2020.10~2020.12 做题记录
目录
- P1966
- P1450
- P2627
- P5228
- P7075
- [算法] 三分法
- CF1440C2
- AcWing125
- [算法] Lucas 定理
- [算法] 高斯消元
- P2455
- [算法] 矩阵加速
- P1438
- P4933
- UVA1660
- P7114
- P6619
- P2764
- P2774
- P2766
- P4001
- P4014
正文
P1966 火柴排队 | 逆序对
一开始想了个错的离散化，后来看了题解，悟了好久才明白。
定义 \(f[i],g[i]\) 为 \(a\) 和 \(b\) 中第 \(i\) 大的数的下标。显然，最优的情况是 \(a\) 中最大的对应 \(b\) 中最大的，第二大的对应第二大的……据此，可以固定 \(a\) 调换 \(b\) 的位置使得满足一一对应。此时需要的最小交换次数即为从 \(1\dots n\) 转换到目标状态（一一对应）的次数，即目标状态的逆序对数。
P1450 [HAOI2008]硬币购物 | 动态规划、容斥原理
首先可以预处理出不限制硬币数量的方案数，价值为 \(s\) 时的方案数记作 \(dp[s]\)。
于是，可以先考虑不做限制，即 \(ans=dp[s]\)。
然后第一种到第四种硬币可能会有不合法的。不合法的方案一定是选了 \(d[i]+1\) 个及以上，因此 \(ans-=dp[s-(d[i]+1)*c[i]]\)。这样会减重，所以要加上两种不合法的方案数，以此类推。
P2627 [USACO11OPEN]Mowing the Lawn G | 动态规划、单调队列
设 \(dp[i]\) 为以 \(i\) 为结尾的最大效率总和。容易发现两个奶牛区间之间至多隔着 \(1\) 个奶牛。于是 \(dp[i]=\max\limits_{i-k-1\le j \le i-2}\{dp[j]-s[j+1]\}+s[i]\)。典型的 1D/1D 动态规划问题，单调队列优化一下即可。
P5228 [AHOI2013]找硬币 | 动态规划
首先能注意到选硬币时越大越好。于是设 \(dp[i]\) 为最大的硬币为 \(i\) 时，买所有兔子用的硬币数。这时候枚举因数会有点麻烦，所以考虑刷表法：\(dp[ij]=dp[i]-j*minus+minus\)，其中 \(minus\) 为新增价值为 \(ij\) 的硬币后，减少的需要的硬币数量。\(-j*minus\) 代表原来需要的硬币数，而 \(minus\) 为现在需要的硬币数。
P7075 儒略日 | 模拟、二分
二分年份，然后暴力枚举日期。
Tricks:
- 二分时顺便求出年份（年份不与 \(l,r\) 相同）：
while(l<=r){
mid=(l+r)>>1;
if(Days(mid)<=a[i]){
year=mid;
l=mid+1;
}else{
r=mid-1;
}
}
-
平移年份，把公元前的年份往后平移一年，就不用考虑公元 \(0\) 年了。
-
用 \((a+b-1)/b\) 来计算 \(\lceil \frac{a}{b} \rceil\)。
P3382 [算法] 三分法
scanf("%d%lf%lf",&n,&L,&R);
Dec(i,n,0) scanf("%lf",&a[i]);
double l=L,r=R,lmid,rmid;
For(kase,1,1000){
lmid=(l+r)/2;rmid=min(lmid+1e-6,r);
if(F(lmid)<F(rmid)) l=lmid;
else r=rmid;
}
printf("%.5lf",l);
中间的 \(rmid\) 是 \(lmid+10^{-6}\) 是因为题目要求精度为 \(10^{-5}\)，而 \(eps\) 要设为精度 \(\times0.1\)。
CF1440C2. Binary Table (Hard Version) | 构造
与官方题解不一样的做法：首先，操作次数不超过 \(nm\) 次，因此可以对于每个点做一次操作。发现对于每个 \(2*2\) 的小方块，总是能够在 \(4\) 次之内变成全 \(0\)。若 \(n\) 为奇数或 \(m\) 为奇数，则通过调整把多出来的一行或一列变成全 \(0\)，然后对于每个 \(2*2\) 的方块处理一下即可。
代码：https://codeforces.com/contest/1440/submission/98775815
AcWing125. 耍杂技的牛 | 贪心
考虑证明邻项交换后不优。
假设已经排好序，则交换之前相邻的牛的答案为 \(\max\{w_1+w_2+\dots+w_{i-1}-s_i,w_1+w_2+\dots+w_i-s_{i+1}\}\)，交换后答案为 \(\max\{w_1+w_2+\dots+w_{i-1}+w_{i+1}-s_i,w_1+w_2+\dots+w_{i-1}-s_{i+1}\}\)。都减掉 \(w_1+w_2+\dots+w_{i-1}\) 得 \(\max\{-s_i,w_i-s_{i+1}\},\max\{w_{i+1}-s_i,-s_{i+1}\}\)。则此时 \(w_i-s_{i+1}\) 一定大于 \(-s_{i+1}\)。所以只需要让 \(w_i-s_{i+1}>w_{i+1}-s_i\)，交换前就一定大于交换后的答案了。
解此不等式得 \(w_i+s_i>w_{i+1}+s_{i+1}\)。等价于当所有 \(i\) 满足 \(w_i+s_i<w_{i+1}+s_{i+1}\) 时，不交换最优。
P3807 [算法] 卢卡斯定理
公式：若 \(p\) 为质数，则 \(C_n^m=C_{n/p}^{m/p}\times C_{n\bmod p}^{m\bmod p} \bmod p\)。
求阶乘时只需要求到 \(p\)。当 \(m>n\) 时，\(C_n^m\) 应返回 \(0\)。
P3389 [算法] 高斯消元
我用的是高斯-约旦消元。对于无解和多解的判断参考这篇题解：https://www.luogu.com.cn/blog/105254/solution-p2455 。
如果答案里出现 \(-0.00\) 之类的东西，需要加一个 \(eps\)，即 \(ans+eps\)，能消掉负号。
P1939 [算法] 矩阵加速
注意数组如果从 \(1\) 开始，赋值的时候二维数组要在前面加一个 \({0,0,0}\)。
P1438 无聊的数列 | 线段树、差分
用线段树维护差分数组，对于每一个区间 \([l,r]\) 加等差数列 \((k,d)\) 的操作，转换为以下伪代码：
a[l]+=k;
if l!=r: a[(l+1)...r]+=d;
if r!=n: a[r+1]-=k+(r-l)*d;
询问 \(p\) 的值时输出 \(a[1...p]\) 的和即可。
P4933 大师 | 动态规划
比较简单的动态规划，但要注意统计答案的时候不要重复统计。
UVA1660 电视网络 | 最小割、点边转化
对于每个点 \(x\) 连边 \((x,x+n,1),(x+n,x,\inf)\)，对于每条边 \((x,y)\) 连边 \((x+n,y,\inf),(y+n,x,\inf)\)。
注意以上所有边 \((u,v)\) 都有一个 \((v,u,0)\) 的反向边。
P7114 字符串匹配 | 字符串哈希、树状数组
首先是 \(84\) 分做法：预处理 \(\mathbb{suf}\) 表示后缀的 \(F\)。枚举 AB，然后用字符串哈希判断最远能延伸到哪里，再计数一下就行了。
考虑用树状数组在线记录小于等于 \(suf_i\) 的前缀个数。时间复杂度降为 \(O(Tn(\log n+\log 26))\)。
P6619 冰火战士 | 树状数组、倍增
记 \(ice\) 为冰方在满足当前温度下的能量和，\(fire\) 为火方的。
发现答案为 \(\min(ice,fire)\)。于是可以在树状数组上倍增临界温度 \(t\)，使得温度取 \(t\) 时 \(ice\le fire\)，而温度取 \(t+1\) 时 \(ice>fire\)。然后答案取这两部分的最大值即可。注意如果温度取 \(t+1\) 答案最大，则 \(t+1\) 不一定是最优温度。
对于最后 \(10\%\) 的数据，离散化一下即可。
时间复杂度 \(O(n\log n)\)。常数较大。
P2764 最小路径覆盖问题 | 二分图最大匹配、网络流
构造二分图 \(G\) 并求其最大匹配即可。
在枚举边并维护并查集时，只需要枚举正边或反边，因为正边和反边的流量一定不相同（一个是 \(0\) 那么另外一个一定是 \(1\)）。
直接维护并查集、枚举 \(fa[i]==i\) 的做法似乎只在所有边 \((u,v)\) 都有 \(u<v\) 时正确。
P2774 方格取数问题 | 最大流、最小割
先全选，然后把互斥的点之间连边，跑最小割最后减掉即可。
P2766 最长不下降子序列问题 | 最大流
求出以 \(i\) 为开头的最长不下降子序列长度 \(f_i\)，然后对于每对 \((i,j)\) 满足 \(i<j,a_i\le a_j\) 且 \(f_i=f_j+1\) 连边。
然后跑最大流就行了。
P4001 [ICPC-Beijing 2006]狼抓兔子 | 平面图最小割
平面图最小割转对偶图最短路即可，感性理解一下就可以发现是对的。
P4014 分配问题 | 费用流
费用流模板题。
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