时出现意外.

  反例： \(\lim\limits_{\substack{(x,y) \to (0,0) }}\frac{x^2y}{x^4+y^2}=\lim\limits_{\substack{r \to 0^{+}}}\frac{r·cos^2\theta·sin\theta}{r^2·cos^4\theta+sin^2\theta}\).
  当\(sin\theta \neq 0\)时，该极限显然是\(0\);当\(sin\theta = 0\)时，该极限显然也是\(0\).但实际上，令\(y=kx^2\),则原极限易证与\(k\)有关,故原极限不存在.

2.当式子可以被写成某个简单式子的一元函数时,可将这个简单式子换元.

• 例3. \(\lim\limits_{\substack{(x,y) \to (0,0) }}\frac{xy-sin(xy)}{xy-xycos(xy)}\),很容易想到把\(xy\)换元成\(t\).于是原式变成\(\lim\limits_{\substack{t \to 0 }}\frac{t-sin(t)}{t-tcos(t)}\),由一元函数极限可知结果是\(\frac{1}{3}\).

二.一类特殊的分式

考察形如\(\frac{x^p·y^q}{x^m+y^n}\)的分式在\((0,0)\)时的极限，有如下结论：

• \(m,n\)不全为偶数时，极限不存在(可令\(x^m+y^n=x^k\),\(k\)待定,只需要在把\(y\)消除掉后分母的最低次比分子的最低次高即可）.

• \(m,n\)均为偶数，且\(\frac{p}{m}+\frac{q}{n}>1\),则极限为\(0\).

• \(m,n\)均为偶数，且\(\frac{p}{m}+\frac{q}{n} \le 1\),则极限不存在(令\(y=kx^{\frac{m-p}{q}}\)即可).

• 例4. \(\lim\limits_{\substack{(x,y) \to (0,0) }}\frac{xy^2}{x^2+y^3}\).考虑路径\(x^2+y^3=x^k\).代入化简掉\(y\),有\(\frac{x(x^k-x^2)^{\frac{2}{3}}}{x^k}\).当\(k\)极大时，分子的最低次是\(1+2·\frac{2}{3}=\frac{7}{3}\),分母是\(k\).因此，只要取\(k>\frac{7}{3}\),当\(x,y\)趋于0时，分式便会发散。因此原极限不存在。