微积分（下）

微积分（下）知识点梳理

一.\(\mathbb{R} ^n\)中的点集拓扑

1.欧式范数

• 对于\(\forall X,Y\in \mathbb{R} ^n\)，即\(X=(x_1,x_2,...,x_n),Y=(y_1,y_2,...,y_n)\)，

  定义内积\(\left \langle X,Y \right \rangle =\sum_{i=1 }^{n} x_iy_i\)，欧式范数$ \parallel X \parallel =\sqrt{\left \langle X,X \right \rangle } $.

• 三角不等式：\(\left \|X+Y \right \|\le \left \|X \right \|+\left \|Y \right \|\).

• 两点间距离：\(\text{d} (x,y)=\left \|X-Y \right \|\)

• 点与点集间距离：设\(X\in \mathbb{R} ^n\)，\(\Omega\subset \mathbb{R} ^n\)，

  \(\text{d}(x,\Omega)=\text{inf}\) { $ \parallel X-Y \parallel \mid Y\in \Omega $ } .

• 点集与点集间距离：设\(\Omega\subset \mathbb{R} ^n\)，\(\Sigma \subset \mathbb{R} ^n\)，

  \(\text{d}(\Omega,\Sigma)=\text{inf}\) { $\parallel X-Y \parallel \mid X\in \Sigma ，Y\in \Omega $ } .

• 点集的直径:设\(\Sigma \subset \mathbb{R} ^n\)，

  \(\text{diam}(\Sigma)=\text{sup}\) { $ \left | |X-Y \right || \mid X,Y\in \Sigma $ } .

2.邻域

• 设\(X_0\in \mathbb{R} ^n\)，\(\delta >0\)，

  记\(X_0\)的\(\delta\)邻域为\(\mathcal{B}(X_0, \delta)=\) { $X\in \mathbb{R} ^n \mid \left | |X-X_0 \right || <\delta $ }

  在\(\mathbb{R} ^2\)中，\(\mathcal{B}(X_0,\delta)=\)是一个圆域，\(\mathbb{R} ^3\)中则是一个球。

• 记\(X_0\)的去心-\(\delta\)邻域为\(\mathcal{B}_0(X_0,\delta)=\) { $X\in \mathbb{R} ^n \mid 0<\left | |X-X_0 \right || <\delta $ } ,

  也可被记作$\mathcal{B}(X_0,\delta)\setminus $ {\(X_0\)} .

3.点与集合关系

设\(X\in \mathbb{R} ^n\)， \(\Omega\subset \mathbb{R} ^n\).

• 从集合的内部、外部出发：

  • 若\(\exists \delta>0,\) s.t. \(\mathcal{B}(X, \delta)\subset\Omega\),称\(X\)为\(\Omega\)的内点。

    \(\Omega\)的全部内点称为\(\Omega\)的内部，记作$\Omega^\circ $.

    \(\Omega\)的内点一定属于\(\Omega\)，即\(\Omega^\circ \subset \Omega\).

  • 若\(\exists \delta>0,\) s.t. \(\mathcal{B}(X, \delta)\cap \Omega=\varnothing\),称\(X\)为\(\Omega\)的外点。

    \(\Omega\)的全部外点称为\(\Omega\)的外部.事实上，\(\Omega\)的外部即为\(\Omega^C\)的内部，也即\((\Omega^C)^\circ\).

    \(\Omega\)的外点一定不属于\(\Omega\)，即\((\Omega^C)^\circ \cap \Omega=\varnothing\).

  • 若\(\forall \delta>0\), s.t. \(\mathcal{B}(X, \delta)\cap \Omega\neq\varnothing\),且 \(\mathcal{B}(X, \delta)\cap \Omega^C \neq\varnothing\),称\(X\)为\(\Omega\)的边界点.

    \(\Omega\)的全部边界点称为\(\Omega\)的边界，记作$\partial \Omega $.

    \(\Omega\)的边界点不一定属于\(\Omega\).

  • 我们记\(\bar\Omega =\Omega\cup \partial \Omega\),称为\(\Omega\)的闭包。

• 从点\(X\)的邻域中有多少点集\(\Omega\) 里的点出发：

  • 若\(\forall \delta>0\), s.t. \(\mathcal{B}(X, \delta)\cap \Omega\neq\varnothing\),则称\(X\)为\(\Omega\)的聚点.

    \(\Omega\)的全部聚点称为\(\Omega\)的导集，记作\(\Omega ’\).

    \(\Omega\)的聚点不一定属于\(\Omega\).

  • 不难证明，\(\bar\Omega =\Omega\cup \partial \Omega=\Omega\cup \Omega'\).

  • 若\(X\in\Omega\),且\(\exists \delta>0\),s.t. \(\mathcal{B}_0(X, \delta)\cap\Omega=\varnothing\),则称\(X\)为\(\Omega\)的孤立点.

    显然，\(\Omega\)的孤立点一定属于\(\Omega\).

4.开集与闭集

设\(\Omega\subset \mathbb{R} ^n\)，并且非空.

• 若\(\Omega\)的点都是其内点，即\(\Omega^\circ=\Omega\),则称\(\Omega\)为开集。

  不难证明，\(\Omega\)的内部\(\Omega^\circ\)（也称开核）是开集。

• 若\(\Omega\)的补\(\Omega^C\)是开集，则称\(\Omega\)为闭集

  另一种等价定义：若\(\Omega\)的闭包中的点都在\(\Omega\)中（或\(\Omega\)的聚点都在\(\Omega\)中），即\(\bar\Omega=\Omega\),则称\(\Omega\)为闭集。

  不难证明，\(\Omega\)的闭包\(\bar\Omega\)是闭集。

• 在\(\mathbb{R} ^n\)中，有且仅有\(\mathbb{R} ^n\)和\(\varnothing\)是既开又闭的。

• 无穷个开集的并是开集，有限个开集的交是开集。

  注意:无穷个开集的交不一定是开集！

  e.g. $\bigcap_{n=1}^{\infty} (-1-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n})=\left [-1,1 \right ] $是闭集.

• 类似地，无穷个闭集的交是闭集，有限个闭集的并是闭集。

5.有界集

• 设\(\Omega\subset \mathbb{R} ^n\).若\(\exists \gamma>0\),s.t. \(\mathcal{B}_0(X, \gamma)\supset \Omega\),则称\(\Omega\)为有界集。否则\(\Omega\)为无界集.

6.连通集

• 设\(\Omega\subset \mathbb{R} ^n\)，并且非空.若\(\exists X,Y\in\Omega\)，都可用完全落在\(\Omega\)中的连续曲线连接起来，则\(\Omega\)称为道路连通的。

  其中，完全落在\(\Omega\)中的连续曲线定义为：

  若\(x_i=x_i(t)\)是关于\(t\)的连续函数 \((i=1,2,...,n)\) , \(t\in [0,1]\),

  满足\(\big( x_1(0),x_2(0),...,x_n(0) \big)=X\) , \(\big( x_1(1),x_2(1),...,x_n(1) \big)=Y\),

  且\(\forall t\in (0,1),\big( x_1(t),x_2(t),...,x_n(t) \big)\in\Omega\),

  则称曲线\(\big( x_1(t),x_2(t),...,x_n(t) \big)\) ， \(t\in [0,1]\)为在\(\Omega\)中的连续曲线.